תחום הצבה בביטויים אלגבריים

ערכים מותרים, ערכים אסורים ומכנה שאינו אפס

מה נבנה במודול הזה

לפני שמפשטים שבר אלגברי או פותרים משוואה עם מכנה שיש בו נעלם, עוצרים ושואלים: אילו ערכים יגרמו לחלוקה באפס?

לזהות מכנים

נבדוק כל מכנה בביטוי, גם אם הוא מופיע רק בחלק מהשאלה.

למצוא ערכים אסורים

נפתור משוואה שבה המכנה שווה לאפס, ואת הפתרונות נרחיק מהתחום.

לכתוב תחום ברור

ננסח תשובה כמו

x \neq = 5

או

x \neq = - 1, 4

הרעיון המרכזי

תחום הצבה שומר על משמעות הביטוי

בשבר $\frac{x + 2}{x - 5}$ , הערך $x = 5$ מאפס את המכנה ולכן אסור להציב אותו.

חלוקה באפס אינה מוגדרת. לכן תחום ההצבה הוא קבוצת הערכים שמותר להציב בביטוי בלי לקבל מכנה אפס. את התחום קובעים לפני פישוט, כי פישוט יכול להסתיר ערך שהיה אסור במקור.

$x - 5 \neq = 0 ⟹ x \neq = 5$

תחום הצבה אינו קישוט ליד הפתרון, הוא חלק מהמשמעות של השבר האלגברי.

טוען סימולציה...

תמצית: תחום הצבה שומר על משמעות הביטוי

x - 5 \neq = 0 ⟹ x \neq = 5

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות מכנים

נבדוק כל מכנה בביטוי, גם אם הוא מופיע רק בחלק מהשאלה.

למצוא ערכים אסורים

נפתור משוואה שבה המכנה שווה לאפס, ואת הפתרונות נרחיק מהתחום.

לכתוב תחום ברור

ננסח תשובה כמו $x \neq = 5$ או $x \neq = - 1, 4$ .

תמונה הממחישה ערכים אסורים שמאפסים מכנה בשבר אלגברי — תחום ההצבה נבדק לפני כל פישוט או פתרון כדי לא לחלק ב-אפס.

בכל שבר אלגברי, התחילו מהמכנים בלבד. המונה יכול להיות אפס, אבל המכנה לא.

מכנים וערכים אסורים

ביטוי	מכנה שנבדק	תחום הצבה
$\frac{x + 2}{x - 5}$	$x - 5$	$x \neq = 5$
$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}$	$x + 1, x - 4$	$x \neq = - 1, 4$
$\frac{x}{2 x + 6}$	$2 x + 6$	$x \neq = - 3$

* בודקים כל מכנה בנפרד ומאחדים את כל הערכים האסורים.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

בכל שבר אלגברי, התחילו מהמכנים בלבד. המונה יכול להיות אפס, אבל המכנה לא.

תחום הצבה

כל הערכים שמותר להציב בביטוי

מכנה

אסור שיהיה שווה לאפס

בדיקה בסוף

שמרו את ההגבלה גם אחרי צמצום.

שיטה מסודרת

שיטה למציאת תחום

מעתיקים מכנים

מתעלמים מהמונים בשלב הראשון.

רושמים כל מכנה שמופיע.

לא מצמצמים לפני בדיקת התחום.

משווים לאפס

פותרים $מכנה = 0$ .

כל פתרון כזה הוא ערך אסור.

אם יש כמה מכנים, בודקים את כולם.

כותבים הגבלה

משתמשים בסימן $\neq =$ .

מפרידים כמה ערכים בפסיק.

שומרים את התחום גם אחרי פישוט.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

החוק המנחה - 'מונה יכול להיות אפס, מכנה לא'

זכרו את המשפט הזה: 'מונה יכול להיות אפס, מכנה לא'. הוא חוסך לכם רוב טעויות בתחום.

למה? כשהמונה אפס, השבר שווה ל- $\frac{0}{משהו} = 0$ - מספר מוגדר. אבל כשהמכנה אפס, מתבצעת חלוקה באפס - שאינה מוגדרת במתמטיקה. לכן רק המכנה יוצר ערכים אסורים.

סוגי מכנים וערכים אסורים

סוג המכנה	דוגמה	כיצד מוצאים תחום
מספר בלבד	$\frac{x + 1}{5}$	אין הגבלה - כל $x$ מותר
משתנה לבד	$\frac{3}{x}$	$x \neq = 0$
משתנה ועוד מספר	$\frac{1}{x - 7}$	$x \neq = 7$
משתנה עם מקדם	$\frac{1}{2 x + 10}$	$2 x + 10 = 0 \Rightarrow x \neq = - 5$
מכפלה	$\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$	$x \neq = 1, x \neq = - 3$
טרינום	$\frac{1}{x ^{2} - 9}$	מפרקים: $(x - 3) (x + 3) \Rightarrow x \neq = \pm 3$
מכנה תמיד חיובי	$\frac{1}{x ^{2} + 1}$	אין הגבלה - $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ תמיד
סכום שני שברים	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3}$	כל מכנה בנפרד: $x \neq = 0, x \neq = 3$

* תמיד מתחילים מהמכנים. אם יש כמה מכנים, מאחדים את התנאים.

דוגמה פתורה: מכנה ליניארי אחד

שלב 1 מתוך 3

\frac{x + 2}{x - 5}

איזה חלק קובע את הערכים האסורים?

$math/027-notepad$ דוגמה פתורה: שני מכנים

\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}

טעויות נפוצות

לא מצמצמים לפני התחום

דרך שמבלבלת

בביטוי $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$ קל לצמצם ולקבל $x$ , ואז לחשוב שכל ערך מותר.

דוגמה: $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3} = x$ , לכן אין הגבלה

דרך בטוחה

קודם בודקים את המכנה המקורי: $x - 3 \neq = 0$ , ולכן $x \neq = 3$ . רק אחר כך אפשר לצמצם, עם שמירת ההגבלה.

דוגמה: $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3} = x, x \neq = 3$

פישוט משנה את הצורה, אבל אינו מוחק את תחום ההצבה המקורי.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: בביטוי $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$ קל לצמצם ולקבל $x$ , ואז לחשוב שכל ערך מותר.
מה עושים במקום: קודם בודקים את המכנה המקורי: $x - 3 \neq = 0$ , ולכן $x \neq = 3$ . רק אחר כך אפשר לצמצם, עם שמירת ההגבלה.
פישוט משנה את הצורה, אבל אינו מוחק את תחום ההצבה המקורי.

$math/010-algebra$ בדיקת דרך קצרה

רשמו מעל הדף: מונה יכול להיות אפס, מכנה לא. המשפט הקצר הזה פותר חלק גדול מהבלבול בתחומי הצבה.

סמנו מכנים.
השוו כל מכנה לאפס.
כתבו את הערכים האסורים.
שמרו את ההגבלה גם אחרי צמצום.

שאלה 1 מתוך 15

מהו תחום ההצבה של $\frac{x + 5}{x - 3}$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של תחום הצבה בביטויים אלגבריים כבר מוכן.

פתחו תרגול