מהו מכפלה שווה אפס רק אם גורם אחד אפס?

במשוואה 3x^2-12x=0, מוציאים 3x ומקבלים 3x(x-4)=0. כלל מכפלה אפס אומר שאם A\cdot B=0, אז A=0 או B=0. לכן פותרים כל גורם בנפרד. במשוואות ax^2+bx=0, הפתרון x=0 כמעט תמיד מופיע בגלל הגורם המשותף x.

מכפלה אפס ומשוואות $a x^{2} + b x = 0$

פירוק, גורמים ושני פתרונות אפשריים

מה נבנה במודול הזה

בכיתה ח פוגשים משוואות ריבועיות מיוחדות שאפשר לפתור בלי נוסחה כללית. מוציאים גורם משותף ומשתמשים בכלל מכפלה אפס.

לפרק גורם משותף

נזהה את

x

או גורם נוסף שמופיע בכל איבר.

להשתמש בכלל מכפלה אפס

אם מכפלה שווה אפס, לפחות אחד הגורמים שווה אפס.

למצוא את כל הפתרונות

נפתור כל גורם בנפרד ולא נשכח את

x = 0

הרעיון המרכזי

מכפלה שווה אפס רק אם גורם אחד אפס

במשוואה $3 x^{2} - 12 x = 0$ , מוציאים $3 x$ ומקבלים $3 x (x - 4) = 0$ .

כלל מכפלה אפס אומר שאם $A \cdot B = 0$ , אז $A = 0$ או $B = 0$ . לכן פותרים כל גורם בנפרד.

$A \cdot B = 0 ⟹ A = 0 או B = 0$

במשוואות $a x^{2} + b x = 0$ , הפתרון $x = 0$ כמעט תמיד מופיע בגלל הגורם המשותף $x$ .

טוען סימולציה...

תמצית: מכפלה שווה אפס רק אם גורם אחד אפס

A \cdot B = 0 ⟹ A = 0 או B = 0

מה חייבים לדעת לעשות?

לפרק גורם משותף

נזהה את $x$ או גורם נוסף שמופיע בכל איבר.

להשתמש בכלל מכפלה אפס

אם מכפלה שווה אפס, לפחות אחד הגורמים שווה אפס.

למצוא את כל הפתרונות

נפתור כל גורם בנפרד ולא נשכח את $x = 0$ .

אסור לחלק ב- $x$ לפני שבודקים את האפשרות $x = 0$ . חילוק כזה עלול למחוק פתרון אמיתי.

מהפירוק לפתרונות

משוואה	פירוק	פתרונות
$3 x^{2} - 12 x = 0$	$3 x (x - 4) = 0$	$x = 0, 4$
$x^{2} = 5 x$	$x (x - 5) = 0$	$x = 0, 5$
$2 x^{2} + 6 x = 0$	$2 x (x + 3) = 0$	$x = 0, - 3$

* מעבירים את כל האיברים לאגף אחד לפני הפירוק.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אסור לחלק ב- $x$ לפני שבודקים את האפשרות $x = 0$ . חילוק כזה עלול למחוק פתרון אמיתי.

מכפלה אפס

$A \cdot B = 0$ אומר $A = 0$ או $B = 0$

$x^{2} = 5 x$

$x = 0, 5$

בדיקה בסוף

בדקו את כל הפתרונות.

שיטה מסודרת

פתרון משוואת מכפלה אפס

$math/008-square root$

אפס באגף אחד

מעבירים הכל לאגף אחד.

בודקים שהאגף השני הוא $0$ .

לא מפעילים כלל מכפלה לפני שיש מכפלה.

$math/010-algebra$

פירוק

מוציאים גורם משותף.

כותבים מכפלה.

בודקים פתיחה.

כל גורם

משווים כל גורם לאפס.

פותרים כל משוואה קטנה.

כותבים את כל הפתרונות.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

ריבועים מיוחדים - הפרש ריבועים ושורש מספר

מודול זה כולל לא רק 'מכפלה אפס' אלא גם ריבועים מיוחדים. שתי משפחות חשובות:

ריבועים מיוחדים בכיתה ח

סוג	צורה	פתרון	דוגמה
$x^{2} = c$ (שורש)	$x^{2} = c, c \geq 0$	$x = \pm c$	$x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
הפרש ריבועים	$x^{2} - a^{2} = 0$	$x = \pm a$	$x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$
מכפלה ליניארית-ריבועית	$x (x - a) = 0$	$x = 0, a$	$x (x - 7) = 0 \Rightarrow x = 0, 7$
פירוק טרינום	$x^{2} + b x + c = 0$	מפרקים: $(x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0$	$x^{2} - 7 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3, 4$

* אם $c < 0$ ב- $x^{2} = c$ , אין פתרון ממשי - אי אפשר להעלות מספר ממשי בריבוע ולקבל מספר שלילי.

$math/034-pentagon$ דוגמה: שורש מספר חיובי

x^{2} = 49

דוגמה: הפרש ריבועים ופתרון

x^{2} - 9 = 0

אזהרה חמורה: אסור לחלק במשתנה!

הטעות הקלאסית הזאת מתרחשת במשוואה כמו $x^{2} = 5 x$ . תלמידים רבים מתפתים לחלק שני אגפים ב- $x$ ומקבלים $x = 5$ . אבל אז איבדנו את הפתרון $x = 0$ !

הסיבה: כשאנחנו מחלקים, אנחנו מניחים שהמחלק שונה מאפס. אבל המחלק כאן הוא $x$ , וייתכן ש- $x = 0$ . במקרה הזה, $x = 0$ הוא בדיוק אחד הפתרונות שמחפשים!

החוק: כשמופיע משתנה כגורם משותף בשני אגפים, תמיד מעבירים אגף ומפרקים. אף פעם לא מחלקים.

טעויות נפוצות

לא מחלקים ב- $x$ מוקדם מדי

דרך שמבלבלת

במשוואה $x^{2} = 5 x$ קל לחלק ב- $x$ ולקבל רק $x = 5$ .

דוגמה: $x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5$

דרך בטוחה

מעבירים אגף ומפרקים: $x (x - 5) = 0$ . כך מקבלים גם $x = 0$ .

דוגמה: $x = 0$ או $x = 5$

חילוק בביטוי עם נעלם עלול למחוק את המקרה שבו הביטוי שווה אפס.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: במשוואה $x^{2} = 5 x$ קל לחלק ב- $x$ ולקבל רק $x = 5$ .
מה עושים במקום: מעבירים אגף ומפרקים: $x (x - 5) = 0$ . כך מקבלים גם $x = 0$ .
חילוק בביטוי עם נעלם עלול למחוק את המקרה שבו הביטוי שווה אפס.

בדיקת דרך קצרה

במשוואת מכפלה אפס, פתרון מלא דורש רשימת פתרונות. אל תעצרו אחרי הגורם הראשון.

העבירו לאגף אחד.
פרקו לגורמים.
השוו כל גורם לאפס.
בדקו את כל הפתרונות.

שאלה 1 מתוך 15

מה הטעות בחילוק שני אגפים של $x^{2} = 5 x$ ב- $x$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מכפלה אפס ומשוואות {m}ax^2+bx=0{/m} כבר מוכן.

פתחו תרגול

מכפלה אפס ומשוואות ax2+bx=0