גרסת הדפסה | החוברת

מפירוק איברים למכפלה אחת נוחה

מה נבנה במודול הזה

הוצאת גורם משותף היא פעולה הפוכה לחוק הפילוג. במקום לפתוח סוגריים, מחפשים גורם שמופיע בכל איבר ומוציאים אותו החוצה.

לזהות גורם משותף: נבדוק מספרים, משתנים וחזקות שמופיעים בכל איבר.
לכתוב מכפלה: נחלק כל איבר בגורם המשותף ונכתוב את מה שנשאר בסוגריים.
לבדוק פתיחה: נפתח את הסוגריים כדי לוודא שחזרנו לביטוי המקורי.

הרעיון המרכזי

פירוק לגורמים מחזיר את הביטוי לצורת מכפלה

בביטוי $6 x + 12$ , המספר $6$ מופיע בשני האיברים כגורם.

ab + a c = a (b + c)

פירוק טוב הוא פירוק שאפשר לפתוח בחזרה ולקבל בדיוק את הביטוי המקורי.

תמצית: פירוק לגורמים מחזיר את הביטוי לצורת מכפלה

ab + a c = a (b + c)

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות גורם משותף

נבדוק מספרים, משתנים וחזקות שמופיעים בכל איבר.

לכתוב מכפלה

נחלק כל איבר בגורם המשותף ונכתוב את מה שנשאר בסוגריים.

לבדוק פתיחה

נפתח את הסוגריים כדי לוודא שחזרנו לביטוי המקורי.

הגורם המשותף חייב להופיע בכל איבר. אם איבר אחד אינו מכיל

x

, אי אפשר להוציא

x

מכל הביטוי.

גורמים משותפים

ביטוי	גורם משותף	פירוק
$6 x + 12$	$6$	$6 (x + 2)$
$4 x^{2} - 8 x$	$4 x$	$4 x (x - 2)$
$9 a + 6$	$3$	$3 (3 a + 2)$

הגורם המשותף הגדול ביותר נותן סוגריים פשוטים יותר.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

הגורם המשותף חייב להופיע בכל איבר. אם איבר אחד אינו מכיל $x$ , אי אפשר להוציא $x$ מכל הביטוי.

גורם משותף

גורם שמופיע בכל איבר

$6 x + 12$

$6 (x + 2)$

בדיקה בסוף

פתחו לבדיקה.

שיטה מסודרת

איך מוציאים גורם משותף

מספרים

מחפשים מחלק משותף.
מעדיפים את הגדול ביותר.
בודקים את כל האיברים.

משתנים

מוציאים משתנה רק אם הוא בכל איבר.
לוקחים את החזקה הקטנה ביותר.
לא מכריחים משתנה לאיבר שאין בו.

בדיקה

פותחים סוגריים.
בודקים סימנים.
משווים לביטוי המקורי.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: גורם מספרי

6 x + 12

הגורם המספרי הגדול שמחלק את שני האיברים הוא $6$ .
$6$
מחלקים כל איבר ב- $6$ .
$6 x \div 6 = x, 12 \div 6 = 2$
כותבים מכפלה.
$6 (x + 2)$
בודקים פתיחה.
$6 (x + 2) = 6 x + 12$

תשובה:

6 (x + 2)

איך מוצאים את ה-GCF

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCF) הוא הביטוי הגדול ביותר שמחלק את כל האיברים. הוא מורכב משני חלקים: GCF מספרי ו-GCF משתני.

מציאת GCF צעד אחר צעד

ביטוי	GCF מספרי	GCF משתני	GCF סופי
$6 x + 12$	$g cd (6, 12) = 6$	אין משתנה ב- $12$ , לכן 1	$6$
$5 x^{2} + 10 x$	$g cd (5, 10) = 5$	החזקה הקטנה של $x$ : $x^{1}$	$5 x$
$12 x^{3} - 18 x^{2}$	$g cd (12, 18) = 6$	החזקה הקטנה של $x$ : $x^{2}$	$6 x^{2}$
$9 a^{2} b^{3} + 15 a b^{2}$	$g cd (9, 15) = 3$	$a^{1}, b^{2}$	$3 a b^{2}$
$3 x^{2} + 3 x + 3$	$g cd (3, 3, 3) = 3$	האיבר $3$ בלי $x$ , אין משתנה משותף	$3$

לחזקה של משתנה תמיד לוקחים את החזקה הקטנה ביותר שמופיעה בין האיברים.

דוגמה פתורה: גורם עם משתנה

4 x^{2} - 8 x

הגורם המשותף הוא $4 x$ .
$4 x$
מחלקים כל איבר.
$4 x^{2} \div 4 x = x, - 8 x \div 4 x = - 2$
כותבים פירוק.
$4 x (x - 2)$
בודקים.
$4 x (x - 2) = 4 x^{2} - 8 x$

תשובה:

4 x (x - 2)

טעויות נפוצות

גורם משותף חייב להיות משותף לכולם

דרך שמבלבלת

לפעמים מוציאים $x$ מביטוי כמו $6 x + 12$ , אף שהאיבר $12$ אינו מכיל $x$ .

$6 x + 12 = x (6 + 12)$

דרך בטוחה

מוציאים רק גורם שמופיע בכל איבר. במקרה הזה הגורם המשותף הוא $6$ .

$6 x + 12 = 6 (x + 2)$

כל איבר צריך להיות ניתן לחלוקה בגורם שהוצא.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו גורם משותף בביטוי כמו $6 x + 12$ ?

מספר או ביטוי שמופיע בכל איבר ויכול לצאת לפני סוגריים
המספר הגדול ביותר בביטוי
המקדם של $x$
הסימן בין האיברים

2.פרקו: $6 x + 12$

$6 (x + 2)$
$x (6 + 12)$
$12 (x + 6)$
$6 x (2)$

3.פרקו: $5 x^{2} + 10 x$

$5 x (x + 2)$
$5 (x^{2} + 2 x)$
$x (5 x + 10)$
$10 (x^{2} + x)$

4.מה הטעות בפירוק $3 x^{2} + 3 x = 3 x (x)$ ?

שכחו את ה- $+ 1$ : התשובה הנכונה היא $3 x (x + 1)$
אסור להוציא $3 x$
צריך להיות $3 x (x - 1)$
אין טעות

5.פרקו: $12 x^{3} - 18 x^{2}$

$6 x^{2} (2 x - 3)$
$3 x (4 x^{2} - 6 x)$
$6 x (2 x^{2} - 3 x)$
$12 x^{2} (x - 1.5)$

6.פרקו: $- 7 x + 14$

$- 7 (x - 2)$
$7 (x - 2)$
$- 7 (x + 14)$
$- 7 (x + 2)$

7.פרקו: $x (a + b) + 5 (a + b)$

$(a + b) (x + 5)$
$(a + b) + x + 5$
$x \cdot 5 (a + b)$
אי אפשר לפרק

8.פרקו: $4 x^{2} + 8 x + 12$

$4 (x^{2} + 2 x + 3)$
$4 x (x + 2 + 3)$
$2 (2 x^{2} + 4 x + 6)$
$x (4 x + 8 + 12)$

9.כיצד בודקים פירוק לגורמים?

פותחים סוגריים בפילוג ובודקים שמתקבל הביטוי המקורי
מציבים $x = 0$
אין דרך לבדוק
מחלקים את כל הביטוי במקור

10.פרקו: $9 x^{4} - 3 x^{2}$

$3 x^{2} (3 x^{2} - 1)$
$3 x (3 x^{3} - x)$
$9 x^{2} (x^{2} - 1)$
$3 x^{2} (3 x^{2} + 0)$

11.אילו ביטויים מתאימים לפירוק $3 x (x + 4)$ ?

$3 x^{2} + 12 x$
$3 x^{2} + 4$
$x^{2} + 4 x$
$3 x + 12$

12.פרקו: $6 a^{2} b - 9 a b^{2}$

$3 ab (2 a - 3 b)$
$3 a (2 ab - 3 b^{2})$
$3 b (2 a^{2} - 3 ab)$
$6 ab (a - b)$

13.מה הקשר בין הוצאת גורם משותף לחוק הפילוג?

הם הפוכים: פילוג מפזר, גורם משותף מאחד
אין קשר ביניהם
שניהם רק לכפל מספרים
הוצאת גורם משותף משמשת רק במשוואות

14.פרקו: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3}$ (הוציאו $x)$

$x (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})$
$x \cdot \frac{1}{5}$
$\frac{x}{6}$
$\frac{2 x}{6} + \frac{3 x}{6}$

15.מהי המטרה של פירוק לגורמים?

לכתוב ביטוי כמכפלה במקום סכום, וכך לפתור משוואות וצמצם שברים
להגדיל את הביטוי
רק להציג בסיס הופכי לחוק הפילוג
אין מטרה מעשית