משולש שווה שוקיים - הגדרה ומבנה

שתי צלעות שוות יוצרות סימטריה, בסיס, וזוויות בסיס שוות. נכיר את כל החלקים.

מה נבנה כאן

משולש שווה שוקיים הוא אחד המשולשים החשובים ביותר בגאומטריה. הסימטריה שלו מאפשרת להוכיח תכונות יפות, ובפרק הזה נכיר את כל החלקים שלו: שוקיים, בסיס, זווית ראש וזוויות בסיס. נלמד לזהות אותם מנתונים אלגבריים, לא מהציור.

שוקיים

שתי הצלעות השוות שמופיעות בשוויון.

בסיס

הצלע השלישית, שאינה שווה לשוקיים.

זווית ראש

הזווית בקודקוד שבו השוקיים נפגשות.

זוויות בסיס

שתי הזוויות בקצות הבסיס. נראה בהמשך שהן שוות זו לזו.

למה משולש שווה שוקיים מיוחד

משולש שווה שוקיים אינו רק מקרה פרטי של משולש - הוא נושא בתוכו סימטריה. שני חלקיו תמונת ראי זה של זה. הסימטריה הזו היא המנוע שמאפשר להוכיח את תכונותיו: זוויות הבסיס שוות, התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית הראש, ועוד. בלי הסימטריה אין שיוויונות, ולכן ההכרה במבנה היא הצעד הראשון.

למה הסימטריה חשובה

זוויות בסיס שוות

תוצאה ישירה של הסימטריה: הזוויות שמול השוקיים השוות שוות זו לזו.

תיכון = גובה

התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה הזווית של זווית הראש. ארבעה תפקידים בקטע אחד.

הוכחות קצרות

הסימטריה מקצרת הוכחות. במקום לחשב כל זווית בנפרד, מספיק לדעת שהמשולש שווה שוקיים.

אדריכלות וצורות

המשולש שווה השוקיים מופיע בגגות, סמלים, חלונות ועיצוב גרפי בכל מקום.

בסיס לחישובים

אם נתון היקף ובסיס - מחשבים שוקיים בקלות. הסימטריה מצמצמת את החישוב לחצי.

$math/017-ruler$

מקרה פרטי בולט

משולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של שווה שוקיים: כל הצלעות שוות, ולכן כל זוג שוקיים מקיים את ההגדרה.

הגדרה - שתי צלעות שוות

במשולש שווה שוקיים לא מתחילים מהמראה של הציור, אלא מהשוויון בין שתי צלעות. השוויון הזה קובע מי השוקיים, מי הבסיס, ואיפה נמצאות הזוויות החשובות. הציור יכול להטעות; הנתון האלגברי לא.

$math/007-triangle$ ההגדרה הפורמלית

משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו (לפחות) שתי צלעות שוות. אם $A B = A C$ , אז $A B$ ו- $A C$ הן השוקיים.

הצלע השלישית, $B C$ , נקראת בסיס. הזווית בין שתי השוקיים היא זווית הראש, והזוויות שליד הבסיס הן זוויות הבסיס. נשים לב: ההגדרה אומרת "לפחות שתיים", ולכן משולש שווה צלעות הוא גם שווה שוקיים.

$A B = A C \Rightarrow △ A B C שווה שוקיים$

הבסיס לא חייב להיות מצויר למטה. הוא הצלע שאינה שווה לשתי השוקיים, בכל מיקום בציור.

שוקיים, בסיס וזוויות

AB ו-AC הן השוקיים השוות, BC הוא הבסיס, A הוא קודקוד הראש.

הגדרת משולש שווה שוקיים

A B = A C \Leftrightarrow △ A B C שווה שוקיים עם בסיס B C

מילון מושגי שווה שוקיים

מושג	משמעות	בדוגמה $A B = A C$
שוקיים	שתי הצלעות השוות	$A B, A C$
בסיס	הצלע השלישית, שאינה שווה לשוקיים	$B C$
קודקוד הראש	הקודקוד שבו השוקיים נפגשות	$A$
זווית ראש	הזווית בקודקוד הראש, בין השוקיים	$∠ A$
זוויות בסיס	שתי הזוויות בקצות הבסיס	$∠ B, ∠ C$
תיכון לבסיס	קטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס	מ- $A$ לאמצע $B C$
ציר סימטריה	הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס	התיכון מ- $A$

איך קוראים את הנתון האלגברי

נתון כמו

A B = A C

אומר ששתי הצלעות האלה הן השוקיים. הקודקוד המשותף שלהן (

A

) הוא קודקוד הראש, והצלע שלא מופיעה בשוויון (

B C

) היא הבסיס. עיקרון זה עובד לכל משולש: זהו את הצלעות בשוויון, מצאו את הקודקוד המשותף, והצלע השלישית היא הבסיס.

סוגי משולשים לפי צלעות

כדי להבין את מקומו של המשולש שווה השוקיים, נסקור את שלושת סוגי המשולשים לפי צלעות. נראה שמשולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של שווה שוקיים, ולא קטגוריה נפרדת לחלוטין.

השוואת סוגי משולשים

משולש שונה צלעות

אין שתי צלעות שוות
אין סימטריה
כל הזוויות שונות
אינו שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים

לפחות שתי צלעות שוות
סימטריה ביחס לציר
שתי זוויות הבסיס שוות
זווית הראש יכולה להיות חדה, ישרה או קהה

$math/034-pentagon$ משולש שווה צלעות

כל שלוש הצלעות שוות
סימטריה משולשת
כל הזוויות שוות $60°$
מקרה פרטי של שווה שוקיים

משולשים לפי צלעות - דוגמאות

שווה שוקיים

צלעות $5, 5, 8$ . השוקיים: $5$ ו- $5$ . הבסיס: $8$ .

שווה צלעות

צלעות $6, 6, 6$ . גם שווה שוקיים, כי לפחות שתי צלעות שוות.

שונה צלעות

צלעות $3, 4, 5$ . אין שתי צלעות שוות, ולכן אינו שווה שוקיים.

במשולש שווה צלעות (כל שלוש הצלעות שוות), אפשר לבחור כל זוג צלעות כשוקיים, ואז הצלע השלישית היא הבסיס. לכן הוא עומד בהגדרת שווה שוקיים בשלוש דרכים שונות.

המסקנה: כל משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים. ההפך אינו נכון - לא כל שווה שוקיים הוא שווה צלעות.

$math/029-angle$ דוגמה - מזהים בסיס וזוויות

נעקוב אחרי הנתון כמו אחרי מפה: שתי הצלעות שמופיעות בשוויון הן השוקיים, הקודקוד שבו הן נפגשות הוא הראש, והצלע שנותרה היא הבסיס. הציור הוא רק עזר ויזואלי; הנתון האלגברי הוא הקובע.

דוגמה 1 - מזהים בסיס וזוויות

שלב 1 מתוך 4

במשולש

△ A B C

נתון

A B = A C

. מהו הבסיס, ומהן זוויות הבסיס?

השוקיים הן שתי הצלעות שמופיעות בשוויון.

A B = A C

$math/030-equation$ דוגמה 2 - היקף ובחירת בסיס

שלב 1 מתוך 5

במשולש

△ K L M

נתון

K L = K M

. היקף המשולש הוא

29

, ואורך הבסיס

L M = 11

. מצאו את אורך כל שוק וזהו את זווית הראש.

השוויון $K L = K M$ אומר שהשוקיים הן $K L$ ו- $K M$ . לכן הבסיס הוא $L M$ .

K L = K M, L M = 11

שיטת זיהוי - איך מתחילים

איך מזהים חלקים בשווה שוקיים

1. מצאו שוויון צלעות

השוקיים הן הצלעות שמופיעות בשוויון.

הן נפגשות בקודקוד הראש.

כתבו אותן זו לצד זו.

2. מצאו את הבסיס

הבסיס הוא הצלע שלא מופיעה בשוויון.

הוא לא חייב להיות בתחתית הציור.

סמנו אותו על הציור.

$math/013-trigonometry$

3. סמנו את הזוויות

זווית הראש נמצאת בקודקוד הראש.

זוויות הבסיס בקצות הבסיס.

הן שוות זו לזו.

כלל זהב - הציור לא מחליט

הבסיס הוא הצלע שאינה שווה לשוקיים, לפי הנתון האלגברי. הוא יכול להיות מצויר בצד, באלכסון, או למעלה. אל תניחו שהבסיס תמיד למטה!

התחילו תמיד מהשוויון הנתון.
זהו את שתי השוקיים הראשונות.
הצלע שנותרה היא הבסיס.
סמנו את כל החלקים על הציור.

תרגול - מזהים חלקים

תרגול 1 - בסיס לפי שוקיים

בסיסי

אם $M N = M P$ , מהו הבסיס של המשולש $△ M N P$ ?

M N = M P

תרגול 2 - זווית הראש

בסיסי

אם $A B = C B$ , מהי זווית הראש של $△ A B C$ ?

A B = C B

תרגול 3 - היקף ושמות

בינוני

במשולש $△ A B C$ נתון $A C = B C$ . היקף המשולש $25$ , והבסיס $A B = 9$ . מצאו את אורך כל שוק, את זווית הראש ואת זוויות הבסיס.

A C = B C, P = 25, A B = 9

טעויות נפוצות

הטעויות הנפוצות במשולש שווה שוקיים נובעות בדרך כלל מהסתכלות על הציור במקום על הנתון האלגברי. כאן נחזור על העיקרון: השוויון קובע את הבסיס, לא הציור.

טעויות נפוצות וכיצד להימנע מהן

הטעות	מה לעשות במקום
להניח שהבסיס תמיד למטה	לבדוק את הנתון: השוויון קובע אילו צלעות הן שוקיים
לזהות זווית ראש לפי גודלה בציור	זווית הראש בקודקוד שבו השוקיים נפגשות, ללא קשר לגודל בציור
לחלק את ההיקף ב-3 במקום ב-2 בחישוב שוק	קודם מחסירים את הבסיס מההיקף, אחר כך מחלקים ב-2
לשכוח שיש שתי שוקיים שוות	לזכור שהמשוואה היא: היקף = 2 × שוק + בסיס
להתבלבל בין שווה שוקיים לשווה צלעות	שווה צלעות הוא מקרה פרטי. לבדוק האם כל השלוש שוות או רק שתיים

הציור לא מחליט מה הבסיס

הבסיס הוא הצלע שאינה שווה לשוקיים. הוא יכול להיות מצויר בכל כיוון. השוויון האלגברי קובע, לא המראה.

התחילו מהשוויון הנתון.
זהו את שתי השוקיים בשוויון.
הצלע שנותרה היא הבסיס.
מצאו את הקודקוד המשותף - שם זווית הראש.

מחשבה - למה ההגדרה כזאת

שאלה לחשיבה

למה משולש שווה צלעות נחשב גם משולש שווה שוקיים?

הגדרת משולש שווה שוקיים דורשת לפחות שתי צלעות שוות. במשולש שווה צלעות כל שלוש הצלעות שוות, ולכן אפשר לבחור כל שתי צלעות כשוקיים. הוא עומד בהגדרה בשלוש דרכים שונות. זאת הגישה הסטנדרטית בגאומטריה: הגדרות קוראות "לפחות", לא "בדיוק". שווה צלעות הוא מקרה פרטי של שווה שוקיים, ולכן כל תכונה של שווה שוקיים תקפה גם לשווה צלעות.

שאלה לחשיבה

האם ייתכן שמשולש שווה שוקיים יהיה גם משולש ישר זווית?

כן! משולש שווה שוקיים יכול להיות ישר זווית, אם זווית הראש היא $90°$ . במקרה זה כל אחת משתי זוויות הבסיס היא $45°$ (כי $90 + 45 + 45 = 180$ ). השוקיים הן הניצבים, והבסיס הוא היתר. דוגמה: משולש עם שוקיים באורך $1$ כל אחת ובסיס באורך $2$ (לפי משפט פיתגורס).

שאלה לחשיבה

למה זוויות הבסיס שוות זו לזו, גם בלי הוכחה פורמלית?

הסיבה הקונספטואלית היא סימטריה. אפשר לקפל את המשולש שווה השוקיים סביב הציר שמחבר את קודקוד הראש לאמצע הבסיס, ושני החצאים יתלכדו בדיוק. זווית הבסיס בצד אחד מתלכדת בקיפול עם זווית הבסיס בצד השני, ולכן הן שוות. ההוכחה הפורמלית בכיתה ח' משתמשת בחפיפת משולשים (צ.צ.צ או צ.ז.צ), אבל הסימטריה היא הרעיון שעומד מאחורי ההוכחה.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 15

במשולש $△ A B C$ נתון $A C = B C$ . מהן השוקיים ומהו הבסיס?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משולש שווה שוקיים - הגדרה ומבנה כבר מוכן.

פתחו תרגול

משולש שווה שוקיים - הגדרה ומבנה

מה נבנה כאן

למה משולש שווה שוקיים מיוחד

למה הסימטריה חשובה

זוויות בסיס שוות

תיכון = גובה

הוכחות קצרות

אדריכלות וצורות

בסיס לחישובים

מקרה פרטי בולט

הגדרה - שתי צלעות שוות

ההגדרה הפורמלית

מילון מושגי שווה שוקיים

איך קוראים את הנתון האלגברי

סוגי משולשים לפי צלעות

השוואת סוגי משולשים

משולש שונה צלעות

משולש שווה שוקיים

משולש שווה צלעות

משולשים לפי צלעות - דוגמאות

שווה שוקיים

שווה צלעות

שונה צלעות

דוגמה - מזהים בסיס וזוויות

דוגמה 1 - מזהים בסיס וזוויות

דוגמה 2 - היקף ובחירת בסיס

שיטת זיהוי - איך מתחילים

איך מזהים חלקים בשווה שוקיים

1. מצאו שוויון צלעות

2. מצאו את הבסיס

3. סמנו את הזוויות

כלל זהב - הציור לא מחליט

תרגול - מזהים חלקים

תרגול 1 - בסיס לפי שוקיים

תרגול 2 - זווית הראש

תרגול 3 - היקף ושמות

טעויות נפוצות

טעויות נפוצות וכיצד להימנע מהן

הציור לא מחליט מה הבסיס

מחשבה - למה ההגדרה כזאת

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

במשולש △ABC נתון AC=BC. מהן השוקיים ומהו הבסיס?