אין פתרון ואינסוף פתרונות
כשמשוואה מתפרקת לזהות או לסתירה
מה נבנה במודול הזה
הרעיון המרכזי
השורה האחרונה מספרת כמה פתרונות יש
אחרי פעולות שקולות, משוואה יכולה להגיע לשלושה מצבים: פתרון יחיד, סתירה או זהות.
אם נשאר , יש פתרון יחיד. אם כל הנעלמים נעלמים ונשאר משפט שקר כמו , אין פתרון. אם נשאר משפט אמת כמו , יש אינסוף פתרונות.
לא נבהלים כש- נעלם. בודקים איזה משפט נשאר.
תמצית: השורה האחרונה מספרת כמה פתרונות יש
מה חייבים לדעת לעשות?
לזהות פתרון יחיד
נראה מתי נשארים עם משוואה מהצורה .
לזהות סתירה
נבין מדוע שורה כמו אומרת שאין פתרון.
לזהות זהות
נבין מדוע שורה כמו אומרת שכל ערך בתחום מתאים.
הנעלם נעלם כאשר אותם איברי מופיעים בשני האגפים ומתבטלים. זה לא אומר שטעינו, אלא שצריך לפרש את השורה שנשארה.
שלושת מצבי הסיום
| שורה אחרונה | משמעות | דוגמה |
|---|---|---|
| פתרון יחיד | ||
| אין פתרון | ||
| אינסוף פתרונות |
* המשמעות נקבעת לפי האמת של המשפט שנשאר.
הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?
מצבים שחוזרים במבחנים
איך מזהים את הכלי?
הנעלם נעלם כאשר אותם איברי מופיעים בשני האגפים ומתבטלים. זה לא אומר שטעינו, אלא שצריך לפרש את השורה שנשארה.
פתרון יחיד
אין פתרון
בדיקה בסוף
נעלם נשאר: פתרון יחיד או המשך פתרון.
שיטה מסודרת
פירוש השורה האחרונה
פותרים רגיל
פותחים סוגריים.
מכנסים איברים.
מבצעים פעולות שקולות.
בודקים מה נשאר
האם נשאר נעלם?
האם נשאר משפט אמת?
האם נשאר משפט שקר?
כותבים מסקנה
פתרון יחיד.
אין פתרון.
אינסוף פתרונות.
לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.
פירוש גרפי - שלוש האפשרויות
כל אחת מהשלוש האפשרויות (פתרון יחיד, אין פתרון, אינסוף) ניתנת לפירוש גרפי כיחס בין שני ישרים: ו-.
פירוש אלגברי לעומת גרפי
| סוג פתרון | התרחיש האלגברי | התרחיש הגרפי |
|---|---|---|
| פתרון יחיד | מקדמי שונים. אחרי מיקוד נשאר ערך אחד של . | שני ישרים בעלי שיפועים שונים נחתכים בנקודה אחת. |
| אינסוף פתרונות | אחרי כל הפעולות, ה- מתבטל ונותר משפט אמת ( | שני הישרים זהים - אותו שיפוע ואותו חיתוך עם ציר . כל נקודה על הישר היא חיתוך. |
| אין פתרון | אחרי כל הפעולות, ה- מתבטל ונותר משפט שקר ( | שני ישרים מקבילים שונים - אותו שיפוע, חיתוכים שונים. אינם נחתכים. |
* הקשר בין אלגברה לגרף עוזר להבין מדוע יש שלוש אפשרויות בלבד למשוואה ליניארית.
דוגמה פתורה: אינסוף פתרונות
שלב 1 מתוך 3מה מתקבל אחרי פתיחת סוגריים?
דוגמה פתורה: אין פתרון
טעויות נפוצות
כש- נעלם, לא עוצרים בלי מסקנה
דרך שמבלבלת
יש תלמידים שרואים שהנעלם התבטל וכותבים מיד 'אין פתרון', בלי לבדוק מה נשאר.
דוגמה: ולכן אין פתרון
דרך בטוחה
בודקים אם המשפט שנשאר אמת או שקר. אמת נותנת אינסוף פתרונות, שקר נותנת אין פתרון.
דוגמה: הוא משפט אמת, לכן יש אינסוף פתרונות
ההבדל בין אמת לשקר הוא כל הסיפור במצבים האלה.
למה הטעות הזאת מפתה?
הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.
- מה מפתה לעשות: יש תלמידים שרואים שהנעלם התבטל וכותבים מיד 'אין פתרון', בלי לבדוק מה נשאר.
- מה עושים במקום: בודקים אם המשפט שנשאר אמת או שקר. אמת נותנת אינסוף פתרונות, שקר נותנת אין פתרון.
- ההבדל בין אמת לשקר הוא כל הסיפור במצבים האלה.
בדיקת דרך קצרה
אם הנעלם התבטל, אל תנחשו. שאלו רק שאלה אחת: האם המשפט המספרי שנשאר נכון?
- משפט אמת: אינסוף פתרונות.
- משפט שקר: אין פתרון.
- נעלם נשאר: פתרון יחיד או המשך פתרון.
בדיקת מוכנות לפני החידון
לפני שעוברים לחידון, ודאו שאתם לא רק יודעים לבצע את החישוב, אלא גם יודעים להסביר מתי משתמשים בו ולמה התשובה מותרת.
- משפט אמת: אינסוף פתרונות.
- משפט שקר: אין פתרון.
- נעלם נשאר: פתרון יחיד או המשך פתרון.
- בדקו את התוצאה מול השאלה המקורית.
