גרסת הדפסה | החוברת

כל המושגים, המשפטים והאסטרטגיות בפרק - מפה אחת מסודרת לפני המבחן.

הרעיון הגדול של הפרק

בפרק הזה למדנו לעבור מציור לנימוק. הציור עוזר להבין, אבל ההוכחה דורשת נימוק לוגי. למדנו לזהות התאמות בין משולשים, לבחור משפט חפיפה רק כשהנתונים באמת מספיקים, להבדיל בין שוויון שטחים לחפיפה, ולהשתמש בתכונות משולש שווה שוקיים בלי לדלג על תנאים. זאת היסודות של חשיבה גאומטרית פורמלית.

מציור לנימוק: ציור הוא כלי עזר. נתון אלגברי או משפט הם הראיות.
שלושת משפטי החפיפה: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ - מספיקים יחד לכיתה ח.
דוגמאות נגד: ז.ז.ז ו-SSA אינם משפטי חפיפה - דוגמה אחת מפילה.
תיכון ושטח: תיכון מחלק שטח לחצי. אבל לא חפיפה!
סימטריה של שווה שוקיים: מקור כל התכונות: זוויות בסיס שוות, התלכדות הקטעים.

המודולים בפרק - מפה

מהי חפיפת משולשים

אותו משולש בדיוק, גם אחרי הזזה, סיבוב או שיקוף

צלעות וזוויות מתאימות

הסדר בשם המשולש הוא מפה להתאמות

משפט צ.ז.צ

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן קובעות משולש

משפט ז.צ.ז

שתי זוויות והצלע שביניהן קובעות את המשולש

משפט צ.צ.צ

שלוש צלעות מתאימות קובעות את המשולש

מתי הנתונים אינם מספיקים

ז.ז.ז ו-SSA לא מספיקים. דוגמה נגד אחת מפילה טענה

תיכון במשולש

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו

תיכון ושוויון שטחים

שני משולשים עם בסיסים שווים וגובה משותף - שטחים שווים

משולש שווה שוקיים

שתי צלעות שוות יוצרות בסיס וזוויות בסיס

תכונות שווה שוקיים

סימטריה: זוויות בסיס שוות + ארבעה תפקידים בקטע אחד

שילוב חפיפה ושווה שוקיים

בונים הוכחות שמשלבות כל הכלים

סיכום ומשחק חזרה

מבחן עצמי על כל החומר

שלושת משפטי החפיפה

שלושת משפטי החפיפה - סיכום

צ.ז.צ (SAS)

שתי צלעות
וזווית כלואה ביניהן
$A B = D E, ∠ B = ∠ E, B C = E F$
מתאים לכלי בנייה ומדידה

ז.צ.ז (ASA)

שתי זוויות
והצלע הכלואה ביניהן
$∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E$
מתאים למדידות זוויות מרחוק

צ.צ.צ (SSS)

שלוש צלעות
ללא זווית נדרשת
$A B = D E, B C = E F, C A = F D$
המשפט החזק ביותר - מתאים למשולש מקובע

משולש שווה שוקיים - תכונות וכלים

כל התכונות של שווה שוקיים

הגדרה

לפחות שתי צלעות שוות. שתי הצלעות הן השוקיים, השלישית היא הבסיס.

זוויות בסיס שוות

$A B = A C \Leftrightarrow ∠ B = ∠ C$ . דו כיווני!

ארבעה תפקידים בקטע אחד

מהראש לבסיס: תיכון = גובה = חוצה זווית = אנך אמצעי.

ציר סימטריה

הקו מהראש לאמצע הבסיס הוא ציר הסימטריה היחיד.

מקרים מיוחדים

ראש 90° = משולש ישר זווית שווה שוקיים. ראש 60° = משולש שווה צלעות.

משפט הפוך

אם זוויות הבסיס שוות, אז המשולש שווה שוקיים. שימושי לזיהוי.

תיכון - הגדרה ותכונות

תיכון - כל מה שצריך לזכור

תכונה	הסבר	ביטוי אלגברי
הגדרה	קטע מקודקוד אל אמצע הצלע מולו	$B D = D C \Leftrightarrow A D תיכון$
כמות	בכל משולש שלושה תיכונים	אחד מכל קודקוד
מרכז כובד	שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת	מחלק כל תיכון ביחס $2 : 1$
שטח	מחלק את שטח המשולש לשני חלקים שווים	$S_{1} = S_{2} = \frac{S _{כולל}}{2}$
אינו בהכרח גובה	במשולש כללי, תיכון אינו מאונך	רק בשווה שוקיים מהראש
אינו בהכרח חוצה זווית	במשולש כללי, תיכון לא חוצה את הזווית	רק בשווה שוקיים מהראש

מפת טעויות נפוצות

מה נכון, מה טעות נפוצה

נושא	מה נכון	טעות נפוצה	איך להימנע
חפיפה	כיסוי מדויק אחרי תנועה קשיחה (הזזה/סיבוב/שיקוף)	לבלבל עם דמיון	דמיון = אותה צורה. חפיפה = אותה צורה ואותו גודל
התאמות	הסדר בשם הקודקודים קובע את ההתאמה	להתאים לפי המראה בציור	$△ A B C ≅ △ D E F$ פירושו $A \leftrightarrow D$ , וכו'
צ.ז.צ	הזווית כלואה בין שתי הצלעות	לקבל כל זווית, גם לא כלואה	צלעות $A B$ ו- $A C$ כלואות את $∠ A$ , לא $∠ B$
ז.צ.ז	הצלע כלואה בין שתי הזוויות	לקבל כל צלע	זוויות $∠ A$ ו- $∠ B$ כלואות את $A B$
ז.ז.ז	אינו משפט חפיפה - רק דמיון	לחשוב שהוא משפט חפיפה רביעי	ז.ז.ז קובע צורה, לא גודל
תיכון	אמצע הצלע מול הקודקוד ( $B D = D C)$	לחשוב שתיכון תמיד גובה	רק בשווה שוקיים מהראש מתלכדים
שטחים שווים	תיכון יוצר שני שטחים שווים	להסיק חפיפה משטח שווה	שטח = גודל. חפיפה = שוויון של כל הצלעות והזוויות
שווה שוקיים	זוויות הבסיס שוות + ארבעה תפקידים מהראש	לשכוח את תנאי השוקיים	תמיד בדקו: האם המשולש שווה שוקיים?
ציור	כלי עזר ויזואלי	להסיק מסקנות מהציור בלבד	צריך נתון אלגברי או משפט מוכר
מסקנות	אחרי חפיפה, חלקים מתאימים שווים	להשתמש ב"חלקים מתאימים" לפני שהוכחנו חפיפה	סדר: נתונים ← חפיפה ← חלקים מתאימים

דוגמת סיכום - הוכחה מלאה

דוגמת סיכום - תיכון לבסיס בשווה שוקיים

במשולש m △ A B C / m, m A B = A C / m ו - m A D / m תיכוןלבסיס m B C / m .הוכיחושהמשולשים m △ A B D / m ו - m △ A C D / m חופפים, וש - m A D ⊥ B C / m .

המשולש שווה שוקיים, ולכן השוקיים שוות.
$A B = A C (נתון)$
$A D$ תיכון לבסיס, ולכן $D$ אמצע $B C$ .
$B D = D C (הגדרת תיכון)$
$A D$ משותפת לשני המשולשים.
$A D = A D (צלע משותפת)$
שלושה שוויונות צלעות = משפט צ.צ.צ.
$△ A B D ≅ △ A C D (צ.צ.צ)$
מהחפיפה: זוויות מתאימות שוות.
$∠ A D B = ∠ A D C$
הזוויות יושבות על ישר $B C$ , סכומן $180°$ .
$∠ A D B + ∠ A D C = 180°$
שתי זוויות שוות שסכומן $180°$ - כל אחת $90°$ .
$∠ A D B = ∠ A D C = 90°$
זווית ישרה בין $A D$ ל- $B C$ = מאונכות.
$A D ⊥ B C$

תשובה:

המשולשיםחופפיםלפיצ.צ.צ, ו - m A D ⊥ B C / m (לכן m A D / m גםגובה, מעברלתיכון) .

מסלול הוכחה גאומטרית

ארבעה צעדים לכל הוכחה

1. התאמה

כתבו מי מתאים למי.
$△ A B C ≅ △ D E F$ : $A \leftrightarrow D$ .
אל תסמכו על הציור בלבד.

2. נתונים

סמנו את כל השוויונות.
כללו צלע משותפת.
בדקו כליאה כשצריך.

3. משפט

בחרו צ.ז.צ, ז.צ.ז, או צ.צ.צ.
כתבו את שמו בסוף הנימוק.
בדקו שהנתונים תואמים בדיוק.

4. מסקנה

אחרי חפיפה: חלקים מתאימים שווים.
אסור לדלג על שלב החפיפה.
כל מסקנה צריכה נימוק.

מסלול בדיקה לפני הגשה

שלב	מה עושים	שאלה שבודקת
התאמה	כותבים מי מתאים למי לפי סדר שמות המשולשים	אם $△ A B C ≅ △ D E F$ , מי מתאים ל- $C$ ?
נתונים	מפרידים בין נתון, מסקנה ביניים, ומה שרק נראה בציור	האם השוויון כתוב בנתונים או רק משוער מהשרטוט?
כליאה	בודקים אם הזווית/צלע נמצאת בין שני החלקים	האם זה באמת צ.ז.צ או רק שתי צלעות וזווית לא כלואה?
משפט	בוחרים צ.ז.צ, ז.צ.ז, או צ.צ.צ. לא ממציאים משפט	איזה משפט מתאים לשלושת הנתונים?
מסקנה	רק אחרי חפיפה מסיקים שוויון חלקים מתאימים	האם כבר הוכחנו חפיפה לפני שהשתמשנו בחלקים מתאימים?

תרגול סיכום

תרגיל

תרגול סיכום - בודקים נימוק של תלמידה

תלמידה כתבה: "במשולש $△ A B C$ נתון $A B = A C$ . הנקודה $D$ נמצאת על $B C$ ו- $A D$ חוצה את זווית $∠ A$ . לכן $△ A B D ≅ △ A C D$ ." האם הנימוק שלה מלא? אם לא, מה חסר?

A B = A C, ∠ B A D = ∠ C A D

תרגיל

תרגול סיכום - בעיה משולבת

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $M$ אמצע $B C$ . הוכיחו: (א) $△ A B M ≅ △ A C M$ . (ב) $A M ⊥ B C$ . (ג) $A M$ חוצה את $∠ B A C$ .

A B = A C, M = אמצע (B C)

רעיונות עומק לסיום

מהי הבדיקה החשובה ביותר לפני שמכריזים על חפיפה?

למה כל ההוכחות בפרק על שווה שוקיים נראות דומות מבחינת מבנה?

מה הקשר בין שטחים שווים, חפיפה, ומבנה לוגי של הוכחה?

מסקנות עיקריות מהפרק

מהפרק הזה תצאו עם שלוש 'משוכות אינטלקטואליות' עיקריות שיעזרו לכם לאורך כל הגאומטריה התיכונית: היכולת להבדיל בין מצב שיש בו מספיק נתונים לחפיפה למצב שאין, היכולת לקרוא ולכתוב הוכחות פורמליות, והיכולת לזהות סימטריות במשולשים מיוחדים.

שלוש מיומנויות מרכזיות שתחזיקו לעולם

אבחון נתונים

כשרואים שלושה נתונים על משולשים, אתם תזהו מיד אם הם 'בסדר' (צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ) או 'לא בסדר' (SSA, AAA, שטח). זה מיומנות שתשרת אתכם בכיתה ט בדמיון, בכיתה י בטריגונומטריה, ועד אינסוף.

הוכחה פורמלית

אתם יכולים לכתוב הוכחה צעד-אחר-צעד, עם נימוק לכל טענה. זוהי המיומנות המרכזית של מתמטיקאי - היכולת לטעון משהו ולגבות אותו לוגית. בלי 'הציור מראה', בלי 'נראה לי', אלא רק 'נתון/משפט/מסקנה'.

זיהוי סימטריות

אתם רואים משולש שווה שוקיים? אתם מיד רואים בו את הסימטריה - שתי שוקיים, שתי זוויות בסיס שוות, התלכדות 4 קטעים. זוהי 'עין מתמטית' שתעזור לכם לפתור בעיות הרבה יותר מהר.

צ'קליסט מאסטר - מבדיקה אישית

נושא	מה אתם צריכים לדעת
חפיפה	להגדיר; לזהות הקבלה; להסיק 6 שוויונות
צ.ז.צ	להבחין מ-SSA; ליישם בהוכחה; לזהות בציור
ז.צ.ז	להבחין מ-AAA ו-AAS; ליישם בהוכחה
צ.צ.צ	ליישם; להוכיח חפיפה במשולש שווה שוקיים
משולשים שאינם חופפים	לזהות AAA, SSA, שטח, היקף; לבנות דוגמה נגדית
משולש שווה שוקיים	להגדיר 3 חלקים; להוכיח 2 זוויות בסיס שוות
4 תפקידים בקטע מהראש	תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי
משפט הפוך	אם 2 זוויות שוות, הצלעות שמולן שוות
תיכון	להגדיר; להבחין מגובה ומחוצה זווית
שטח שווה לתיכון	להוכיח; לזהות שאינו חפיפה
מרכז הכובד	מקום מפגש 3 התיכונים; יחס $2 : 1$
הוכחה פורמלית	סדר נכון: נתונים ← משפט ← מסקנה

מבחן עצמי לפני המבחן

לפני שהגעתם למבחן, ודאו שאתם יכולים לענות בלי מחשבון או ספר על השאלות הבאות:

הסבירו במילים שלכם: מה זאת חפיפה? במה היא שונה מדמיון?
מנו את שלושת משפטי החפיפה. לכל אחד - דוגמה של נתונים שמספיקים.
תנו דוגמה של נתונים שאינם מספיקים לחפיפה. הסבירו למה.
במשולש שווה שוקיים, מה התכונה המיוחדת של הקטע מהראש לאמצע הבסיס?
מה ההבדל בין תיכון לגובה? תנו דוגמה שבה הם מתלכדים, ודוגמה שבה לא.
הוכיחו שתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח.
כתבו הוכחה פורמלית של חפיפת שני משולשים, עם נימוק לכל צעד.

אם עניתם על כל אלה בביטחון - אתם מוכנים. אם לא, חזרו על המודולים הספציפיים שאתם מרגישים פחות בטוחים בהם.

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. המשחק מערבב הגדרות, חישובים ונימוקים מכל מודולי הפרק. כל תשובה נכונה - נקודות, וטעות - הסבר. נצחו את כל הקטגוריות וסיימתם את הפרק.

שאלון סיום

השאלון המסכם בודק אם אתם יודעים: לבחור משפט חפיפה מתאים, לזהות טעות בנימוק, לנסח מסקנה נכונה, להבחין בין מושגים דומים (תיכון/גובה/חוצה זווית, חפיפה/דמיון/שטח שווה), ולבנות הוכחות שלמות. הצליחו - אתם מוכנים למבחן.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזה משפט מתאים לשתי צלעות והזווית שביניהן?

צ.ז.צ
ז.צ.ז
ז.ז.ז
תיכון

2.מה צריך לבדוק לפני שימוש בז.צ.ז?

שהצלע כלואה בין שתי הזוויות
שיש שלוש צלעות
שהציור סימטרי
שהבסיס למטה

3.מה לא מספיק לחפיפת משולשים?

ז.ז.ז
צ.ז.צ
ז.צ.ז
צ.צ.צ

4.אם $A D$ תיכון ל- $B C$ ו- $B C = 16$ , מה $B D$ ?

$8$
$16$
$4$
אי אפשר לדעת

5.מדוע תיכון מחלק את המשולש לשני שטחים שווים?

בסיסים שווים וגובה משותף
המשולשים תמיד שווי צלעות
כל זווית היא 90 מעלות
כי הציור נראה סימטרי

6.במשולש שווה שוקיים זווית הראש $8 0^{\circ}$ . מה כל זווית בסיס?

$5 0^{\circ}$
$8 0^{\circ}$
$4 0^{\circ}$
$10 0^{\circ}$

7.מהו הבסיס במשולש שווה שוקיים?

הצלע שאינה אחת משתי השוקיים
תמיד הצלע התחתונה
הצלע הארוכה בלבד
כל צלע שרוצים

8.מה מותר להסיק אחרי שהוכחנו חפיפה?

חלקים מתאימים שווים
צלעות שאינן מתאימות בהכרח שוות
אפשר להתעלם מסדר הקודקודים
כל תיכון הוא גם גובה

9.איזה נתון הוא צלע משותפת במשולשים ABD ו-ACD?

$A D = A D$
$A B = B C$
$B D = A C$
$∠ B = ∠ C$

10.איזו טעות חוזרת בפרק?

להסיק לפי מראה הציור בלי נתונים
לכתוב התאמה
לבדוק כליאה
לחשב זווית חסרה

11.מהו תפקיד דוגמה נגד?

להראות שטענה אינה נכונה תמיד
לנמק חפיפה
לחשב שטח
להחליף משפט

12.מהם שלושת משפטי החפיפה בפרק?

צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ
ז.ז.ז, תיכון, שטח
בסיס, שוקיים, גובה
חיבור, חיסור, כפל

13.נתון $△ A B C ≅ △ R S T$ . איזו צלע מתאימה ל- $A C$ ?

$R T$
$R S$
$S T$
$A B$

14.נתון $A B = D E$ , $A C = D F$ , ו- $∠ B = ∠ E$ . מה הבעיה בשימוש בצ.ז.צ?

הזווית אינה כלואה בין שתי הצלעות הנתונות
יש יותר מדי נתונים
צ.ז.צ אינו משפט חפיפה
אסור להשתמש בזוויות בחפיפה

15.במשולש $A B C$ , $A D$ תיכון ל- $B C$ ושטח $△ A B D$ הוא $18$ . מה שטח $△ A B C$ ?

$36$
$18$
$9$
אי אפשר לדעת בלי הזוויות

16.משולש שווה שוקיים בעל זוויות בסיס $3 5^{\circ}$ ו- $3 5^{\circ}$ . מה זווית הראש?

$11 0^{\circ}$
$7 0^{\circ}$
$3 5^{\circ}$
$14 5^{\circ}$

17.איזו שורת נימוק חסרה בדרך כלל כשמוכיחים חפיפה בין $△ A B D$ ו- $△ A C D$ ?

$A D = A D$ , צלע משותפת
$A B = B C$ , כי הן סמוכות
$∠ A = 9 0^{\circ}$ , תמיד
אין צורך בשורות נימוק

18.מהי הדרך הנכונה להשתמש בציור בשאלת חפיפה?

לסמן עליו נתונים כתובים, ואז לנמק לפי משפט
להחליט לפי מה שנראה שווה
למדוד בסרגל כל ציור במבחן
להתעלם מכל נתון כתוב