המחשה גאומטרית לביטויים

שטח מלבן כדרך לראות פתיחת סוגריים

מה נבנה במודול הזה

מודל שטח הופך ביטוי אלגברי לתמונה של מלבן. האורך והרוחב הם ביטויים, והחלקים של השטח מראים את המכפלות שנוצרות.

לראות את הפילוג

נחבר בין חלקי המלבן לבין איברי הביטוי.

לפתוח סוגריים

נשתמש בשטחים כדי להבין למה מתקבלות ארבע מכפלות.

לבדוק פירוק

נראה איך ביטוי מפורק מתאים למידות מלבן.

הרעיון המרכזי

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

המלבן שמידותיו $x + 3$ ו- $x + 2$ מתחלק לארבעה מלבנים קטנים.

כל חלק במלבן מייצג מכפלה: $x \cdot x$ , $x \cdot 2$ , $3 \cdot x$ , $3 \cdot 2$ . סכום השטחים הוא הביטוי אחרי פתיחת הסוגריים.

$(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

המודל הגאומטרי מסביר למה לא מספיק להכפיל רק את הקצוות.

טוען סימולציה...

תמצית: שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6

מה חייבים לדעת לעשות?

לראות את הפילוג

נחבר בין חלקי המלבן לבין איברי הביטוי.

לפתוח סוגריים

נשתמש בשטחים כדי להבין למה מתקבלות ארבע מכפלות.

לבדוק פירוק

נראה איך ביטוי מפורק מתאים למידות מלבן.

תמונה הממחישה מכפלת דו איברים בעזרת מלבן מחולק לארבעה שטחים — מודל השטח מראה שכל איבר בסוגריים אחד מוכפל בכל איבר בסוגריים השני.

המודל שימושי במיוחד כשביטוי אלגברי נראה מופשט. במקום לזכור כלל, רואים שכל חלק במלבן תורם לשטח הכולל.

מה כל חלק במלבן מייצג

מידות חלק	שטח	תרומה לביטוי
$x$ על $x$	$x^{2}$	איבר ריבועי
$x$ על $2$	$2 x$	איבר קווי
$3$ על $x$	$3 x$	איבר קווי
$3$ על $2$	$6$	איבר קבוע

* שני האיברים הקוויים מתכנסים ל- $5 x$ .

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

המודל שימושי במיוחד כשביטוי אלגברי נראה מופשט. במקום לזכור כלל, רואים שכל חלק במלבן תורם לשטח הכולל.

מודל שטח

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

$(x + 3) (x + 2)$

$x^{2} + 5 x + 6$

בדיקה בסוף

חברו וכנסו.

שיטה מסודרת

איך קוראים מודל שטח

מידות

כותבים את חלקי האורך.

כותבים את חלקי הרוחב.

שומרים על סימנים.

חלקים

מחשבים כל מלבן קטן.

רושמים את כל השטחים.

מחברים את השטחים.

ביטוי

מכנסים איברים דומים.

משווים לפתיחת סוגריים.

בודקים בהצבה אם צריך.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

$math/004-square$ מודל שטח הוא הכללה של כפל ארוך

כשלמדנו לכפול $13 \times 12$ בכיתה ב, חילקנו את המספרים לעשרות ויחידות. בעצם השתמשנו במודל שטח! $13 \times 12 = (10 + 3) (10 + 2)$ . כל אחת מארבע המכפלות נתנה חלק מהתוצאה: $100 + 20 + 30 + 6 = 156$ . עכשיו אנחנו עושים את אותה פעולה אבל עם משתנים במקום מספרים.

מכפלה מספרית לעומת מכפלה אלגברית

מספרי	אלגברי	אותו רעיון
$13 \times 12$	$(x + 3) (x + 2)$	מכפלה של שני סכומים
$(10 + 3) (10 + 2)$	$(x + 3) (x + 2)$	פירוק לחלקים
$100 + 20 + 30 + 6 = 156$	$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$	ארבע מכפלות
$156$	$x^{2} + 5 x + 6$	סיכום סופי

* הכפל הארוך שלמדתם בבית ספר יסודי הוא בדיוק מודל שטח עם מספרים.

הצצה לסימולציה אינטראקטיבית

באתר זמינה סימולציה AreaModelMultiplier שמאפשרת לבנות מלבן בעצמכם, להזיז את חלוקת הצדדים ולראות איך התאים משתנים. בנוסף הסימולציה AlgebraicShapeBuilder עוזרת לבנות מודל שטח אלגברי. השתמשו בהן כשרוצים לחזק את האינטואיציה הויזואלית.

דוגמה פתורה: מלבן של $(x + 3) (x + 2)$

שלב 1 מתוך 4

(x + 3) (x + 2)

כמה חלקי שטח מתקבלים?

דוגמה פתורה: קריאה הפוכה

x^{2} + 7 x + 12

טעויות נפוצות

מלבן הוא לא ציור דקורטיבי

דרך שמבלבלת

אם מציירים מלבן בלי לקשר כל חלק לביטוי, המודל לא מלמד דבר וקל לחזור לטעות של שתי מכפלות בלבד.

דוגמה: מלבן אחד עם תוצאה $x^{2} + 6$

דרך בטוחה

כל תת מלבן מקבל מידות ושטח. רק סכום כל השטחים הוא הביטוי המלא.

דוגמה: $x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

הציור חייב להסביר את האלגברה, לא להחליף אותה.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: אם מציירים מלבן בלי לקשר כל חלק לביטוי, המודל לא מלמד דבר וקל לחזור לטעות של שתי מכפלות בלבד.
מה עושים במקום: כל תת מלבן מקבל מידות ושטח. רק סכום כל השטחים הוא הביטוי המלא.
הציור חייב להסביר את האלגברה, לא להחליף אותה.

$math/046-parentheses$ בדיקת דרך קצרה

אם המודל לא נותן ארבעה שטחים במכפלת שני דו איברים, בדקו אם חילקתם את שני הכיוונים של המלבן.

חלקו אורך.
חלקו רוחב.
חשבו כל שטח קטן.
חברו וכנסו.

שאלה 1 מתוך 15

במלבן עם מידות $(2 x + 5) (x - 1)$ , מה השטח?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של המחשה גאומטרית לביטויים כבר מוכן.

פתחו תרגול

המחשה גאומטרית לביטויים

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

שטח כולל הוא סכום שטחי החלקים

מה חייבים לדעת לעשות?

לראות את הפילוג

לפתוח סוגריים

לבדוק פירוק

מה כל חלק במלבן מייצג

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

מודל שטח

(x+3)(x+2)

בדיקה בסוף

שיטה מסודרת

איך קוראים מודל שטח

מידות

חלקים

ביטוי

מודל שטח הוא הכללה של כפל ארוך

מכפלה מספרית לעומת מכפלה אלגברית

הצצה לסימולציה אינטראקטיבית

דוגמה פתורה: מלבן של (x+3)(x+2)

דוגמה פתורה: קריאה הפוכה

טעויות נפוצות

מלבן הוא לא ציור דקורטיבי

דרך שמבלבלת

דרך בטוחה

למה הטעות הזאת מפתה?

בדיקת דרך קצרה

במלבן עם מידות (2x+5)(x−1), מה השטח?