מהו משפט זוויות הבסיס?

אם AB=AC, אז הזוויות שמול הצלעות האלה שוות: \angle B=\angle C. התכונה נובעת מהסימטריה של המשולש. הזוויות \angle B ו-\angle C נמצאות בקצות הבסיס, מול השוקיים השוות, ולכן הן זוויות בסיס שוות. תזכור: השוויון של הצלעות גורר את שוויון הזוויות מולן. תמיד מתחילים מהצלעות, ומסיקים על הזוויות.

תכונות משולש שווה שוקיים

סימטריה שמייצרת זוויות בסיס שוות, ארבעה תפקידים לקטע אחד, וכלים חזקים לחישובי זוויות.

מה נבנה כאן

אחרי שמזהים משולש שווה שוקיים אפשר להפעיל את כל התכונות שלו. זוויות הבסיס שוות, וקטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס הוא בו זמנית תיכון, גובה, חוצה זווית הראש, ואנך אמצעי לבסיס. ארבעה תפקידים בקטע אחד - תופעה שלא קיימת בשום משולש אחר.

תכונת זוויות בסיס

אם הצלעות שוות, הזוויות מולן שוות. לחישוב מהיר של זוויות.

התלכדות ארבעה תפקידים

תיכון לבסיס = גובה = חוצה זווית הראש = אנך אמצעי.

משפטי הפוך

אם הזוויות שוות, הצלעות שוות. כיוון הפוך מאפשר לזהות שווה שוקיים מנתוני זוויות.

מקור התכונות - סימטריה

כל התכונות של משולש שווה שוקיים נובעות מסימטריה. אם נקפל את המשולש לאורך הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס, שני החצאים יתלכדו זה על זה. הקיפול הזה הוא לא רק שיקול ויזואלי - הוא הוכחה גאומטרית. שני החצאים הם משולשים חופפים, ולכן כל מה ששווה באחד שווה גם בשני.

מה הסימטריה מייצרת

זוויות בסיס שוות

הזווית בצד שמאל מתלכדת בקיפול עם הזווית בצד ימין. ולכן הן שוות באופן מוחלט.

תיכון לבסיס

הקיפול מחלק את הבסיס לשני חצאים שווים. הקטע מהראש לאמצע הוא תיכון.

גובה לבסיס

הקיפול יוצר זוויות ישרות בנקודת המפגש עם הבסיס. הקטע מאונך לבסיס.

חוצה זווית הראש

הקיפול מחלק את זווית הראש לשני חצאים שווים. הקטע חוצה אותה.

אנך אמצעי לבסיס

הקטע מאונך לבסיס בדיוק באמצעו, ולכן הוא גם אנך אמצעי.

ציר סימטריה

הקטע הזה הוא ציר הסימטריה היחיד של המשולש, מקור כל התכונות.

$math/029-angle$ תכונה ראשונה - זוויות בסיס שוות

התכונה הראשונה והבסיסית: במשולש שווה שוקיים, הזוויות שמול הצלעות השוות (כלומר, זוויות הבסיס) שוות זו לזו. זו תכונה שמופיעה בכל הוכחה שעוסקת בשווה שוקיים, והיא הדרך המהירה ביותר להפיק נתונים נוספים מסימן השוויון של הצלעות.

משפט זוויות הבסיס

אם $A B = A C$ , אז הזוויות שמול הצלעות האלה שוות: $∠ B = ∠ C$ .

התכונה נובעת מהסימטריה של המשולש. הזוויות $∠ B$ ו- $∠ C$ נמצאות בקצות הבסיס, מול השוקיים השוות, ולכן הן זוויות בסיס שוות.

$A B = A C \Rightarrow ∠ B = ∠ C$

תזכור: השוויון של הצלעות גורר את שוויון הזוויות מולן. תמיד מתחילים מהצלעות, ומסיקים על הזוויות.

המשפט פועל גם בכיוון ההפוך: אם זוויות הבסיס שוות, אז הצלעות מולן שוות. אם $∠ B = ∠ C$ , אז $A B = A C$ , והמשולש שווה שוקיים.

המשמעות: אפשר לזהות משולש שווה שוקיים גם מנתוני זוויות, לא רק מנתוני צלעות. זה כלי חזק במיוחד בהוכחות שבהן ידועות הזוויות אך לא הצלעות.

תכונת זוויות בסיס שוות

A B = A C \Leftrightarrow ∠ B = ∠ C

תכונה שנייה - התלכדות הקטעים

במשולש רגיל, התיכון, הגובה, חוצה הזווית והאנך האמצעי הם ארבעה קטעים שונים שיוצאים מקודקוד נתון. אבל במשולש שווה שוקיים, אם נסתכל על הקודקוד שמול הבסיס (קודקוד הראש), קורה משהו יוצא דופן: כל ארבעת הקטעים מתלכדים זה עם זה לקטע אחד בלבד.

ארבעה תפקידים בקטע אחד

במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס ממלא ארבעה תפקידים בו זמנית.

התלכדות זו ייחודית למשולש שווה שוקיים. במשולש שווה צלעות (מקרה פרטי) זה קורה לכל אחד משלושת הקודקודים. במשולש כללי זה לא קורה כלל, וארבעת הקטעים שונים זה מזה.

$תיכון = גובה = חוצה זווית = אנך אמצעי$

תנאי הכרחי: המשולש שווה שוקיים והקטע יוצא מקודקוד הראש לבסיס. בלי שני התנאים אין התלכדות.

ארבעת התפקידים של הקטע מהראש לבסיס

תפקיד	מה הוא עושה	סימן בציור
תיכון	מחלק את הבסיס לשני חצאים שווים	$B D = D C$
גובה	מאונך לבסיס	$A D ⊥ B C$
חוצה זווית הראש	מחלק את זווית הראש לשני חצאים שווים	$∠ B A D = ∠ D A C$
אנך אמצעי לבסיס	מאונך לבסיס באמצעו	$A D ⊥ B C$ ב- $D$

תמונה הממחישה שבמשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית — במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לבסיס ממלא ארבעה תפקידים בו זמנית: תיכון, גובה, חוצה זווית הראש ואנך אמצעי לבסיס.

ארבעת התפקידים בציור

AD ממלא ארבעה תפקידים: תיכון (BD=DC), גובה (זווית ישרה ב-D), חוצה זווית הראש (זוויות חמרא ב-A), ואנך אמצעי.

מתי מותר לאחד את ארבעת התפקידים

התלכדות הקטעים תקפה רק כשמתקיימים שני התנאים: (1) המשולש שווה שוקיים, ו-(2) הקטע יוצא מקודקוד הראש אל הבסיס. בכל מצב אחר ארבעת הקטעים שונים. למשל, אם נסתכל על קודקוד שאינו הראש (כלומר, על קודקוד בקצה הבסיס), אז התיכון, הגובה וחוצה הזווית מהקודקוד הזה הם קטעים שונים זה מזה.

סיכום תכונות מרכזיות

נתון	מסקנה	מתי משתמשים
$A B = A C$	$∠ B = ∠ C$	חישוב זוויות בסיס מהיקפים נתונים
$∠ B = ∠ C$	$A B = A C$	זיהוי שווה שוקיים מהפוך
תיכון מהראש לבסיס	גם גובה, חוצה זווית, ואנך אמצעי	במשולש שווה שוקיים בלבד
גובה מהראש לבסיס	גם תיכון, חוצה זווית, ואנך אמצעי	במשולש שווה שוקיים בלבד
חוצה זווית הראש	גם תיכון, גובה, ואנך אמצעי לבסיס	במשולש שווה שוקיים בלבד

דוגמה - חישוב זוויות בסיס

בחישובי זוויות משלבים שני רעיונות: סכום הזוויות במשולש הוא $180°$ , וזוויות הבסיס שוות זו לזו. נתחיל בדוגמאות בסיסיות ונעבור לתרחישים מורכבים יותר.

דוגמה 1 - מזווית ראש לזוויות בסיס

שלב 1 מתוך 4

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא

40°

. מצאו את זוויות הבסיס.

סכום זוויות במשולש הוא $180°$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

$math/013-trigonometry$ דוגמה 2 - מזווית בסיס לזווית ראש

שלב 1 מתוך 3

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא

55°

. מצאו את זווית הראש.

זוויות הבסיס שוות, לכן יש לנו שתי זוויות של $55°$ .

∠ B = ∠ C = 55°

$math/027-notepad$ אסטרטגיות חישוב

$math/017-ruler$ איך מחשבים זוויות בשווה שוקיים

$math/025-numbers$

ראש נתונה

מחסרים את הראש מ- $180°$ .

מחלקים את השארית ב-2.

זוויות הבסיס שוות.

בסיס נתונה

מכפילים אותה ב-2.

מחסרים מ- $180°$ .

מקבלים את זווית הראש.

גובה לבסיס

מאונך לבסיס.

מחלק את הראש ל-2.

מחלק את הבסיס ל-2.

מזוויות לצלעות

אם זוויות בסיס שוות.

אז השוקיים מולן שוות.

המשולש שווה שוקיים.

דוגמאות חישוב מהירות

ראש $100°$

$180° - 100° = 80°$ . $80° \div 2 = 40°$ . כל זווית בסיס $40°$ .

בסיס $55°$

$55° + 55° = 110°$ . $180° - 110° = 70°$ . זווית הראש $70°$ .

ראש $90°$ (ישר זווית)

$180° - 90° = 90°$ . $90° \div 2 = 45°$ . זוויות בסיס $45°$ כל אחת.

בסיס $45°$

$45° + 45° = 90°$ . $180° - 90° = 90°$ . זווית הראש $90°$ , משולש ישר זווית.

תרגול

תרגול 1 - מבסיס לראש

בסיסי

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא $55°$ . מצאו את זווית הראש.

∠ B = ∠ C = 55°

תרגול 2 - תיכון לבסיס

בינוני

במשולש שווה שוקיים, הקטע מקודקוד הראש לבסיס הוא תיכון. מה עוד אפשר להסיק עליו?

תיכון לבסיס בשווה שוקיים

תרגול 3 - גובה שמחלק את הראש

בינוני

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ נתון $A B = A C$ . הקטע $A D$ הוא גובה לבסיס $B C$ , ו- $∠ B A D = 31°$ . מצאו את זווית הראש ואת זוויות הבסיס.

∠ B A D = 31°

טעויות נפוצות

התכונות החזקות של שווה שוקיים מפתות מאוד כי הן מקצרות פתרונות. דווקא בגלל זה חשוב לבדוק את התנאים לפני השימוש: שוקיים שוות וקטע מהראש לבסיס. בלי שני התנאים אין משפט.

טעויות נפוצות בתכונות שווה שוקיים

הטעות	מה עושים במקום
להניח שגובה תמיד מחלק את זווית הקודקוד	לבדוק שהמשולש שווה שוקיים, ושהקטע יוצא מקודקוד הראש
להחיל את ההתלכדות על קטע מקודקוד בקצה הבסיס	ההתלכדות תקפה רק לקטע מקודקוד הראש (מול הבסיס)
להשתמש בזווית של חוצה הזווית כאילו היא זווית הראש כולה	לזכור שחוצה הזווית מחלק את הראש ל-2, ולכפול ב-2 כדי לקבל את זווית הראש
להניח שזוויות בסיס שוות במשולש כללי	השוויון תקף רק במשולש שווה שוקיים
להפוך את משפט הזוויות בלי לבדוק את ההתאמה	$∠ B = ∠ C \Rightarrow A B = A C$ , לא $B C$ !

תכונה עם תנאי - בדקו תמיד

הקטע מהראש לבסיס הוא בו זמנית תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי רק כאשר: (1) המשולש שווה שוקיים, (2) הקטע יוצא מקודקוד הראש (מול הבסיס), ו-(3) הוא מגיע לבסיס.

בדקו שהשוקיים שוות (נתון או מהוכחה).
בדקו שהקטע יוצא מקודקוד הראש (לא מקצוות הבסיס).
בדקו שהוא מגיע לבסיס (לא לשוק).
רק אז אפשר להשתמש בכל ארבעת התפקידים.

מחשבה ועומק

שאלה לחשיבה

למה מסוכן להשתמש בתכונת התלכדות הקטעים בלי לבדוק שהמשולש שווה שוקיים?

במשולש כללי תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי הם בדרך כלל ארבעה קטעים שונים. אם נשתמש בתכונה בלי שוויון שוקיים, נסיק מאונכות או חציית זווית שלא נובעות מהנתונים. ההוכחה תהיה לא תקפה. למשל, במשולש שונה צלעות, התיכון מקודקוד אחד אינו מאונך לצלע מולו ואינו חוצה את הזווית. רק במשולש שווה שוקיים, ורק לקטע מקודקוד הראש לבסיס, ארבעת התפקידים מתלכדים.

שאלה לחשיבה

מה ההבדל בין משפט זוויות הבסיס למשפט ההפוך שלו, ולמה שניהם חשובים?

המשפט המקורי: "אם $A B = A C$ אז $∠ B = ∠ C$ ". מתחילים מצלעות, מסיקים על זוויות. שימושי כשנתונה השוויון של הצלעות. המשפט ההפוך: "אם $∠ B = ∠ C$ אז $A B = A C$ ". מתחילים מזוויות, מסיקים על צלעות. שימושי כשנתונה השוויון של הזוויות אך לא של הצלעות. שני המשפטים יחד מאפשרים לעבור בין צלעות לזוויות בשני הכיוונים. בהוכחות זה כלי גמיש: לפעמים נוח להוכיח שוויון זוויות, לפעמים שוויון צלעות.

שאלה לחשיבה

למה במשולש שווה צלעות (כל הצלעות שוות) ההתלכדות של ארבעת התפקידים מתקיימת לכל אחד מהקודקודים, ולא רק לאחד?

משולש שווה צלעות הוא בעצם משולש שווה שוקיים בשלוש דרכים שונות: אפשר לבחור כל זוג צלעות כשוקיים, ואז הצלע השלישית היא הבסיס. לכן כל אחד משלושת הקודקודים יכול להיחשב כקודקוד ראש, וכל אחת משלוש הצלעות יכולה להיחשב כבסיס. ההתלכדות של ארבעת התפקידים תקפה לכל קודקוד, ולכן יש שלושה צירי סימטריה (מכל קודקוד לאמצע הצלע מולו). בשווה שוקיים רגיל יש רק קודקוד ראש אחד וציר סימטריה אחד.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 15

אילו ארבעה תפקידים ממלא הקטע מקודקוד הראש לבסיס במשולש שווה שוקיים?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של תכונות משולש שווה שוקיים כבר מוכן.

פתחו תרגול

תכונות משולש שווה שוקיים

מה נבנה כאן

מקור התכונות - סימטריה

מה הסימטריה מייצרת

זוויות בסיס שוות

תיכון לבסיס

גובה לבסיס

חוצה זווית הראש

אנך אמצעי לבסיס

ציר סימטריה

תכונה ראשונה - זוויות בסיס שוות

משפט זוויות הבסיס

תכונה שנייה - התלכדות הקטעים

ארבעה תפקידים בקטע אחד

ארבעת התפקידים של הקטע מהראש לבסיס

מתי מותר לאחד את ארבעת התפקידים

סיכום תכונות מרכזיות

דוגמה - חישוב זוויות בסיס

דוגמה 1 - מזווית ראש לזוויות בסיס

דוגמה 2 - מזווית בסיס לזווית ראש

אסטרטגיות חישוב

איך מחשבים זוויות בשווה שוקיים

ראש נתונה

בסיס נתונה

גובה לבסיס

מזוויות לצלעות

דוגמאות חישוב מהירות

ראש 100°

בסיס 55°

ראש 90° (ישר זווית)

בסיס 45°

תרגול

תרגול 1 - מבסיס לראש

תרגול 2 - תיכון לבסיס

תרגול 3 - גובה שמחלק את הראש

טעויות נפוצות

טעויות נפוצות בתכונות שווה שוקיים

תכונה עם תנאי - בדקו תמיד

מחשבה ועומק

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

אילו ארבעה תפקידים ממלא הקטע מקודקוד הראש לבסיס במשולש שווה שוקיים?