תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו - מבנה, תכונות, וחישובים אלגבריים.

מה נבנה כאן

תיכון הוא אחד הקטעים המיוחדים במשולש. הוא אינו חייב להיות גובה או חוצה זווית, אבל יש לו תכונה מוגדרת ומדויקת: הוא תמיד מגיע אל אמצע הצלע שמול הקודקוד. בכל משולש יש שלושה תיכונים, ולהם תכונה יוצאת דופן - הם נפגשים בנקודה אחת. בפרק הזה נכיר את ההגדרה, נלמד לזהות תיכונים, ונעבוד עם משוואות שמערבות תיכון.

הגדרה מדויקת

תיכון = קטע מקודקוד לאמצע הצלע שמולו. שני תנאים שצריכים להתקיים יחד.

נקודת אמצע

נשתמש בשוויון שני חלקי הצלע (

B D = D C

) כדי לזהות אמצע.

שלושה תיכונים

כל משולש בעל שלושה תיכונים, הנפגשים בנקודה אחת - מרכז הכובד.

הבחנה

נבדיל בין תיכון, גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי - ארבעה קטעים שונים בדרך כלל.

תיכון - הגדרה מדויקת

תיכון נולד משני פרטים מדויקים: קודקוד אחד של המשולש, ונקודת אמצע על הצלע שמולו. שני התנאים חייבים להתקיים יחד. אם הקטע לא יוצא מקודקוד, הוא לא תיכון. אם הוא לא מגיע לאמצע, גם הוא לא תיכון. בכל תרגיל נבדוק את שני התנאים.

הגדרת תיכון

במשולש $△ A B C$ , אם נקודה $D$ היא אמצע הצלע $B C$ , אז הקטע $A D$ נקרא תיכון מהקודקוד $A$ לצלע $B C$ .

המילים "מקודקוד" ו"אמצע הצלע שמולו" חייבות שתיהן להתקיים. המשמעות: $B D = D C$ (שוויון שני חלקי הצלע). תיכון אינו חייב להיות מאונך לבסיס, ואינו חייב לחצות את הזווית.

$B D = D C \Leftrightarrow A D תיכון מ- A ל- B C$

תזכרו: שוויון של חצאי הצלע הוא הקריטריון. הציור לא קובע - הנתון האלגברי קובע.

שלושה תיכונים ומרכז הכובד

בכל משולש יש שלושה קודקודים, ולכן בכל משולש אפשר לצייר שלושה תיכונים - אחד מכל קודקוד אל אמצע הצלע שמולו. תכונה יוצאת דופן: שלושת התיכונים האלה תמיד נפגשים בנקודה אחת בתוך המשולש. הנקודה הזו נקראת מרכז הכובד של המשולש.

תכונות מרכז הכובד

נקודת מפגש

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, תמיד בתוך המשולש.

יחס 2:1

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2 : 1$ , כשהחלק הארוך מצד הקודקוד.

מרכז פיזיקלי

אם נחתוך משולש מנייר, נוכל לאזן אותו על קצה עיפרון בנקודת מרכז הכובד. משם גם השם.

תמיד פנימה

מרכז הכובד תמיד נמצא בתוך המשולש, גם במשולש קהה זווית.

שווה במשקל

מרכז הכובד הוא הנקודה היחידה במשולש שבה כל הסכום הווקטורי מתאזן.

שמירה על שטח

כל אחד משלושת התיכונים מחלק את המשולש לשני חלקים שווים בשטח.

תיכון $A D$ במשולש $△ A B C$

D היא אמצע BC (BD=DC=5), לכן AD הוא תיכון מהקודקוד A. שימו לב שהמשולש לא בהכרח שווה שוקיים.

הגדרת תיכון

B D = D C \Leftrightarrow A D תיכון מ- A ל- B C

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי

קטע	מה הוא חייב לעשות	מה אינו חייב לעשות	במשולש שווה שוקיים מהראש
תיכון	להגיע לאמצע הצלע מול הקודקוד	להיות מאונך, או לחצות זווית	מתלכד עם השאר
גובה	להיות מאונך לצלע (או להמשכה)	לחצות את הצלע באמצע	מתלכד עם השאר
חוצה זווית	לחלק זווית קודקוד לחצי	להגיע לאמצע הצלע מולו	מתלכד עם השאר
אנך אמצעי	מאונך לצלע באמצעה	לעבור דרך קודקוד	מתלכד עם השאר (לבסיס)

מבנה נימוק קצר

כדי לנמק שקטע הוא תיכון: (1) הראו שהקטע יוצא מקודקוד מסוים. (2) הראו שהוא מגיע לנקודה שהיא אמצע הצלע מולו (כלומר, שוויון שני חלקי הצלע). רק אחרי שני החלקים מותר להסיק שהקטע הוא תיכון.

דוגמה - בודקים אם $A D$ תיכון

בדוגמה הבאה הנתון המספרי אינו קישוט. הוא בדיוק הדרך לבדוק אם הנקודה שעל הצלע היא נקודת אמצע, ולכן הוא קובע אם אפשר לקרוא לקטע תיכון.

דוגמה 1 - זיהוי תיכון מנתון מספרי

שלב 1 מתוך 3

במשולש

△ A B C

, נקודה

D

על

B C

. נתון

B D = 5

ו-

D C = 5

. האם

A D

תיכון?

שני חלקי הצלע $B C$ שווים.

B D = D C = 5

$math/039-measurement$ דוגמה 2 - מוצאים נעלם בעזרת תיכון

שלב 1 מתוך 7

במשולש

△ A B C

, הקטע

A D

הוא תיכון לצלע

B C

. נתון

B D = 3 x - 2

ו-

D C = x + 4

. מצאו את

x

ואת

B C

איזו משוואה נובעת מהתיכון?

מזהים לפי תפקיד, לא לפי מראה

נכון

הקטע יוצא מקודקוד.
הוא מגיע לנקודה על הצלע מולו.
יש שוויון נתון של שני חלקי הצלע.

מטעה

הקטע נראה מרכזי בציור.
אין נתון ששני חלקי הצלע שווים.
מסתמכים על מראה במקום על נתון.

מה מספיק ומה לא

נתון מספיק לתיכון

$B D = D C$ ולכן $D$ אמצע $B C$ , וניתן לקרוא ל- $A D$ תיכון.

נתון לא מספיק

$D$ מצוירת בערך באמצע, אבל אין סימון או נתון של שוויון.

מספיק - מסקנה ממשפט

במשולש שווה שוקיים, גובה לבסיס מגיע לאמצע. ולכן $D$ אמצע ו- $A D$ תיכון.

לא מספיק - גובה לבד

במשולש כללי, גובה אינו מגיע לאמצע, ולכן בלי שוויון שני חלקים אינו תיכון.

תרגול

תרגול 1 - חצי צלע

בסיסי

במשולש $△ A B C$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ , ו- $B C = 14$ . מצאו את $B D$ ואת $D C$ .

B C = 14, A D תיכון

תרגול 2 - גובה לעומת תיכון

בינוני

במשולש כללי $△ A B C$ , נתון $A D ⊥ B C$ . האם מכאן בהכרח $A D$ הוא תיכון?

A D ⊥ B C

תרגול 3 - נעלם בחצי צלע

בינוני

במשולש $△ A B C$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ . נתון $B D = 2 x + 1$ ו- $D C = 11$ . מצאו את $x$ ואת $B C$ .

B D = 2 x + 1, D C = 11, A D תיכון

טעויות נפוצות

בטענות על תיכון הטעות מתחילה לרוב במילה "נראה". בגאומטריה מחליפים מראה בנתון: שוויון שני חלקי הצלע, סימון אמצע, או מסקנה ממשפט קודם. הציור הוא כלי עזר, לא הוכחה.

טעויות נפוצות בתיכון

הטעות	מה לעשות במקום
להניח שתיכון תמיד מאונך לצלע	תיכון אינו חייב להיות מאונך. רק בשווה שוקיים מהראש לבסיס מתלכד.
לחשוב שגובה תמיד תיכון	במשולש כללי גובה אינו תיכון. רק בשווה שוקיים מהראש.
להסיק תיכון מציור בלי שוויון נתון	צריך נתון מפורש: $B D = D C$ , או סימון אמצע על הציור.
לחלק את כל צלעות המשולש ב-2	התיכון מחלק רק את הצלע אליה הוא מגיע, לא את כולן.
להציב $x$ ב- $B C$ כשהביטוי תיאר רק את $B D$	$B C = B D + D C$ . צריך לחבר את שני החלקים.

שתי שאלות לתיכון

כדי לזהות תיכון, שאלו שתי שאלות: (1) האם הקטע יוצא מקודקוד? (2) האם הוא מגיע לנקודה שהיא אמצע הצלע מולו?

חפשו את הקודקוד ממנו יוצא הקטע.
חפשו שוויון של שני חלקי הצלע מולו.
אל תסתמכו על מאונכות בלבד.
אל תסתמכו על מראה הציור.

מחשבה ועומק

שאלה לחשיבה

מדוע ציור שנראה כאילו $D$ באמצע אינו מספיק בנימוק?

בגאומטריה ציור הוא כלי עזר ויזואלי, אבל הוא לא נתון מדויק. ציור יכול להטעות: נקודה יכולה להיראות באמצע אבל להיות במציאות במרחק שונה. אם אין סימון מפורש (כמו שני קווים קטנים זהים שמראים שוויון) או נתון אלגברי כמו $B D = D C$ , אי אפשר להסיק ש- $D$ אמצע. בהוכחה גאומטרית כל טענה צריכה נימוק - נתון, משפט, או הוכחה קודמת. "הציור מראה" אינו נימוק חוקי.

שאלה לחשיבה

במשולש שווה צלעות, כמה תיכונים יש, ומה התכונה שלהם?

במשולש שווה צלעות יש שלושה תיכונים, אחד מכל קודקוד. במשולש שווה צלעות לכל אחד משלושת התיכונים יש את אותן תכונות מיוחדות שיש לתיכון מהראש בשווה שוקיים: כל תיכון הוא גם גובה, גם חוצה זווית, וגם אנך אמצעי. זה כי משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים בשלושה אופנים שונים. בנוסף, שלושת התיכונים נפגשים במרכז הכובד, ומחלקים את המשולש לשישה משולשים קטנים חופפים. זה מקרה מיוחד וסימטרי במיוחד.

שאלה לחשיבה

למה דווקא 2:1 הוא היחס שבו מרכז הכובד מחלק כל תיכון, ומה המשמעות הפיזיקלית?

היחס $2 : 1$ נובע מתכונות הסימטריה של המשולש. מבחינה פיזיקלית, מרכז הכובד הוא הנקודה שבה מתאזנת מסת המשולש. אם נחשוב על המשולש כשלוש נקודות מסה שוות בקודקודים, מרכז הכובד הוא הממוצע של מיקומיהן. בכל תיכון, החלק הקרוב לקודקוד 'נושא' את מסת הקודקוד הבודד, ואילו החלק הקרוב לאמצע הצלע 'נושא' את מסת שני הקודקודים האחרים. שני קודקודים מאזנים אחד, ולכן היחס $2 : 1$ מצד הקודקוד. זאת הסיבה שאפשר לאזן משולש מנייר על קצה עיפרון בנקודת מרכז הכובד.

תיכון במציאות - חישוב מרכז הכובד

תיכון אינו רק מושג מתמטי - הוא בסיס לחישובים פיזיקליים, הנדסיים, וגרפיים. הנה מספר דוגמאות מעשיות שבהן תיכון ומרכז הכובד מופיעים.

תיכון ומרכז כובד ביישומים אמיתיים

אקרובטיקה ומשקל

אקרובט שמחזיק על פלטפורמה משולשת חייב לעמוד מעל מרכז הכובד שלו. אם הוא יוצא מהציר - הפלטפורמה תיפול. מרכז הכובד הוא בדיוק נקודת מפגש שלושת התיכונים.

גרפיקה ממוחשבת

במשחקי וידאו ובסרטי אנימציה, כל אובייקט מסומן במרכז הכובד שלו. כשהאובייקט מסתובב, הסיבוב סביב מרכז הכובד נראה הכי טבעי. הציור הזה מתחיל מתיכונים.

הנדסה אזרחית

מהנדסים מחשבים את מרכז הכובד של כל מבנה לפני בנייתו. אם הוא לא מעל הבסיס, המבנה ייפול. בנייני גורד שחקים בוחנים את מרכז הכובד של כל קומה ושל המבנה כולו.

ביולוגיה - שלד האדם

מרכז הכובד של גוף האדם נמצא בערך באזור הטבור. כשמסתובבים, מנופים, או רוקדים - הגוף מתאזן סביב נקודה זו. זוהי בדיוק המקבילה הפיזית של מפגש התיכונים בתוך משולש.

פיזיקה: גלגלי הצופים

גלגל שאינו מאוזן 'יקפץ' כשמסתובב. ייצור גלגלים דורש להבטיח שמרכז הכובד נמצא בדיוק במרכז הגלגל - שזה המפגש של התיכונים אם רואים את הגלגל כמשולש.

אסטרונומיה: מרכז כובד מערכת השמש

מרכז הכובד של מערכת השמש נמצא לפעמים בתוך השמש ולפעמים מחוצה לה (תלוי במיקום הכוכבים). תורת הכבידה משתמשת בעקרונות של מרכז כובד שמתחילים בגאומטריה הבסיסית של תיכון.

סיכום: שלושה רעיונות מרכזיים על תיכון

הגדרה: תיכון הוא קטע מקודקוד לאמצע הצלע מולו. רק שני תנאים: יוצא מקודקוד + נופל על אמצע הצלע מולו.
מרכז הכובד: שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, בתוך המשולש תמיד, ומחלקים זה את זה ביחס $2 : 1$ מהקודקוד.
תיכון מול גובה וחוצה זווית: תיכון נוגע באמצע הצלע, גובה מאונך לצלע, חוצה זווית חוצה את הזווית. ככלל - הם שלושה דברים שונים. רק במקרים מיוחדים (כמו משולש שווה שוקיים) כמה מהם מתלכדים.

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי - מפת ההבדלים

מושג	מקור	יעד	מאפיין מיוחד
תיכון	קודקוד	אמצע הצלע מולו	מחלק את הצלע לשני חלקים שווים
גובה	קודקוד	נקודה על הצלע מולו (לאו דווקא אמצע)	מאונך לצלע
חוצה זווית	קודקוד	נקודה על הצלע מולו	מחלק את הזווית לשני חלקים שווים
אנך אמצעי	אמצע הצלע	אינסוף - זו ישר	מאונך לצלע באמצע (לא יוצא מקודקוד)

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 15

במשולש $△ P QR$ עם צלעות $P Q = 10, QR = 14, P R = 12$ , התיכון $P M$ מצויר לצלע $QR$ . מהו $QM$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות כבר מוכן.

פתחו תרגול

תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

מה נבנה כאן

תיכון - הגדרה מדויקת

הגדרת תיכון

שלושה תיכונים ומרכז הכובד

תכונות מרכז הכובד

נקודת מפגש

יחס 2:1

מרכז פיזיקלי

תמיד פנימה

שווה במשקל

שמירה על שטח

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי

מבנה נימוק קצר

דוגמה - בודקים אם AD תיכון

דוגמה 1 - זיהוי תיכון מנתון מספרי

דוגמה 2 - מוצאים נעלם בעזרת תיכון

מזהים לפי תפקיד, לא לפי מראה

נכון

מטעה

מה מספיק ומה לא

נתון מספיק לתיכון

נתון לא מספיק

מספיק - מסקנה ממשפט

לא מספיק - גובה לבד

תרגול

תרגול 1 - חצי צלע

תרגול 2 - גובה לעומת תיכון

תרגול 3 - נעלם בחצי צלע

טעויות נפוצות

טעויות נפוצות בתיכון

שתי שאלות לתיכון

מחשבה ועומק

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

תיכון במציאות - חישוב מרכז הכובד

תיכון ומרכז כובד ביישומים אמיתיים

אקרובטיקה ומשקל

גרפיקה ממוחשבת

הנדסה אזרחית

ביולוגיה - שלד האדם

פיזיקה: גלגלי הצופים

אסטרונומיה: מרכז כובד מערכת השמש

סיכום: שלושה רעיונות מרכזיים על תיכון

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי - מפת ההבדלים

במשולש △PQR עם צלעות PQ=10,QR=14,PR=12, התיכון PM מצויר לצלע QR. מהו QM?