מהו כל איבר פוגש כל איבר - ארבע מכפלות?

חוק הפילוג המורחב

מכפלת סוגריים, כל איבר עם כל איבר

מה נבנה במודול הזה

חוק הפילוג המורחב מרחיב את הרעיון המוכר

a (b + c)

. עכשיו כל איבר בסוגריים אחד מוכפל בכל איבר בסוגריים השני.

להכפיל כל זוג איברים

נוודא שלא מפספסים אף מכפלה בין שני הסוגריים.

לשמור על סימנים

נתרגל מינוס בתוך סוגריים ומחוץ להם.

לכנס איברים

נזהה איברים דומים אחרי הפתיחה ונפשט.

הרעיון המרכזי

$math/046-parentheses$ כל איבר פוגש כל איבר - ארבע מכפלות

במכפלה $(x + 3) (x + 2)$ , ה- $x$ הראשון מוכפל גם ב- $x$ וגם ב- $2$ , וה- $3$ מוכפל גם ב- $x$ וגם ב- $2$ . סך הכול: ארבע מכפלות.

ארבע המכפלות נוצרות כי אנחנו מכפילים סכום בסכום. בכיתה ז למדנו $a (b + c) = ab + a c$ - חוק הפילוג הבסיסי. עכשיו אנחנו מרחיבים: במקום מספר אחד מחוץ לסוגריים, יש סוגריים נוספים. כל איבר בסוגריים הראשונים פועל כ-'גורם בודד' מול הסוגריים השניים, וכל אחד מהם מתפלג בנפרד. רק אחרי שמחשבים את כל המכפלות, מכנסים איברים דומים.

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

הסדר הקבוע מונע איברים חסרים ושגיאות סימן. אם תקבלו רק 2-3 איברים אחרי פתיחה - חסרה מכפלה.

טוען סימולציה...

מנמוניק 'רחפא' לארבע המכפלות

כדי לא לפספס מכפלה, בכל מכפלת שני סוגריים מבצעים את הסדר: ראשון × ראשון, ראשון × שני, שני × ראשון, שני × שני. בעברית אפשר לזכור 'ראשונים, חיצוניים, פנימיים, אחרונים' או פשוט 'כל אחד מהראשונים פוגש כל אחד מהשניים'.

ראשון × ראשון - $x \cdot x = x^{2}$
ראשון × שני - $x \cdot 2 = 2 x$
שני × ראשון - $3 \cdot x = 3 x$
שני × שני - $3 \cdot 2 = 6$

תמצית: כל איבר פוגש כל איבר

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

מה חייבים לדעת לעשות?

להכפיל כל זוג איברים

נוודא שלא מפספסים אף מכפלה בין שני הסוגריים.

לשמור על סימנים

נתרגל מינוס בתוך סוגריים ומחוץ להם.

לכנס איברים

נזהה איברים דומים אחרי הפתיחה ונפשט.

אפשר להשתמש בחצים, בטבלה או במודל שטח. לא משנה הכלי, העיקר שכל אחת מארבע המכפלות תופיע.

פתיחת סוגריים כפולים

ביטוי	כל המכפלות	אחרי כינוס
$(x + 3) (x + 2)$	$x^{2} + 2 x + 3 x + 6$	$x^{2} + 5 x + 6$
$(2 x - 1) (x + 4)$	$2 x^{2} + 8 x - x - 4$	$2 x^{2} + 7 x - 4$
$(x - 5) (x + 1)$	$x^{2} + x - 5 x - 5$	$x^{2} - 4 x - 5$

* הכינוס מתרחש רק אחרי שכל המכפלות נכתבו.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אפשר להשתמש בחצים, בטבלה או במודל שטח. לא משנה הכלי, העיקר שכל אחת מארבע המכפלות תופיע.

$(a + b) (c + d)$

$a c + a d + b c + b d$

ארבע מכפלות

כל איבר עם כל איבר

בדיקה בסוף

שני עם שני.

שיטה מסודרת

בדיקת ארבע מכפלות

מסמנים איברים

שני איברים בסוגריים ראשון.

שני איברים בסוגריים שני.

שומרים סימנים צמודים לאיברים.

מכפילים

ראשון עם ראשון.

ראשון עם שני.

שני עם ראשון ושני עם שני.

$math/030-equation$

מכנסים

מחברים איברי $x$ .

משאירים $x^{2}$ וקבועים בנפרד.

בודקים בעזרת הצבה אם צריך.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

$math/027-notepad$ דוגמה פתורה: פתיחה וכינוס

שלב 1 מתוך 4

(x + 3) (x + 2)

איזו מכפלה חסרה אחרי $x \cdot x$ ?

$math/010-algebra$ דוגמה פתורה: מינוס בתוך סוגריים

(2 x - 1) (x + 4)

תבניות מיוחדות שכדאי להכיר

שלוש תבניות חוזרות פעמים רבות במבחנים. הפעלת חוק הפילוג עליהן נותנת תוצאות עם תכונות מעניינות. בכיתה ט תלמדו את 'נוסחאות הכפל המקוצר' שמקצרות את החישוב, אבל בכיתה ח עוברים בכל פעם דרך החישוב המלא.

שלוש התבניות המיוחדות

שם התבנית	ביטוי	תוצאה אחרי פתיחה
ריבוע סכום	$(x + a)^{2} = (x + a) (x + a)$	$x^{2} + 2 a x + a^{2}$
ריבוע הפרש	$(x - a)^{2} = (x - a) (x - a)$	$x^{2} - 2 a x + a^{2}$
הפרש ריבועים	$(x + a) (x - a)$	$x^{2} - a^{2}$ (האמצעיים מתבטלים)

* בכיתה ח אנחנו מגלים את התבניות מתוך פתיחה. בכיתה ט נשתמש בהן כקיצור.

אזהרה: ריבוע סכום אינו סכום ריבועים

טעות נפוצה מאוד היא לכתוב $(x + 4)^{2} = x^{2} + 16$ . שגוי! לפני שאתם פותחים, חישבו במספרים: $(2 + 3)^{2} = 25$ , אבל $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ . הריבוע הסכום אינו סכום הריבועים, יש איבר אמצעי $2 ab$ .

טעויות נפוצות

לא מכפילים רק קצוות

דרך שמבלבלת

יש תלמידים שמכפילים רק את האיברים הראשונים ואת האיברים האחרונים ושוכחים שתי מכפלות אמצעיות.

דוגמה: $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 6$

דרך בטוחה

צריך ארבע מכפלות: כל איבר מהסוגריים הראשון עם כל איבר מהסוגריים השני.

דוגמה: $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

אם קיבלתם רק שני איברים, כנראה חסרות מכפלות.

בדיקת דרך קצרה

סמנו וי קטן על כל מכפלה שכתבתם. ארבעה סימונים הם בדיקת דרך פשוטה לפני הכינוס.

ראשון עם ראשון.
ראשון עם שני.
שני עם ראשון.
שני עם שני.

שאלה 1 מתוך 15

פתחו וכנסו: $(2 x - 3) (2 x + 3)$

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חוק הפילוג המורחב כבר מוכן.

פתחו תרגול

חוק הפילוג המורחב

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

כל איבר פוגש כל איבר - ארבע מכפלות

מנמוניק 'רחפא' לארבע המכפלות

מה חייבים לדעת לעשות?

להכפיל כל זוג איברים

לשמור על סימנים

לכנס איברים

פתיחת סוגריים כפולים

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

(a+b)(c+d)

ארבע מכפלות

בדיקה בסוף

שיטה מסודרת

בדיקת ארבע מכפלות

מסמנים איברים

מכפילים

מכנסים

דוגמה פתורה: פתיחה וכינוס

דוגמה פתורה: מינוס בתוך סוגריים

תבניות מיוחדות שכדאי להכיר

שלוש התבניות המיוחדות

אזהרה: ריבוע סכום אינו סכום ריבועים

טעויות נפוצות

לא מכפילים רק קצוות

דרך שמבלבלת

דרך בטוחה

בדיקת דרך קצרה

פתחו וכנסו: (2x−3)(2x+3)

חוק הפילוג המורחב

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/046-parentheses$ כל איבר פוגש כל איבר - ארבע מכפלות

$(a + b) (c + d)$

$math/027-notepad$ דוגמה פתורה: פתיחה וכינוס

$math/010-algebra$ דוגמה פתורה: מינוס בתוך סוגריים

פתחו וכנסו: $(2 x - 3) (2 x + 3)$