גרסת הדפסה | החוברת

סימטריה שמייצרת זוויות בסיס שוות, ארבעה תפקידים לקטע אחד, וכלים חזקים לחישובי זוויות.

מה נבנה כאן

אחרי שמזהים משולש שווה שוקיים אפשר להפעיל את כל התכונות שלו. זוויות הבסיס שוות, וקטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס הוא בו זמנית תיכון, גובה, חוצה זווית הראש, ואנך אמצעי לבסיס. ארבעה תפקידים בקטע אחד - תופעה שלא קיימת בשום משולש אחר.

תכונת זוויות בסיס: אם הצלעות שוות, הזוויות מולן שוות. לחישוב מהיר של זוויות.
התלכדות ארבעה תפקידים: תיכון לבסיס = גובה = חוצה זווית הראש = אנך אמצעי.
משפטי הפוך: אם הזוויות שוות, הצלעות שוות. כיוון הפוך מאפשר לזהות שווה שוקיים מנתוני זוויות.

מקור התכונות - סימטריה

כל התכונות של משולש שווה שוקיים נובעות מסימטריה. אם נקפל את המשולש לאורך הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס, שני החצאים יתלכדו זה על זה. הקיפול הזה הוא לא רק שיקול ויזואלי - הוא הוכחה גאומטרית. שני החצאים הם משולשים חופפים, ולכן כל מה ששווה באחד שווה גם בשני.

מה הסימטריה מייצרת

זוויות בסיס שוות

הזווית בצד שמאל מתלכדת בקיפול עם הזווית בצד ימין. ולכן הן שוות באופן מוחלט.

תיכון לבסיס

הקיפול מחלק את הבסיס לשני חצאים שווים. הקטע מהראש לאמצע הוא תיכון.

גובה לבסיס

הקיפול יוצר זוויות ישרות בנקודת המפגש עם הבסיס. הקטע מאונך לבסיס.

חוצה זווית הראש

הקיפול מחלק את זווית הראש לשני חצאים שווים. הקטע חוצה אותה.

אנך אמצעי לבסיס

הקטע מאונך לבסיס בדיוק באמצעו, ולכן הוא גם אנך אמצעי.

ציר סימטריה

הקטע הזה הוא ציר הסימטריה היחיד של המשולש, מקור כל התכונות.

תכונה ראשונה - זוויות בסיס שוות

התכונה הראשונה והבסיסית: במשולש שווה שוקיים, הזוויות שמול הצלעות השוות (כלומר, זוויות הבסיס) שוות זו לזו. זו תכונה שמופיעה בכל הוכחה שעוסקת בשווה שוקיים, והיא הדרך המהירה ביותר להפיק נתונים נוספים מסימן השוויון של הצלעות.

משפט זוויות הבסיס

אם $A B = A C$ , אז הזוויות שמול הצלעות האלה שוות: $∠ B = ∠ C$ .

A B = A C \Rightarrow ∠ B = ∠ C

תזכור: השוויון של הצלעות גורר את שוויון הזוויות מולן. תמיד מתחילים מהצלעות, ומסיקים על הזוויות.

תכונת זוויות בסיס שוות

A B = A C \Leftrightarrow ∠ B = ∠ C

תכונה שנייה - התלכדות הקטעים

במשולש רגיל, התיכון, הגובה, חוצה הזווית והאנך האמצעי הם ארבעה קטעים שונים שיוצאים מקודקוד נתון. אבל במשולש שווה שוקיים, אם נסתכל על הקודקוד שמול הבסיס (קודקוד הראש), קורה משהו יוצא דופן: כל ארבעת הקטעים מתלכדים זה עם זה לקטע אחד בלבד.

ארבעה תפקידים בקטע אחד

במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס ממלא ארבעה תפקידים בו זמנית.

תיכון = גובה = חוצה זווית = אנך אמצעי

תנאי הכרחי: המשולש שווה שוקיים והקטע יוצא מקודקוד הראש לבסיס. בלי שני התנאים אין התלכדות.

ארבעת התפקידים של הקטע מהראש לבסיס

תפקיד	מה הוא עושה	סימן בציור
תיכון	מחלק את הבסיס לשני חצאים שווים	$B D = D C$
גובה	מאונך לבסיס	$A D ⊥ B C$
חוצה זווית הראש	מחלק את זווית הראש לשני חצאים שווים	$∠ B A D = ∠ D A C$
אנך אמצעי לבסיס	מאונך לבסיס באמצעו	$A D ⊥ B C$ ב- $D$

תמונה הממחישה שבמשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית — במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לבסיס ממלא ארבעה תפקידים בו זמנית: תיכון, גובה, חוצה זווית הראש ואנך אמצעי לבסיס.

ארבעת התפקידים בציור

AD ממלא ארבעה תפקידים: תיכון (BD=DC), גובה (זווית ישרה ב-D), חוצה זווית הראש (זוויות חמרא ב-A), ואנך אמצעי.

סיכום תכונות מרכזיות

נתון	מסקנה	מתי משתמשים
$A B = A C$	$∠ B = ∠ C$	חישוב זוויות בסיס מהיקפים נתונים
$∠ B = ∠ C$	$A B = A C$	זיהוי שווה שוקיים מהפוך
תיכון מהראש לבסיס	גם גובה, חוצה זווית, ואנך אמצעי	במשולש שווה שוקיים בלבד
גובה מהראש לבסיס	גם תיכון, חוצה זווית, ואנך אמצעי	במשולש שווה שוקיים בלבד
חוצה זווית הראש	גם תיכון, גובה, ואנך אמצעי לבסיס	במשולש שווה שוקיים בלבד

דוגמה - חישוב זוויות בסיס

בחישובי זוויות משלבים שני רעיונות: סכום הזוויות במשולש הוא

180°

, וזוויות הבסיס שוות זו לזו. נתחיל בדוגמאות בסיסיות ונעבור לתרחישים מורכבים יותר.

דוגמה 1 - מזווית ראש לזוויות בסיס

במשולששווהשוקייםזוויתהראשהיא m 40° / m .מצאואתזוויותהבסיס.

סכום זוויות במשולש הוא $180°$ .
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
זווית הראש נתונה.
$40° + ∠ B + ∠ C = 180°$
מבודדים את סכום זוויות הבסיס.
$∠ B + ∠ C = 180° - 40° = 140°$
זוויות הבסיס שוות, ולכן מחלקים ב-2.
$∠ B = ∠ C = \frac{140°}{2} = 70°$

תשובה:

זוויותהבסיסהן m 70° / m ו - m 70° / m .

דוגמה 2 - מזווית בסיס לזווית ראש

במשולששווהשוקייםזוויתבסיסהיא m 55° / m .מצאואתזוויתהראש.

זוויות הבסיס שוות, לכן יש לנו שתי זוויות של $55°$ .
$∠ B = ∠ C = 55°$
סכום זוויות הבסיס.
$∠ B + ∠ C = 55° + 55° = 110°$
מחסרים מהסכום הכולל לקבלת זווית הראש.
$∠ A = 180° - 110° = 70°$

תשובה:

זוויתהראשהיא m 70° / m .

אסטרטגיות חישוב

איך מחשבים זוויות בשווה שוקיים

ראש נתונה

מחסרים את הראש מ- $180°$ .
מחלקים את השארית ב-2.
זוויות הבסיס שוות.

בסיס נתונה

מכפילים אותה ב-2.
מחסרים מ- $180°$ .
מקבלים את זווית הראש.

גובה לבסיס

מאונך לבסיס.
מחלק את הראש ל-2.
מחלק את הבסיס ל-2.

מזוויות לצלעות

אם זוויות בסיס שוות.
אז השוקיים מולן שוות.
המשולש שווה שוקיים.

דוגמאות חישוב מהירות

ראש $100°$

$180° - 100° = 80°$ . $80° \div 2 = 40°$ . כל זווית בסיס $40°$ .

בסיס $55°$

$55° + 55° = 110°$ . $180° - 110° = 70°$ . זווית הראש $70°$ .

ראש $90°$ (ישר זווית)

$180° - 90° = 90°$ . $90° \div 2 = 45°$ . זוויות בסיס $45°$ כל אחת.

בסיס $45°$

$45° + 45° = 90°$ . $180° - 90° = 90°$ . זווית הראש $90°$ , משולש ישר זווית.

תרגול

תרגיל

תרגול 1 - מבסיס לראש

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא $55°$ . מצאו את זווית הראש.

∠ B = ∠ C = 55°

תרגיל

תרגול 2 - תיכון לבסיס

במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לבסיס הוא תיכון. מה עוד אפשר להסיק עליו?

תיכון לבסיס בשווה שוקיים

תרגיל

תרגול 3 - גובה שמחלק את הראש

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ נתון $A B = A C$ . הקטע $A D$ הוא גובה לבסיס $B C$ , ו- $∠ B A D = 31°$ . מצאו את זווית הראש ואת זוויות הבסיס.

∠ B A D = 31°

טעויות נפוצות

התכונות החזקות של שווה שוקיים מפתות מאוד כי הן מקצרות פתרונות. דווקא בגלל זה חשוב לבדוק את התנאים לפני השימוש: שוקיים שוות וקטע מהראש לבסיס. בלי שני התנאים אין משפט.

טעויות נפוצות בתכונות שווה שוקיים

הטעות	מה עושים במקום
להניח שגובה תמיד מחלק את זווית הקודקוד	לבדוק שהמשולש שווה שוקיים, ושהקטע יוצא מקודקוד הראש
להחיל את ההתלכדות על קטע מקודקוד בקצה הבסיס	ההתלכדות תקפה רק לקטע מקודקוד הראש (מול הבסיס)
להשתמש בזווית של חוצה הזווית כאילו היא זווית הראש כולה	לזכור שחוצה הזווית מחלק את הראש ל-2, ולכפול ב-2 כדי לקבל את זווית הראש
להניח שזוויות בסיס שוות במשולש כללי	השוויון תקף רק במשולש שווה שוקיים
להפוך את משפט הזוויות בלי לבדוק את ההתאמה	$∠ B = ∠ C \Rightarrow A B = A C$ , לא $B C$ !

מחשבה ועומק

למה מסוכן להשתמש בתכונת התלכדות הקטעים בלי לבדוק שהמשולש שווה שוקיים?

מה ההבדל בין משפט זוויות הבסיס למשפט ההפוך שלו, ולמה שניהם חשובים?

למה במשולש שווה צלעות (כל הצלעות שוות) ההתלכדות של ארבעת התפקידים מתקיימת לכל אחד מהקודקודים, ולא רק לאחד?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.אם במשולש $△ A B C$ נתון $A B = A C$ , איזו מסקנה נכונה?

$∠ B = ∠ C$ (זוויות הבסיס שוות)
$∠ A = ∠ B$
$B C = A C$
כל הזוויות שונות

2.במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא $100°$ . מהי כל זווית בסיס?

$40°$
$80°$
$100°$
$20°$

3.במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא $50°$ . מהי זווית הראש?

$80°$
$50°$
$100°$
$130°$

4.אילו ארבעה תפקידים ממלא הקטע מקודקוד הראש לבסיס במשולש שווה שוקיים?

תיכון, גובה, חוצה זווית הראש, ואנך אמצעי לבסיס
רק תיכון וגובה
צלע, היקף, שטח, וזווית
רק חוצה זווית

5.האם תכונת התלכדות הקטעים תקפה בכל משולש?

לא. רק במשולש שווה שוקיים, ורק לקטע מקודקוד הראש לבסיס
כן, בכל משולש
רק במשולש קהה זווית
רק במשולש ישר זווית

6.מהי הטעות הנפוצה בשימוש בתכונות שווה שוקיים?

לשכוח לבדוק שהמשולש שווה שוקיים לפני שמשתמשים בתכונות
לחבר זוויות לסכום $180°$
לסמן את הבסיס בציור
לכתוב את שוויון השוקיים

7.במשולש $△ A B C$ נתון $∠ B = ∠ C$ . איזו מסקנה נכונה לפי המשפט ההפוך?

$A B = A C$ (השוקיים מול הזוויות השוות)
$B C = A C$
$∠ A = ∠ B$
אי אפשר להסיק שום שוויון צלעות

8.במשולש שווה שוקיים, $A D$ הוא תיכון מקודקוד הראש לבסיס. מה עוד נכון לגבי $A D$ ?

הוא גם גובה, חוצה זווית הראש, ואנך אמצעי לבסיס
הוא שווה לכל צלע במשולש
הוא משנה את סכום הזוויות במשולש
אין שום מסקנה נוספת מעבר לכך שהוא תיכון

9.זווית הראש היא $48°$ , ו- $A D$ הוא תיכון מהראש לבסיס במשולש שווה שוקיים. מהו $∠ B A D$ ?

$24°$
$48°$
$66°$
$90°$

10.במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא $64°$ . מהי זווית הראש?

$52°$
$64°$
$116°$
$32°$

11.במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא $90°$ . מהן זוויות הבסיס?

$45°$ ו- $45°$ (משולש שווה שוקיים וגם ישר זווית)
$90°$ ו- $90°$
$60°$ ו- $30°$
אי אפשר - משולש שווה שוקיים לא יכול להיות ישר זווית

12.במשולש $△ X Y Z$ נתון $∠ X = 75°$ , $∠ Y = 30°$ . האם המשולש שווה שוקיים?

כן. $∠ Z = 75°$ , ולכן $∠ X = ∠ Z$ ולפי משפט הפוך $Y X = Y Z$
לא, כל הזוויות שונות
כן, אבל לא ידוע מהי הבסיס
אי אפשר לדעת בלי לחשב את הצלעות

13.במשולש שווה שוקיים, גובה $A D$ מקודקוד הראש לבסיס $B C$ . $B D = 6$ . מהי $D C$ ?

$6$ (כי הגובה הוא גם תיכון)
$3$
$12$
אי אפשר לחשב

14.במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. מדוע?

בגלל הסימטריה: קיפול המשולש לאורך הציר ממקודקוד הראש מתלכד את שני החצאים, כולל הזוויות בקצות הבסיס
כי כל הזוויות במשולש שוות
כי הבסיס תמיד אופקי
זו הגדרה, לא משפט

15.במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , מי הם המשולשים שנוצרים אם מורידים את הגובה $A D$ לבסיס?

שני משולשים ישרי זווית חופפים: $△ A B D ≅ △ A C D$
שני משולשים שונים בגודלם
משולש אחד גדול ומשולש אחד קטן
ארבעה משולשים שווי שטח

מה נבנה כאן

מקור התכונות - סימטריה

מה הסימטריה מייצרת

זוויות בסיס שוות

תיכון לבסיס

גובה לבסיס

חוצה זווית הראש

אנך אמצעי לבסיס

ציר סימטריה

תכונה ראשונה - זוויות בסיס שוות

משפט זוויות הבסיס

תכונה שנייה - התלכדות הקטעים

ארבעה תפקידים בקטע אחד

ארבעת התפקידים של הקטע מהראש לבסיס

ארבעת התפקידים בציור

סיכום תכונות מרכזיות

דוגמה - חישוב זוויות בסיס

דוגמה 1 - מזווית ראש לזוויות בסיס

דוגמה 2 - מזווית בסיס לזווית ראש

אסטרטגיות חישוב

איך מחשבים זוויות בשווה שוקיים

ראש נתונה

בסיס נתונה

גובה לבסיס

מזוויות לצלעות

דוגמאות חישוב מהירות

ראש 100°

בסיס 55°

ראש 90° (ישר זווית)

בסיס 45°

תרגול

תרגול 1 - מבסיס לראש

תרגול 2 - תיכון לבסיס

תרגול 3 - גובה שמחלק את הראש

טעויות נפוצות

טעויות נפוצות בתכונות שווה שוקיים

מחשבה ועומק

ראש $100°$

בסיס $55°$

ראש $90°$ (ישר זווית)

בסיס $45°$