הוצאת גורם משותף

מפירוק איברים למכפלה אחת נוחה

מה נבנה במודול הזה

הוצאת גורם משותף היא פעולה הפוכה לחוק הפילוג. במקום לפתוח סוגריים, מחפשים גורם שמופיע בכל איבר ומוציאים אותו החוצה.

לזהות גורם משותף

נבדוק מספרים, משתנים וחזקות שמופיעים בכל איבר.

לכתוב מכפלה

נחלק כל איבר בגורם המשותף ונכתוב את מה שנשאר בסוגריים.

לבדוק פתיחה

נפתח את הסוגריים כדי לוודא שחזרנו לביטוי המקורי.

הרעיון המרכזי

פירוק לגורמים מחזיר את הביטוי לצורת מכפלה

בביטוי $6 x + 12$ , המספר $6$ מופיע בשני האיברים כגורם.

מוציאים את הגורם המשותף החוצה, ובסוגריים כותבים מה נשאר מכל איבר אחרי חלוקה בגורם. הבדיקה היא פתיחת סוגריים.

$ab + a c = a (b + c)$

פירוק טוב הוא פירוק שאפשר לפתוח בחזרה ולקבל בדיוק את הביטוי המקורי.

טוען סימולציה...

תמצית: פירוק לגורמים מחזיר את הביטוי לצורת מכפלה

ab + a c = a (b + c)

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות גורם משותף

נבדוק מספרים, משתנים וחזקות שמופיעים בכל איבר.

לכתוב מכפלה

נחלק כל איבר בגורם המשותף ונכתוב את מה שנשאר בסוגריים.

לבדוק פתיחה

נפתח את הסוגריים כדי לוודא שחזרנו לביטוי המקורי.

הגורם המשותף חייב להופיע בכל איבר. אם איבר אחד אינו מכיל $x$ , אי אפשר להוציא $x$ מכל הביטוי.

גורמים משותפים

ביטוי	גורם משותף	פירוק
$6 x + 12$	$6$	$6 (x + 2)$
$4 x^{2} - 8 x$	$4 x$	$4 x (x - 2)$
$9 a + 6$	$3$	$3 (3 a + 2)$

* הגורם המשותף הגדול ביותר נותן סוגריים פשוטים יותר.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

הגורם המשותף חייב להופיע בכל איבר. אם איבר אחד אינו מכיל $x$ , אי אפשר להוציא $x$ מכל הביטוי.

גורם משותף

גורם שמופיע בכל איבר

$6 x + 12$

$6 (x + 2)$

בדיקה בסוף

פתחו לבדיקה.

שיטה מסודרת

איך מוציאים גורם משותף

$math/027-notepad$

מספרים

מחפשים מחלק משותף.

מעדיפים את הגדול ביותר.

בודקים את כל האיברים.

משתנים

מוציאים משתנה רק אם הוא בכל איבר.

לוקחים את החזקה הקטנה ביותר.

לא מכריחים משתנה לאיבר שאין בו.

בדיקה

פותחים סוגריים.

בודקים סימנים.

משווים לביטוי המקורי.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: גורם מספרי

שלב 1 מתוך 4

6 x + 12

איזה מספר מחלק גם את $6 x$ וגם את $12$ ?

איך מוצאים את ה-GCF

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCF) הוא הביטוי הגדול ביותר שמחלק את כל האיברים. הוא מורכב משני חלקים: GCF מספרי ו-GCF משתני.

מציאת GCF צעד אחר צעד

ביטוי	GCF מספרי	GCF משתני	GCF סופי
$6 x + 12$	$g cd (6, 12) = 6$	אין משתנה ב- $12$ , לכן 1	$6$
$5 x^{2} + 10 x$	$g cd (5, 10) = 5$	החזקה הקטנה של $x$ : $x^{1}$	$5 x$
$12 x^{3} - 18 x^{2}$	$g cd (12, 18) = 6$	החזקה הקטנה של $x$ : $x^{2}$	$6 x^{2}$
$9 a^{2} b^{3} + 15 a b^{2}$	$g cd (9, 15) = 3$	$a^{1}, b^{2}$	$3 a b^{2}$
$3 x^{2} + 3 x + 3$	$g cd (3, 3, 3) = 3$	האיבר $3$ בלי $x$ , אין משתנה משותף	$3$

* לחזקה של משתנה תמיד לוקחים את החזקה הקטנה ביותר שמופיעה בין האיברים.

דוגמה פתורה: גורם עם משתנה

4 x^{2} - 8 x

טעויות נפוצות

גורם משותף חייב להיות משותף לכולם

דרך שמבלבלת

לפעמים מוציאים $x$ מביטוי כמו $6 x + 12$ , אף שהאיבר $12$ אינו מכיל $x$ .

דוגמה: $6 x + 12 = x (6 + 12)$

דרך בטוחה

מוציאים רק גורם שמופיע בכל איבר. במקרה הזה הגורם המשותף הוא $6$ .

דוגמה: $6 x + 12 = 6 (x + 2)$

כל איבר צריך להיות ניתן לחלוקה בגורם שהוצא.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: לפעמים מוציאים $x$ מביטוי כמו $6 x + 12$ , אף שהאיבר $12$ אינו מכיל $x$ .
מה עושים במקום: מוציאים רק גורם שמופיע בכל איבר. במקרה הזה הגורם המשותף הוא $6$ .
כל איבר צריך להיות ניתן לחלוקה בגורם שהוצא.

$math/046-parentheses$ בדיקת דרך קצרה

אחרי פירוק, פתחו סוגריים בראש או בכתב. אם לא חזרתם לביטוי המקורי, הגורם או הסוגריים אינם נכונים.

חפשו מספר משותף.
בדקו משתנה משותף.
חלקו כל איבר.
פתחו לבדיקה.

בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעוברים לחידון, ודאו שאתם לא רק יודעים לבצע את החישוב, אלא גם יודעים להסביר מתי משתמשים בו ולמה התשובה מותרת.

חפשו מספר משותף.
בדקו משתנה משותף.
חלקו כל איבר.
פתחו לבדיקה.

שאלה 1 מתוך 15

פרקו: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3}$ (הוציאו $x)$

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הוצאת גורם משותף כבר מוכן.

פתחו תרגול