גרסת הדפסה | החוברת

כשמשוואה מתפרקת לזהות או לסתירה

מה נבנה במודול הזה

לא כל משוואה מסתיימת בערך יחיד ל- $x$ . לפעמים שני האגפים זהים לכל ערך, ולפעמים מתקבלת סתירה שמראה שאין אף ערך מתאים.

לזהות פתרון יחיד: נראה מתי נשארים עם משוואה מהצורה $x = a$ .
לזהות סתירה: נבין מדוע שורה כמו $4 = 9$ אומרת שאין פתרון.
לזהות זהות: נבין מדוע שורה כמו $6 = 6$ אומרת שכל ערך בתחום מתאים.

הרעיון המרכזי

השורה האחרונה מספרת כמה פתרונות יש

אחרי פעולות שקולות, משוואה יכולה להגיע לשלושה מצבים: פתרון יחיד, סתירה או זהות.

⎩ ⎨ ⎧ x = a 5 = 2 8 = 8 פתרון יחיד אין פתרון אינסוף פתרונות

לא נבהלים כש- $x$ נעלם. בודקים איזה משפט נשאר.

תמצית: השורה האחרונה מספרת כמה פתרונות יש

⎩ ⎨ ⎧ x = a 5 = 2 8 = 8 פתרון יחיד אין פתרון אינסוף פתרונות

מה חייבים לדעת לעשות?

לזהות פתרון יחיד

נראה מתי נשארים עם משוואה מהצורה $x = a$ .

לזהות סתירה

נבין מדוע שורה כמו $4 = 9$ אומרת שאין פתרון.

לזהות זהות

נבין מדוע שורה כמו $6 = 6$ אומרת שכל ערך בתחום מתאים.

הנעלם נעלם כאשר אותם איברי

x

מופיעים בשני האגפים ומתבטלים. זה לא אומר שטעינו, אלא שצריך לפרש את השורה שנשארה.

שלושת מצבי הסיום

שורה אחרונה	משמעות	דוגמה
$x = 4$	פתרון יחיד	$2 x + 1 = 9$
$3 = 7$	אין פתרון	$2 x + 3 = 2 x + 7$
$- 5 = - 5$	אינסוף פתרונות	$2 (x + 3) = 2 x + 6$

המשמעות נקבעת לפי האמת של המשפט שנשאר.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

הנעלם נעלם כאשר אותם איברי $x$ מופיעים בשני האגפים ומתבטלים. זה לא אומר שטעינו, אלא שצריך לפרש את השורה שנשארה.

$x = a$

פתרון יחיד

$5 = 2$

אין פתרון

בדיקה בסוף

נעלם נשאר: פתרון יחיד או המשך פתרון.

שיטה מסודרת

פירוש השורה האחרונה

פותרים רגיל

פותחים סוגריים.
מכנסים איברים.
מבצעים פעולות שקולות.

בודקים מה נשאר

האם נשאר נעלם?
האם נשאר משפט אמת?
האם נשאר משפט שקר?

כותבים מסקנה

פתרון יחיד.
אין פתרון.
אינסוף פתרונות.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

פירוש גרפי - שלוש האפשרויות

כל אחת מהשלוש האפשרויות (פתרון יחיד, אין פתרון, אינסוף) ניתנת לפירוש גרפי כיחס בין שני ישרים:

y_{1} = אגף שמאל

ו-

y_{2} = אגף ימין

פירוש אלגברי לעומת גרפי

סוג פתרון	התרחיש האלגברי	התרחיש הגרפי
פתרון יחיד	מקדמי $x$ שונים. אחרי מיקוד נשאר ערך אחד של $x$ .	שני ישרים בעלי שיפועים שונים נחתכים בנקודה אחת.
אינסוף פתרונות	אחרי כל הפעולות, ה- $x$ מתבטל ונותר משפט אמת ( $5 = 5) .$	שני הישרים זהים - אותו שיפוע ואותו חיתוך עם ציר $y$ . כל נקודה על הישר היא חיתוך.
אין פתרון	אחרי כל הפעולות, ה- $x$ מתבטל ונותר משפט שקר ( $3 = 7) .$	שני ישרים מקבילים שונים - אותו שיפוע, חיתוכים שונים. אינם נחתכים.

הקשר בין אלגברה לגרף עוזר להבין מדוע יש שלוש אפשרויות בלבד למשוואה ליניארית.

דוגמה פתורה: אינסוף פתרונות

2 (x + 3) = 2 x + 6

פותחים סוגריים.
$2 x + 6 = 2 x + 6$
מחסרים $2 x$ משני האגפים.
$6 = 6$
זהו משפט אמת לכל ערך של $x$ .
$x \in R$

תשובה:

אינסוף פתרונות

דוגמה פתורה: אין פתרון

3 x + 4 = 3 x - 1

מחסרים $3 x$ משני האגפים.
$4 = - 1$
קיבלנו משפט שקר.
$4 \neq = - 1$
לכן אין ערך שמאזן את המשוואה.
$\emptyset$

תשובה:

אין פתרון

טעויות נפוצות

כש- $x$ נעלם, לא עוצרים בלי מסקנה

דרך שמבלבלת

יש תלמידים שרואים שהנעלם התבטל וכותבים מיד 'אין פתרון', בלי לבדוק מה נשאר.

$6 = 6$ ולכן אין פתרון

דרך בטוחה

בודקים אם המשפט שנשאר אמת או שקר. אמת נותנת אינסוף פתרונות, שקר נותנת אין פתרון.

$6 = 6$ הוא משפט אמת, לכן יש אינסוף פתרונות

ההבדל בין אמת לשקר הוא כל הסיפור במצבים האלה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מסיקים מהשורה $6 = 6$ אחרי פעולות שקולות?

אינסוף פתרונות
$x = 6$
אין פתרון
$x = 0$

2.מה מסיקים מהשורה $3 = 8$ אחרי פעולות שקולות?

אין פתרון
$x = 3$
$x = 8$
אינסוף פתרונות

3.כמה פתרונות יש למשוואה $2 (x + 3) = 2 x + 6$ ?

אינסוף פתרונות
פתרון יחיד
אין פתרון
שני פתרונות

4.כמה פתרונות יש למשוואה $3 (x + 2) = 3 x + 5$ ?

אין פתרון
פתרון יחיד
אינסוף פתרונות
$x = 5$

5.כמה פתרונות יש ל- $5 x - 2 = 5 x + 7$ ?

אין פתרון
אינסוף פתרונות
$x = 9$
$x = - 9$

6.באיזו צורה גרפית 'אין פתרון' מתבטא?

שני ישרים מקבילים שונים (אין נקודת חיתוך)
שני ישרים זהים
ישר אחד
מעגל

7.באיזו צורה גרפית 'אינסוף פתרונות' מתבטא?

שני ישרים זהים (אותו גרף)
שני ישרים מקבילים שונים
שני ישרים שחותכים בנקודה אחת
מעגל

8.פתרו: $4 x - 7 = 4 x + 3$

אין פתרון
$x = 10$
אינסוף פתרונות
$x = - 10$

9.פתרו: $3 (2 x - 4) = 6 x - 12$

אינסוף פתרונות
$x = 12$
אין פתרון
$x = 4$

10.מה מאפיין משוואה ליניארית עם פתרון יחיד?

מקדמי $x$ בשני האגפים שונים
אין מקדמי $x$
מקדמי $x$ זהים
המספרים החופשיים זהים

11.פתרו: $5 (x - 2) + 3 = 5 x - 7$

אינסוף פתרונות
אין פתרון
$x = 7$
$x = 2$

12.מה הטעות בכתיבת $x = 0$ כפתרון אחרי קבלת $5 = 5$ ?

$5 = 5$ פירושו אינסוף פתרונות, לא $x = 0$
אין טעות, $x = 0$ זה פתרון נכון
צריך $x = 5$
צריך $x = 10$

13.כיצד מתבטא 'פתרון יחיד' גרפית?

שני ישרים שחותכים בנקודה אחת
שני ישרים מקבילים
שני ישרים זהים
פרבולה אחת

14.באיזו משוואה יש פתרון יחיד?

$3 x + 5 = 2 x + 8$
$3 x + 5 = 3 x + 8$
$3 x + 5 = 3 x + 5$
$5 (x + 1) = 5 x + 5$

15.פתרו: $2 (3 x + 4) = 6 x + 9$

אין פתרון
אינסוף פתרונות
$x = 1$
$x = 9$