גרסת הדפסה | החוברת

מכפלת סוגריים, כל איבר עם כל איבר

מה נבנה במודול הזה

חוק הפילוג המורחב מרחיב את הרעיון המוכר $a (b + c)$ . עכשיו כל איבר בסוגריים אחד מוכפל בכל איבר בסוגריים השני.

להכפיל כל זוג איברים: נוודא שלא מפספסים אף מכפלה בין שני הסוגריים.
לשמור על סימנים: נתרגל מינוס בתוך סוגריים ומחוץ להם.
לכנס איברים: נזהה איברים דומים אחרי הפתיחה ונפשט.

הרעיון המרכזי

כל איבר פוגש כל איבר - ארבע מכפלות

במכפלה $(x + 3) (x + 2)$ , ה- $x$ הראשון מוכפל גם ב- $x$ וגם ב- $2$ , וה- $3$ מוכפל גם ב- $x$ וגם ב- $2$ . סך הכול: ארבע מכפלות.

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

הסדר הקבוע מונע איברים חסרים ושגיאות סימן. אם תקבלו רק 2-3 איברים אחרי פתיחה - חסרה מכפלה.

תמצית: כל איבר פוגש כל איבר

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

מה חייבים לדעת לעשות?

להכפיל כל זוג איברים

נוודא שלא מפספסים אף מכפלה בין שני הסוגריים.

לשמור על סימנים

נתרגל מינוס בתוך סוגריים ומחוץ להם.

לכנס איברים

נזהה איברים דומים אחרי הפתיחה ונפשט.

אפשר להשתמש בחצים, בטבלה או במודל שטח. לא משנה הכלי, העיקר שכל אחת מארבע המכפלות תופיע.

פתיחת סוגריים כפולים

ביטוי	כל המכפלות	אחרי כינוס
$(x + 3) (x + 2)$	$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$	$x^{2} + 5 x + 6$
$(2 x - 1) (x + 4)$	$2 x^{2} + 8 x - x - 4$	$2 x^{2} + 7 x - 4$
$(x - 5) (x + 1)$	$x^{2} + x - 5 x - 5$	$x^{2} - 4 x - 5$

הכינוס מתרחש רק אחרי שכל המכפלות נכתבו.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אפשר להשתמש בחצים, בטבלה או במודל שטח. לא משנה הכלי, העיקר שכל אחת מארבע המכפלות תופיע.

$(a + b) (c + d)$

$a c + a d + b c + b d$

ארבע מכפלות

כל איבר עם כל איבר

בדיקה בסוף

שני עם שני.

שיטה מסודרת

בדיקת ארבע מכפלות

מסמנים איברים

שני איברים בסוגריים ראשון.
שני איברים בסוגריים שני.
שומרים סימנים צמודים לאיברים.

מכפילים

ראשון עם ראשון.
ראשון עם שני.
שני עם ראשון ושני עם שני.

מכנסים

מחברים איברי $x$ .
משאירים $x^{2}$ וקבועים בנפרד.
בודקים בעזרת הצבה אם צריך.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: פתיחה וכינוס

(x + 3) (x + 2)

כופלים את $x$ בכל איברי הסוגריים השני.
$x \cdot x + x \cdot 2$
כופלים את $3$ בכל איברי הסוגריים השני.
$3 \cdot x + 3 \cdot 2$
כותבים את כל המכפלות.
$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$
מכנסים איברים דומים.
$x^{2} + 5 x + 6$

תשובה:

x^{2} + 5 x + 6

דוגמה פתורה: מינוס בתוך סוגריים

(2 x - 1) (x + 4)

מכפילים $2 x$ בשני האיברים: $2 x \cdot x = 2 x^{2}$ , $2 x \cdot 4 = 8 x$ .
$2 x^{2} + 8 x$
מכפילים $- 1$ בשני האיברים: $- 1 \cdot x = - x$ , $- 1 \cdot 4 = - 4$ .
$- x - 4$
כותבים יחד.
$2 x^{2} + 8 x - x - 4$
מכנסים את האיברים האמצעיים: $8 x - x = 7 x$ .
$2 x^{2} + 7 x - 4$

תשובה:

2 x^{2} + 7 x - 4

תבניות מיוחדות שכדאי להכיר

שלוש תבניות חוזרות פעמים רבות במבחנים. הפעלת חוק הפילוג עליהן נותנת תוצאות עם תכונות מעניינות. בכיתה ט תלמדו את 'נוסחאות הכפל המקוצר' שמקצרות את החישוב, אבל בכיתה ח עוברים בכל פעם דרך החישוב המלא.

שלוש התבניות המיוחדות

שם התבנית	ביטוי	תוצאה אחרי פתיחה
ריבוע סכום	$(x + a)^{2} = (x + a) (x + a)$	$x^{2} + 2 a x + a^{2}$
ריבוע הפרש	$(x - a)^{2} = (x - a) (x - a)$	$x^{2} - 2 a x + a^{2}$
הפרש ריבועים	$(x + a) (x - a)$	$x^{2} - a^{2}$ (האמצעיים מתבטלים)

בכיתה ח אנחנו מגלים את התבניות מתוך פתיחה. בכיתה ט נשתמש בהן כקיצור.

טעויות נפוצות

לא מכפילים רק קצוות

דרך שמבלבלת

יש תלמידים שמכפילים רק את האיברים הראשונים ואת האיברים האחרונים ושוכחים שתי מכפלות אמצעיות.

$(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 6$

דרך בטוחה

צריך ארבע מכפלות: כל איבר מהסוגריים הראשון עם כל איבר מהסוגריים השני.

$(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

אם קיבלתם רק שני איברים, כנראה חסרות מכפלות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.כמה מכפלות יש בפילוג של $(a + b) (c + d)$ ?

ארבע
שתיים
שלוש
חמש

2.פתחו: $(x + 3) (x + 2)$

$x^{2} + 5 x + 6$
$x^{2} + 6$
$x^{2} + 3 x + 2$
$2 x^{2} + 5 x + 6$

3.פתחו: $(x - 3) (x + 5)$

$x^{2} + 2 x - 15$
$x^{2} + 8 x - 15$
$x^{2} + 2 x + 15$
$x^{2} - 15$

4.פתחו: $(x - 3) (x - 5)$

$x^{2} - 8 x + 15$
$x^{2} - 8 x - 15$
$x^{2} + 8 x + 15$
$x^{2} - 15$

5.פתחו: $(2 x + 3) (x - 4)$

$2 x^{2} - 5 x - 12$
$2 x^{2} + 11 x - 12$
$2 x^{2} - 8 x + 3$
$2 x^{2} - 12$

6.מה הטעות בפתרון $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 6$ ?

חסרות שתי מכפלות אמצעיות
הקבוע צריך להיות $5$
אין צורך בכינוס
אסור לפתוח סוגריים

7.פתחו: $(x + 5) (x - 5)$

$x^{2} - 25$
$x^{2} + 25$
$x^{2} + 10 x - 25$
$x^{2} - 10 x - 25$

8.פתחו: $(x + 4)^{2}$

$x^{2} + 8 x + 16$
$x^{2} + 16$
$x^{2} + 4 x + 16$
$x^{2} + 16 x + 16$

9.מה המקדם של $x$ בפתיחה של $(x + 7) (x - 2)$ ?

$5$
$- 5$
$9$
$- 2$

10.פתחו: $(3 x - 1) (2 x + 5)$

$6 x^{2} + 13 x - 5$
$6 x^{2} - 13 x - 5$
$5 x^{2} + 13 x - 5$
$6 x^{2} - 5$

11.פתחו: $(x + 2) (x - 7)$

$x^{2} - 5 x - 14$
$x^{2} + 5 x - 14$
$x^{2} - 14$
$x^{2} - 9 x - 14$

12.פתחו: $(x - 6)^{2}$

$x^{2} - 12 x + 36$
$x^{2} - 36$
$x^{2} - 12 x - 36$
$x^{2} + 36$

13.האם $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ ?

לא, חסר $+ 6 x$
כן, זה נכון תמיד
כן, רק עבור $x$ חיובי
לא, חסר $- 9$

14.אם פתיחה נתנה $x^{2} + 5 x + 6$ , איזו מכפלת סוגריים מתאימה?

$(x + 2) (x + 3)$
$(x + 1) (x + 6)$
$(x - 2) (x - 3)$
$(x + 5) (x + 6)$

15.פתחו וכנסו: $(2 x - 3) (2 x + 3)$

$4 x^{2} - 9$
$4 x^{2} + 9$
$4 x^{2} + 12 x - 9$
$2 x^{2} - 9$