גרסת הדפסה | החוברת

שטח מלבן כדרך לראות פתיחת סוגריים

מה נבנה במודול הזה

מודל שטח הופך ביטוי אלגברי לתמונה של מלבן. האורך והרוחב הם ביטויים, והחלקים של השטח מראים את המכפלות שנוצרות.

לראות את הפילוג: נחבר בין חלקי המלבן לבין איברי הביטוי.
לפתוח סוגריים: נשתמש בשטחים כדי להבין למה מתקבלות ארבע מכפלות.
לבדוק פירוק: נראה איך ביטוי מפורק מתאים למידות מלבן.

הרעיון המרכזי

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

המלבן שמידותיו $x + 3$ ו- $x + 2$ מתחלק לארבעה מלבנים קטנים.

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6

המודל הגאומטרי מסביר למה לא מספיק להכפיל רק את הקצוות.

תמצית: שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6

מה חייבים לדעת לעשות?

לראות את הפילוג

נחבר בין חלקי המלבן לבין איברי הביטוי.

לפתוח סוגריים

נשתמש בשטחים כדי להבין למה מתקבלות ארבע מכפלות.

לבדוק פירוק

נראה איך ביטוי מפורק מתאים למידות מלבן.

תמונה הממחישה מכפלת דו איברים בעזרת מלבן מחולק לארבעה שטחים — מודל השטח מראה שכל איבר בסוגריים אחד מוכפל בכל איבר בסוגריים השני.

המודל שימושי במיוחד כשביטוי אלגברי נראה מופשט. במקום לזכור כלל, רואים שכל חלק במלבן תורם לשטח הכולל.

מה כל חלק במלבן מייצג

מידות חלק	שטח	תרומה לביטוי
$x$ על $x$	$x^{2}$	איבר ריבועי
$x$ על $2$	$2 x$	איבר קווי
$3$ על $x$	$3 x$	איבר קווי
$3$ על $2$	$6$	איבר קבוע

שני האיברים הקוויים מתכנסים ל- $5 x$ .

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

המודל שימושי במיוחד כשביטוי אלגברי נראה מופשט. במקום לזכור כלל, רואים שכל חלק במלבן תורם לשטח הכולל.

מודל שטח

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

$(x + 3) (x + 2)$

$x^{2} + 5 x + 6$

בדיקה בסוף

חברו וכנסו.

שיטה מסודרת

איך קוראים מודל שטח

מידות

כותבים את חלקי האורך.
כותבים את חלקי הרוחב.
שומרים על סימנים.

חלקים

מחשבים כל מלבן קטן.
רושמים את כל השטחים.
מחברים את השטחים.

ביטוי

מכנסים איברים דומים.
משווים לפתיחת סוגריים.
בודקים בהצבה אם צריך.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

מודל שטח הוא הכללה של כפל ארוך

כשלמדנו לכפול

13 \times 12

בכיתה ב, חילקנו את המספרים לעשרות ויחידות. בעצם השתמשנו במודל שטח!

13 \times 12 = (10 + 3) (10 + 2)

. כל אחת מארבע המכפלות נתנה חלק מהתוצאה:

100 + 20 + 30 + 6 = 156

. עכשיו אנחנו עושים את אותה פעולה אבל עם משתנים במקום מספרים.

מכפלה מספרית לעומת מכפלה אלגברית

מספרי	אלגברי	אותו רעיון
$13 \times 12$	$(x + 3) (x + 2)$	מכפלה של שני סכומים
$(10 + 3) (10 + 2)$	$(x + 3) (x + 2)$	פירוק לחלקים
$100 + 20 + 30 + 6 = 156$	$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$	ארבע מכפלות
$156$	$x^{2} + 5 x + 6$	סיכום סופי

הכפל הארוך שלמדתם בבית ספר יסודי הוא בדיוק מודל שטח עם מספרים.

דוגמה פתורה: מלבן של $(x + 3) (x + 2)$

(x + 3) (x + 2)

מחלקים את המידות לשני חלקים בכל כיוון.
$(x + 3), (x + 2)$
מחשבים שטחי חלקים.
$x^{2}, 2 x, 3 x, 6$
מחברים.
$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$
מכנסים.
$x^{2} + 5 x + 6$

תשובה:

x^{2} + 5 x + 6

דוגמה פתורה: קריאה הפוכה

x^{2} + 7 x + 12

מחפשים שני מספרים שמכפלתם $12$ וסכומם $7$ .
$3, 4$
מחלקים את האיבר הקווי.
$x^{2} + 3 x + 4 x + 12$
רואים מלבן מתאים.
$(x + 3) (x + 4)$

תשובה:

(x + 3) (x + 4)

טעויות נפוצות

מלבן הוא לא ציור דקורטיבי

דרך שמבלבלת

אם מציירים מלבן בלי לקשר כל חלק לביטוי, המודל לא מלמד דבר וקל לחזור לטעות של שתי מכפלות בלבד.

מלבן אחד עם תוצאה $x^{2} + 6$

דרך בטוחה

כל תת מלבן מקבל מידות ושטח. רק סכום כל השטחים הוא הביטוי המלא.

$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

הציור חייב להסביר את האלגברה, לא להחליף אותה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מייצג כל תא במודל השטח של $(x + a) (x + b)$ ?

מכפלה אחת מבין ארבע המכפלות
סכום כל הביטוי
אורך המלבן
רוחב המלבן

2.במודל של $(x + 5) (x + 3)$ , מה השטח הכולל?

$x^{2} + 8 x + 15$
$x^{2} + 15$
$x^{2} + 8 x$
$2 x + 8$

3.ביטוי $x^{2} + 7 x + 12$ - איזה מודל מתאים?

$(x + 3) (x + 4)$
$(x + 2) (x + 6)$
$(x + 1) (x + 12)$
$(x + 7) (x + 12)$

4.במודל של $(x + 4) (x - 3)$ , מה הקבוע?

$- 12$
$+ 12$
$- 1$
$+ 7$

5.מהו השימוש במודל שטח לפירוק (מודל הפוך)?

מקבלים פולינום ומחפשים את שני הסוגריים שיוצרים אותו
פותחים סוגריים מתוך המלבן
מצמצמים שברים אלגבריים
פותרים משוואה ליניארית

6.במלבן עם מידות $(2 x + 1) (x + 3)$ , מה השטח של התא העליון השמאלי?

$2 x^{2}$
$x^{2}$
$3 x$
$6 x$

7. $13 \cdot 12 = (10 + 3) (10 + 2)$ . איזה תא במודל השטח שווה $30$ ?

$10 \cdot 3$
$10 \cdot 10$
$3 \cdot 2$
$13 \cdot 12$

8.כמה תאים יש במודל שטח של $(x + y) (a + b + c)$ ?

שישה
ארבעה
חמישה
שלושה

9.במודל של $(x - 2) (x - 7)$ , מה הקבוע?

$+ 14$
$- 14$
$- 9$
$+ 9$

10.פתחו באמצעות מודל שטח: $(x + 6) (x + 4)$

$x^{2} + 10 x + 24$
$x^{2} + 24$
$x^{2} + 6 x + 24$
$2 x + 10$

11. $x^{2} + 5 x + 6 = (x + a) (x + b)$ . מה $a$ ו- $b$ ?

$2$ ו- $3$
$1$ ו- $6$
$5$ ו- $6$
$- 2$ ו- $- 3$

12.מהי בדיקה מהירה לפתיחת סוגריים על ידי הצבה?

מציבים $x = 1$ בביטוי המקורי ובביטוי שפתחנו
מציבים רק במודל השטח
אין דרך לבדוק
מציבים $x = 10$ ומחלקים

13.אילו מספרים מתאימים לפירוק $x^{2} - 7 x + 12$ ?

$- 3$ ו- $- 4$
$3$ ו- $4$
$- 1$ ו- $- 12$
$- 2$ ו- $- 6$

14.מה הקשר בין מודל השטח לחוק הפילוג המורחב?

המודל הוא תיאור גרפי של ארבע המכפלות בחוק הפילוג
אין קשר ביניהם
המודל מחליף את חוק הפילוג
המודל הוא רק לפתרון משוואות

15.במלבן עם מידות $(2 x + 5) (x - 1)$ , מה השטח?

$2 x^{2} + 3 x - 5$
$2 x^{2} + 7 x - 5$
$2 x^{2} - 5$
$2 x^{2} - 3 x - 5$

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

מה חייבים לדעת לעשות?

לראות את הפילוג

לפתוח סוגריים

לבדוק פירוק

מה כל חלק במלבן מייצג

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

מודל שטח

(x+3)(x+2)

בדיקה בסוף

שיטה מסודרת

איך קוראים מודל שטח

מידות

חלקים

ביטוי

מודל שטח הוא הכללה של כפל ארוך

מכפלה מספרית לעומת מכפלה אלגברית

דוגמה פתורה: מלבן של (x+3)(x+2)

דוגמה פתורה: קריאה הפוכה

טעויות נפוצות

מלבן הוא לא ציור דקורטיבי

דרך שמבלבלת

דרך בטוחה

$(x + 3) (x + 2)$

דוגמה פתורה: מלבן של $(x + 3) (x + 2)$