גרסת הדפסה | החוברת

פירוק, גורמים ושני פתרונות אפשריים

מה נבנה במודול הזה

בכיתה ח פוגשים משוואות ריבועיות מיוחדות שאפשר לפתור בלי נוסחה כללית. מוציאים גורם משותף ומשתמשים בכלל מכפלה אפס.

לפרק גורם משותף: נזהה את $x$ או גורם נוסף שמופיע בכל איבר.
להשתמש בכלל מכפלה אפס: אם מכפלה שווה אפס, לפחות אחד הגורמים שווה אפס.
למצוא את כל הפתרונות: נפתור כל גורם בנפרד ולא נשכח את $x = 0$ .

הרעיון המרכזי

מכפלה שווה אפס רק אם גורם אחד אפס

במשוואה $3 x^{2} - 12 x = 0$ , מוציאים $3 x$ ומקבלים $3 x (x - 4) = 0$ .

A \cdot B = 0 ⟹ A = 0 או B = 0

במשוואות $a x^{2} + b x = 0$ , הפתרון $x = 0$ כמעט תמיד מופיע בגלל הגורם המשותף $x$ .

תמצית: מכפלה שווה אפס רק אם גורם אחד אפס

A \cdot B = 0 ⟹ A = 0 או B = 0

מה חייבים לדעת לעשות?

לפרק גורם משותף

נזהה את $x$ או גורם נוסף שמופיע בכל איבר.

להשתמש בכלל מכפלה אפס

אם מכפלה שווה אפס, לפחות אחד הגורמים שווה אפס.

למצוא את כל הפתרונות

נפתור כל גורם בנפרד ולא נשכח את $x = 0$ .

אסור לחלק ב-

x

לפני שבודקים את האפשרות

x = 0

. חילוק כזה עלול למחוק פתרון אמיתי.

מהפירוק לפתרונות

משוואה	פירוק	פתרונות
$3 x^{2} - 12 x = 0$	$3 x (x - 4) = 0$	$x = 0, 4$
$x^{2} = 5 x$	$x (x - 5) = 0$	$x = 0, 5$
$2 x^{2} + 6 x = 0$	$2 x (x + 3) = 0$	$x = 0, - 3$

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד לפני הפירוק.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אסור לחלק ב- $x$ לפני שבודקים את האפשרות $x = 0$ . חילוק כזה עלול למחוק פתרון אמיתי.

מכפלה אפס

$A \cdot B = 0$ אומר $A = 0$ או $B = 0$

$x^{2} = 5 x$

$x = 0, 5$

בדיקה בסוף

בדקו את כל הפתרונות.

שיטה מסודרת

פתרון משוואת מכפלה אפס

אפס באגף אחד

מעבירים הכל לאגף אחד.
בודקים שהאגף השני הוא $0$ .
לא מפעילים כלל מכפלה לפני שיש מכפלה.

פירוק

מוציאים גורם משותף.
כותבים מכפלה.
בודקים פתיחה.

כל גורם

משווים כל גורם לאפס.
פותרים כל משוואה קטנה.
כותבים את כל הפתרונות.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

ריבועים מיוחדים - הפרש ריבועים ושורש מספר

מודול זה כולל לא רק 'מכפלה אפס' אלא גם ריבועים מיוחדים. שתי משפחות חשובות:

ריבועים מיוחדים בכיתה ח

סוג	צורה	פתרון	דוגמה
$x^{2} = c$ (שורש)	$x^{2} = c, c \geq 0$	$x = \pm c$	$x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
הפרש ריבועים	$x^{2} - a^{2} = 0$	$x = \pm a$	$x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$
מכפלה ליניארית-ריבועית	$x (x - a) = 0$	$x = 0, a$	$x (x - 7) = 0 \Rightarrow x = 0, 7$
פירוק טרינום	$x^{2} + b x + c = 0$	מפרקים: $(x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0$	$x^{2} - 7 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3, 4$

אם $c < 0$ ב- $x^{2} = c$ , אין פתרון ממשי - אי אפשר להעלות מספר ממשי בריבוע ולקבל מספר שלילי.

דוגמה: שורש מספר חיובי

x^{2} = 49

מעבירים אגף.
$x^{2} - 49 = 0$
פירוק הפרש ריבועים.
$(x - 7) (x + 7) = 0$
כלל מכפלה אפס.
$x = 7 או x = - 7$
אפשר גם לכתוב באמצעות סימן ±.
$x = \pm 7$

תשובה:

x = \pm 7

דוגמה: הפרש ריבועים ופתרון

x^{2} - 9 = 0

מזהים מבנה של הפרש ריבועים: $x^{2}$ ו- $9 = 3^{2}$ .
$x^{2} - 3^{2} = 0$
פירוק.
$(x - 3) (x + 3) = 0$
כל גורם בנפרד.
$x = 3 או x = - 3$

תשובה:

x = \pm 3

טעויות נפוצות

לא מחלקים ב- $x$ מוקדם מדי

דרך שמבלבלת

במשוואה $x^{2} = 5 x$ קל לחלק ב- $x$ ולקבל רק $x = 5$ .

$x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5$

דרך בטוחה

מעבירים אגף ומפרקים: $x (x - 5) = 0$ . כך מקבלים גם $x = 0$ .

$x = 0$ או $x = 5$

חילוק בביטוי עם נעלם עלול למחוק את המקרה שבו הביטוי שווה אפס.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה אומר כלל מכפלה אפס?

אם $A B = 0$ אזי $A = 0$ או $B = 0$
אם $A B = 0$ אזי שניהם אפס בו זמנית
אם $A B = 0$ אזי $A + B = 0$
אם $A B = 0$ אזי תמיד $A = B$

2.פתרו: $(x - 3) (x + 5) = 0$

$x = 3$ או $x = - 5$
$x = 3$ או $x = 5$
$x = - 3$ או $x = 5$
$x = 15$

3.פתרו: $x (x - 7) = 0$

$x = 0$ או $x = 7$
רק $x = 7$
רק $x = 0$
אין פתרון

4.פתרו: $x^{2} = 5 x$

$x = 0$ או $x = 5$
רק $x = 5$
$x = 5$
אין פתרון

5.מה הטעות בחילוק שני אגפים של $x^{2} = 5 x$ ב- $x$ ?

מאבדים את הפתרון $x = 0$
מקבלים יותר פתרונות מהדרוש
אין טעות
התשובה מוכפלת ב-2

6.פתרו: $x^{2} - 9 = 0$

$x = 3$ או $x = - 3$
רק $x = 3$
$x = 9$
$x = \pm 9$

7.פתרו: $x^{2} = 16$

$x = 4$ או $x = - 4$
רק $x = 4$
$x = 8$
$x = 16$

8.פתרו: $3 x^{2} = 12 x$

$x = 0$ או $x = 4$
רק $x = 4$
$x = 12$
$x = 4$ או $x = 12$

9.כמה פתרונות יש למשוואה $(x - 2) (x - 2) = 0$ ?

פתרון אחד, $x = 2$
שני פתרונות, $x = 2$ ו- $x = - 2$
אין פתרון
אינסוף פתרונות

10.פתרו: $(2 x - 1) (x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}$ או $x = - 3$
$x = 1$ או $x = - 3$
$x = 2$ או $x = 3$
$x = - \frac{1}{2}$ או $x = 3$

11.פתרו: $x^{2} + 5 x = 0$

$x = 0$ או $x = - 5$
$x = 0$ או $x = 5$
רק $x = - 5$
רק $x = 0$

12.האם $(x - 4) (x + 1) = 6$ פותרים בכלל מכפלה אפס?

לא, צד אחד חייב להיות אפס לפני שמפעילים את הכלל
כן, $x - 4 = 6$ או $x + 1 = 6$
כן, $x - 4 = 2$ ו- $x + 1 = 3$
כן, רק כשהמכפלה שלילית

13.פתרו: $x^{2} - 7 x + 12 = 0$

$x = 3$ או $x = 4$
$x = - 3$ או $x = - 4$
$x = 12$
אין פתרון

14.ב- $x (x + 2) (x - 5) = 0$ (שלושה גורמים), כמה פתרונות?

שלושה: $x = 0, x = - 2, x = 5$
שניים: $x = - 2, x = 5$
אחד: $x = 0$
אינסוף

15.פתרו: $x^{2} = 4 x + 5$

$x = 5$ או $x = - 1$
$x = 4$ או $x = 5$
רק $x = 5$
אין פתרון