גרסת הדפסה | החוברת

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו - מבנה, תכונות, וחישובים אלגבריים.

מה נבנה כאן

תיכון הוא אחד הקטעים המיוחדים במשולש. הוא אינו חייב להיות גובה או חוצה זווית, אבל יש לו תכונה מוגדרת ומדויקת: הוא תמיד מגיע אל אמצע הצלע שמול הקודקוד. בכל משולש יש שלושה תיכונים, ולהם תכונה יוצאת דופן - הם נפגשים בנקודה אחת. בפרק הזה נכיר את ההגדרה, נלמד לזהות תיכונים, ונעבוד עם משוואות שמערבות תיכון.

הגדרה מדויקת: תיכון = קטע מקודקוד לאמצע הצלע שמולו. שני תנאים שצריכים להתקיים יחד.
נקודת אמצע: נשתמש בשוויון שני חלקי הצלע ( $B D = D C$ ) כדי לזהות אמצע.
שלושה תיכונים: כל משולש בעל שלושה תיכונים, הנפגשים בנקודה אחת - מרכז הכובד.
הבחנה: נבדיל בין תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי - ארבעה קטעים שונים בדרך כלל.

תיכון - הגדרה מדויקת

תיכון נולד משני פרטים מדויקים: קודקוד אחד של המשולש, ונקודת אמצע על הצלע שמולו. שני התנאים חייבים להתקיים יחד. אם הקטע לא יוצא מקודקוד, הוא לא תיכון. אם הוא לא מגיע לאמצע, גם הוא לא תיכון. בכל תרגיל נבדוק את שני התנאים.

הגדרת תיכון

במשולש $△ A B C$ , אם נקודה $D$ היא אמצע הצלע $B C$ , אז הקטע $A D$ נקרא תיכון מהקודקוד $A$ לצלע $B C$ .

B D = D C \Leftrightarrow A D תיכון מ- A ל- B C

תזכרו: שוויון של חצאי הצלע הוא הקריטריון. הציור לא קובע - הנתון האלגברי קובע.

שלושה תיכונים ומרכז הכובד

בכל משולש יש שלושה קודקודים, ולכן בכל משולש אפשר לצייר שלושה תיכונים - אחד מכל קודקוד אל אמצע הצלע שמולו. תכונה יוצאת דופן: שלושת התיכונים האלה תמיד נפגשים בנקודה אחת בתוך המשולש. הנקודה הזו נקראת מרכז הכובד של המשולש.

תכונות מרכז הכובד

נקודת מפגש

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, תמיד בתוך המשולש.

יחס 2:1

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2 : 1$ , כשהחלק הארוך מצד הקודקוד.

מרכז פיזיקלי

אם נחתוך משולש מנייר, נוכל לאזן אותו על קצה עיפרון בנקודת מרכז הכובד. משם גם השם.

תמיד פנימה

מרכז הכובד תמיד נמצא בתוך המשולש, גם במשולש קהה זווית.

שווה במשקל

מרכז הכובד הוא הנקודה היחידה במשולש שבה כל הסכום הווקטורי מתאזן.

שמירה על שטח

כל אחד משלושת התיכונים מחלק את המשולש לשני חלקים שווים בשטח.

תיכון $A D$ במשולש $△ A B C$

D היא אמצע BC (BD=DC=5), לכן AD הוא תיכון מהקודקוד A. שימו לב שהמשולש לא בהכרח שווה שוקיים.

הגדרת תיכון

B D = D C \Leftrightarrow A D תיכון מ- A ל- B C

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי

קטע	מה הוא חייב לעשות	מה אינו חייב לעשות	במשולש שווה שוקיים מהראש
תיכון	להגיע לאמצע הצלע מול הקודקוד	להיות מאונך, או לחצות זווית	מתלכד עם השאר
גובה	להיות מאונך לצלע (או להמשכה)	לחצות את הצלע באמצע	מתלכד עם השאר
חוצה זווית	לחלק זווית קודקוד לחצי	להגיע לאמצע הצלע מולו	מתלכד עם השאר
אנך אמצעי	מאונך לצלע באמצעה	לעבור דרך קודקוד	מתלכד עם השאר (לבסיס)

דוגמה - בודקים אם $A D$ תיכון

בדוגמה הבאה הנתון המספרי אינו קישוט. הוא בדיוק הדרך לבדוק אם הנקודה שעל הצלע היא נקודת אמצע, ולכן הוא קובע אם אפשר לקרוא לקטע תיכון.

דוגמה 1 - זיהוי תיכון מנתון מספרי

במשולש m △ A B C / m, נקודה m D / m על m B C / m .נתון m B D = 5 / m ו - m D C = 5 / m .האם m A D / m תיכון ?

שני חלקי הצלע $B C$ שווים.
$B D = D C = 5$
לכן $D$ היא נקודת האמצע של $B C$ .
$D = אמצע (B C)$
הקטע $A D$ יוצא מהקודקוד $A$ ומגיע לאמצע $D$ - שני התנאים מתקיימים.
$A D תיכון$

תשובה:

כן. m A D / m הואתיכוןמהקודקוד m A / m לצלע m B C / m .

דוגמה 2 - מוצאים נעלם בעזרת תיכון

במשולש m △ A B C / m, הקטע m A D / m הואתיכוןלצלע m B C / m .נתון m B D = 3 x - 2 / m ו - m D C = x + 4 / m .מצאואת m x / m ואת m B C / m .

תיכון אומר ש- $D$ היא אמצע $B C$ , ולכן שני חלקי הצלע שווים.
$B D = D C$
מציבים את הביטויים של שני החלקים.
$3 x - 2 = x + 4$
מעבירים אגפים: כל ה- $x$ לאגף אחד, המספרים לאגף השני.
$3 x - x = 4 + 2$
מבצעים את החישוב.
$2 x = 6$
מחלקים ב-2 ומקבלים את ערך הנעלם.
$x = 3$
בודקים את שני החלקים של הצלע.
$B D = 3 \cdot 3 - 2 = 7, D C = 3 + 4 = 7$
מחברים את שני החלקים כדי לקבל את כל הצלע.
$B C = B D + D C = 7 + 7 = 14$

תשובה:

m x = 3 / m ו - m B C = 14 / m .

מזהים לפי תפקיד, לא לפי מראה

נכון

הקטע יוצא מקודקוד.
הוא מגיע לנקודה על הצלע מולו.
יש שוויון נתון של שני חלקי הצלע.

מטעה

הקטע נראה מרכזי בציור.
אין נתון ששני חלקי הצלע שווים.
מסתמכים על מראה במקום על נתון.

מה מספיק ומה לא

נתון מספיק לתיכון

$B D = D C$ ולכן $D$ אמצע $B C$ , וניתן לקרוא ל- $A D$ תיכון.

נתון לא מספיק

$D$ מצוירת בערך באמצע, אבל אין סימון או נתון של שוויון.

מספיק - מסקנה ממשפט

במשולש שווה שוקיים, גובה לבסיס מגיע לאמצע. ולכן $D$ אמצע ו- $A D$ תיכון.

לא מספיק - גובה לבד

במשולש כללי, גובה אינו מגיע לאמצע, ולכן בלי שוויון שני חלקים אינו תיכון.

תרגול

תרגיל

תרגול 1 - חצי צלע

במשולש $△ A B C$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ , ו- $B C = 14$ . מצאו את $B D$ ואת $D C$ .

B C = 14, A D תיכון

תרגיל

תרגול 2 - גובה לעומת תיכון

במשולש כללי $△ A B C$ , נתון $A D ⊥ B C$ . האם מכאן בהכרח $A D$ הוא תיכון?

A D ⊥ B C

תרגיל

תרגול 3 - נעלם בחצי צלע

במשולש $△ A B C$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ . נתון $B D = 2 x + 1$ ו- $D C = 11$ . מצאו את $x$ ואת $B C$ .

B D = 2 x + 1, D C = 11, A D תיכון

טעויות נפוצות

בטענות על תיכון הטעות מתחילה לרוב במילה "נראה". בגאומטריה מחליפים מראה בנתון: שוויון שני חלקי הצלע, סימון אמצע, או מסקנה ממשפט קודם. הציור הוא כלי עזר, לא הוכחה.

טעויות נפוצות בתיכון

הטעות	מה לעשות במקום
להניח שתיכון תמיד מאונך לצלע	תיכון אינו חייב להיות מאונך. רק בשווה שוקיים מהראש לבסיס מתלכד.
לחשוב שגובה תמיד תיכון	במשולש כללי גובה אינו תיכון. רק בשווה שוקיים מהראש.
להסיק תיכון מציור בלי שוויון נתון	צריך נתון מפורש: $B D = D C$ , או סימון אמצע על הציור.
לחלק את כל צלעות המשולש ב-2	התיכון מחלק רק את הצלע אליה הוא מגיע, לא את כולן.
להציב $x$ ב- $B C$ כשהביטוי תיאר רק את $B D$	$B C = B D + D C$ . צריך לחבר את שני החלקים.

מחשבה ועומק

מדוע ציור שנראה כאילו $D$ באמצע אינו מספיק בנימוק?

במשולש שווה צלעות, כמה תיכונים יש, ומה התכונה שלהם?

למה דווקא 2:1 הוא היחס שבו מרכז הכובד מחלק כל תיכון, ומה המשמעות הפיזיקלית?

תיכון במציאות - חישוב מרכז הכובד

תיכון אינו רק מושג מתמטי - הוא בסיס לחישובים פיזיקליים, הנדסיים, וגרפיים. הנה מספר דוגמאות מעשיות שבהן תיכון ומרכז הכובד מופיעים.

תיכון ומרכז כובד ביישומים אמיתיים

אקרובטיקה ומשקל

אקרובט שמחזיק על פלטפורמה משולשת חייב לעמוד מעל מרכז הכובד שלו. אם הוא יוצא מהציר - הפלטפורמה תיפול. מרכז הכובד הוא בדיוק נקודת מפגש שלושת התיכונים.

גרפיקה ממוחשבת

במשחקי וידאו ובסרטי אנימציה, כל אובייקט מסומן במרכז הכובד שלו. כשהאובייקט מסתובב, הסיבוב סביב מרכז הכובד נראה הכי טבעי. הציור הזה מתחיל מתיכונים.

הנדסה אזרחית

מהנדסים מחשבים את מרכז הכובד של כל מבנה לפני בנייתו. אם הוא לא מעל הבסיס, המבנה ייפול. בנייני גורד שחקים בוחנים את מרכז הכובד של כל קומה ושל המבנה כולו.

ביולוגיה - שלד האדם

מרכז הכובד של גוף האדם נמצא בערך באזור הטבור. כשמסתובבים, מנופים, או רוקדים - הגוף מתאזן סביב נקודה זו. זוהי בדיוק המקבילה הפיזית של מפגש התיכונים בתוך משולש.

פיזיקה: גלגלי הצופים

גלגל שאינו מאוזן 'יקפץ' כשמסתובב. ייצור גלגלים דורש להבטיח שמרכז הכובד נמצא בדיוק במרכז הגלגל - שזה המפגש של התיכונים אם רואים את הגלגל כמשולש.

אסטרונומיה: מרכז כובד מערכת השמש

מרכז הכובד של מערכת השמש נמצא לפעמים בתוך השמש ולפעמים מחוצה לה (תלוי במיקום הכוכבים). תורת הכבידה משתמשת בעקרונות של מרכז כובד שמתחילים בגאומטריה הבסיסית של תיכון.

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי - מפת ההבדלים

מושג	מקור	יעד	מאפיין מיוחד
תיכון	קודקוד	אמצע הצלע מולו	מחלק את הצלע לשני חלקים שווים
גובה	קודקוד	נקודה על הצלע מולו (לאו דווקא אמצע)	מאונך לצלע
חוצה זווית	קודקוד	נקודה על הצלע מולו	מחלק את הזווית לשני חלקים שווים
אנך אמצעי	אמצע הצלע	אינסוף - זו ישר	מאונך לצלע באמצע (לא יוצא מקודקוד)

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי ההגדרה הפורמלית של תיכון במשולש?

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו
כל קטע מאונך לצלע
כל צלע במשולש
קטע שמחלק זווית בלבד

2.אם $B D = D C$ , מה אפשר לומר על נקודה $D$ ?

$D$ היא אמצע הצלע $B C$
$D$ היא זווית במשולש
$A D$ בהכרח מאונך
$B C = A D$

3.אם $B C = 18$ ו- $A D$ תיכון לצלע $B C$ , מהו $B D$ ?

$9$
$18$
$6$
אי אפשר לדעת

4.האם כל תיכון הוא גם גובה?

לא. תיכון אינו חייב להיות מאונך לצלע
כן, תמיד
רק במשולש שונה צלעות
רק אם הוא מצויר אנכי

5.איזה נתון חסר כדי להוכיח ש- $A D$ תיכון?

$B D = D C$ (שוויון שני חלקי הצלע מולה)
$A B = A C$
$∠ A = 60°$
$A B = B C$

6.מהי הטעות הנפוצה ביותר בזיהוי תיכון?

להסתמך על המראה של הציור במקום על נתון אלגברי
לבדוק שוויון שני חלקי הצלע
לסמן את הקודקודים
לכתוב יחידות מידה

7.נתון: $D$ על $B C$ , $B D = D C$ , והקטע $A D$ מצויר. איזו מסקנה נכונה?

$A D$ הוא תיכון לצלע $B C$
$A D$ הוא בהכרח חוצה זווית
$A B = A C$
$A D = B D$

8. $A D$ תיכון לצלע $B C$ . נתון $B D = 2 x + 3$ ו- $D C = 15$ . מהו $x$ ?

$x = 6$
$x = 9$
$x = 12$
$x = 15$

9.איזו טענה היא נימוק מלא לכך ש- $D$ אמצע $B C$ ?

$D$ נמצאת על $B C$ ו- $B D = D C$
$D$ קרובה למרכז הציור
$A D$ ארוך יותר מ- $B D$
$A B = B C$

10.אם $A D$ תיכון לצלע $B C$ ו- $B C = 2 y$ , מהו $B D$ ?

$y$
$2 y$
$4 y$
אי אפשר לדעת

11.כמה תיכונים יש בכל משולש, ומה תכונתם המיוחדת?

שלושה תיכונים, ושלושתם נפגשים בנקודה אחת (מרכז הכובד)
תיכון אחד בלבד
שני תיכונים, אחד מכל קודקוד צמוד לבסיס
ארבעה תיכונים, כולל הצלעות

12.במשולש $△ P QR$ עם צלעות $P Q = 10, QR = 14, P R = 12$ , התיכון $P M$ מצויר לצלע $QR$ . מהו $QM$ ?

$7$
$5$
$6$
$10$

13.האם תיכון תמיד נמצא בתוך המשולש?

כן, תיכון תמיד בתוך המשולש כי הוא קטע מקודקוד לאמצע הצלע מולו
לא, במשולש קהה זווית התיכון יוצא מהמשולש
רק בשווה שוקיים
רק אם המשולש חד זווית

14.במשולש $△ A B C$ , $A M$ תיכון. נתון $B M = 4 y - 3$ ו- $M C = y + 9$ . מהו $y$ ?

$y = 4$
$y = 3$
$y = 12$
$y = 13$

15.במשולש שווה צלעות, איזו תכונה ייחודית יש לתיכונים?

כל תיכון הוא גם גובה, גם חוצה זווית, וגם אנך אמצעי
התיכונים שווים בדיוק לצלעות
אין תיכונים במשולש שווה צלעות
התיכונים יוצאים מאותו קודקוד

מה נבנה כאן

תיכון - הגדרה מדויקת

הגדרת תיכון

שלושה תיכונים ומרכז הכובד

תכונות מרכז הכובד

נקודת מפגש

יחס 2:1

מרכז פיזיקלי

תמיד פנימה

שווה במשקל

שמירה על שטח

תיכון AD במשולש △ABC

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי

דוגמה - בודקים אם AD תיכון

דוגמה 1 - זיהוי תיכון מנתון מספרי

דוגמה 2 - מוצאים נעלם בעזרת תיכון

מזהים לפי תפקיד, לא לפי מראה

נכון

מטעה

מה מספיק ומה לא

נתון מספיק לתיכון

נתון לא מספיק

מספיק - מסקנה ממשפט

לא מספיק - גובה לבד

תרגול

תרגול 1 - חצי צלע

תרגול 2 - גובה לעומת תיכון

תרגול 3 - נעלם בחצי צלע

טעויות נפוצות

טעויות נפוצות בתיכון

מחשבה ועומק

תיכון במציאות - חישוב מרכז הכובד

תיכון ומרכז כובד ביישומים אמיתיים

אקרובטיקה ומשקל

גרפיקה ממוחשבת

הנדסה אזרחית

ביולוגיה - שלד האדם

פיזיקה: גלגלי הצופים

אסטרונומיה: מרכז כובד מערכת השמש

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי - מפת ההבדלים

תיכון $A D$ במשולש $△ A B C$

דוגמה - בודקים אם $A D$ תיכון