גרסת הדפסה | החוברת

ערכים מותרים, ערכים אסורים ומכנה שאינו אפס

מה נבנה במודול הזה

לפני שמפשטים שבר אלגברי או פותרים משוואה עם מכנה שיש בו נעלם, עוצרים ושואלים: אילו ערכים יגרמו לחלוקה באפס?

לזהות מכנים: נבדוק כל מכנה בביטוי, גם אם הוא מופיע רק בחלק מהשאלה.
למצוא ערכים אסורים: נפתור משוואה שבה המכנה שווה לאפס, ואת הפתרונות נרחיק מהתחום.
לכתוב תחום ברור: ננסח תשובה כמו $x \neq = 5$ או $x \neq = - 1, 4$ .

הרעיון המרכזי

תחום הצבה שומר על משמעות הביטוי

בשבר $\frac{x + 2}{x - 5}$ , הערך $x = 5$ מאפס את המכנה ולכן אסור להציב אותו.

x - 5 \neq = 0 ⟹ x \neq = 5

תחום הצבה אינו קישוט ליד הפתרון, הוא חלק מהמשמעות של השבר האלגברי.

תמצית: תחום הצבה שומר על משמעות הביטוי

x - 5 \neq = 0 ⟹ x \neq = 5

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות מכנים

נבדוק כל מכנה בביטוי, גם אם הוא מופיע רק בחלק מהשאלה.

למצוא ערכים אסורים

נפתור משוואה שבה המכנה שווה לאפס, ואת הפתרונות נרחיק מהתחום.

לכתוב תחום ברור

ננסח תשובה כמו $x \neq = 5$ או $x \neq = - 1, 4$ .

תמונה הממחישה ערכים אסורים שמאפסים מכנה בשבר אלגברי — תחום ההצבה נבדק לפני כל פישוט או פתרון כדי לא לחלק ב-אפס.

בכל שבר אלגברי, התחילו מהמכנים בלבד. המונה יכול להיות אפס, אבל המכנה לא.

מכנים וערכים אסורים

ביטוי	מכנה שנבדק	תחום הצבה
$\frac{x + 2}{x - 5}$	$x - 5$	$x \neq = 5$
$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}$	$x + 1, x - 4$	$x \neq = - 1, 4$
$\frac{x}{2 x + 6}$	$2 x + 6$	$x \neq = - 3$

בודקים כל מכנה בנפרד ומאחדים את כל הערכים האסורים.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

בכל שבר אלגברי, התחילו מהמכנים בלבד. המונה יכול להיות אפס, אבל המכנה לא.

תחום הצבה

כל הערכים שמותר להציב בביטוי

מכנה

אסור שיהיה שווה לאפס

בדיקה בסוף

שמרו את ההגבלה גם אחרי צמצום.

שיטה מסודרת

שיטה למציאת תחום

מעתיקים מכנים

מתעלמים מהמונים בשלב הראשון.
רושמים כל מכנה שמופיע.
לא מצמצמים לפני בדיקת התחום.

משווים לאפס

פותרים $מכנה = 0$ .
כל פתרון כזה הוא ערך אסור.
אם יש כמה מכנים, בודקים את כולם.

כותבים הגבלה

משתמשים בסימן $\neq =$ .
מפרידים כמה ערכים בפסיק.
שומרים את התחום גם אחרי פישוט.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

סוגי מכנים וערכים אסורים

סוג המכנה	דוגמה	כיצד מוצאים תחום
מספר בלבד	$\frac{x + 1}{5}$	אין הגבלה - כל $x$ מותר
משתנה לבד	$\frac{3}{x}$	$x \neq = 0$
משתנה ועוד מספר	$\frac{1}{x - 7}$	$x \neq = 7$
משתנה עם מקדם	$\frac{1}{2 x + 10}$	$2 x + 10 = 0 \Rightarrow x \neq = - 5$
מכפלה	$\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$	$x \neq = 1, x \neq = - 3$
טרינום	$\frac{1}{x ^{2} - 9}$	מפרקים: $(x - 3) (x + 3) \Rightarrow x \neq = \pm 3$
מכנה תמיד חיובי	$\frac{1}{x ^{2} + 1}$	אין הגבלה - $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ תמיד
סכום שני שברים	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3}$	כל מכנה בנפרד: $x \neq = 0, x \neq = 3$

תמיד מתחילים מהמכנים. אם יש כמה מכנים, מאחדים את התנאים.

דוגמה פתורה: מכנה ליניארי אחד

\frac{x + 2}{x - 5}

המכנה הוא $x - 5$ .
$x - 5$
דורשים שהמכנה לא יהיה אפס.
$x - 5 \neq = 0$
פותרים את האי שוויון הקטן.
$x \neq = 5$

תשובה:

x \neq = 5

דוגמה פתורה: שני מכנים

\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}

בודקים את המכנה הראשון.
$x + 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 1$
בודקים את המכנה השני.
$x - 4 \neq = 0 ⟹ x \neq = 4$
מאחדים את הערכים האסורים.
$x \neq = - 1, 4$

תשובה:

x \neq = - 1, 4

טעויות נפוצות

לא מצמצמים לפני התחום

דרך שמבלבלת

בביטוי $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$ קל לצמצם ולקבל $x$ , ואז לחשוב שכל ערך מותר.

$\frac{x ( x - 3 )}{x - 3} = x$ , לכן אין הגבלה

דרך בטוחה

קודם בודקים את המכנה המקורי: $x - 3 \neq = 0$ , ולכן $x \neq = 3$ . רק אחר כך אפשר לצמצם, עם שמירת ההגבלה.

$\frac{x ( x - 3 )}{x - 3} = x, x \neq = 3$

פישוט משנה את הצורה, אבל אינו מוחק את תחום ההצבה המקורי.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה קובע את תחום ההצבה של שבר אלגברי?

המכנה - הוא חייב להיות שונה מאפס
המונה - הוא חייב להיות שונה מאפס
שניהם, גם המונה וגם המכנה
הסימן בין המונה למכנה

2.מהו תחום ההצבה של $\frac{7}{x + 2}$ ?

$x \neq = - 2$
$x \neq = 2$
$x \neq = 7$
אין הגבלה

3.מהו תחום ההצבה של $\frac{x + 5}{x - 3}$ ?

$x \neq = 3$
$x \neq = - 5$
$x \neq = 3, - 5$
אין הגבלה

4.מהו תחום ההצבה של $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 4}$ ?

$x \neq = 0, 4$
$x \neq = 0$
$x \neq = 4$
$x \neq = 1$

5.מהו תחום ההצבה של $\frac{x}{2 x + 8}$ ?

$x \neq = - 4$
$x \neq = 0$
$x \neq = - 8$
$x \neq = 4$

6.מהו תחום ההצבה של $\frac{1}{( x - 2 ) ( x + 5 )}$ ?

$x \neq = 2, - 5$
$x \neq = 2$
$x \neq = - 5$
$x \neq = 0$

7.האם המונה משפיע על תחום ההצבה?

לא, המונה יכול להיות כל ערך כולל אפס
כן, המונה לא יכול להיות אפס
כן, המונה לא יכול להיות שלילי
תלוי בסוג השבר

8.מהו תחום ההצבה של $\frac{3}{5}$ (שבר עם מכנה מספרי בלבד)?

אין הגבלה - כל מספר מותר
$x \neq = 5$
$x \neq = 0$
$x \neq = 3$

9.מהו תחום ההצבה של $\frac{x + 1}{x ^{2} - 9}$ ?

$x \neq = 3, - 3$
$x \neq = 9$
$x \neq = - 1$
אין הגבלה

10.האם תחום ההצבה משתנה אחרי צמצום של $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$ ?

לא, התחום נקבע לפי הביטוי המקורי: $x \neq = 3$
כן, אחרי הצמצום אין יותר הגבלה
כן, התחום הופך ל- $x \neq = 0$
תלוי במצמצם

11.מהו תחום ההצבה של $\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 4}$ ?

$x \neq = 1, - 4$
$x \neq = 1$
$x \neq = - 4$
$x \neq = 1, 4$

12.למה חשוב לקבוע תחום הצבה לפני פתרון?

כדי לזהות פתרונות מדומים שעוברים את המתמטיקה אבל לא בתחום
אין סיבה מיוחדת
תחום נקבע אחרי הפתרון
כדי לפשט את החישוב

13.מהו תחום ההצבה של $\frac{5}{3 x - 15}$ ?

$x \neq = 5$
$x \neq = 15$
$x \neq = - 5$
$x \neq = 3$

14.מהו תחום ההצבה של $\frac{7}{x ^{2} + 1}$ ?

אין הגבלה - כל $x$ מותר
$x \neq = 1$
$x \neq = - 1$
$x \neq = 0$

15.מהו תחום ההצבה של $\frac{1}{x ( x - 3 ) ( x + 7 )}$ ?

$x \neq = 0, 3, - 7$
$x \neq = 3$
$x \neq = 0$
$x \neq = 7$