גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

הסתברות קלאסית מתאימה למצבים שבהם כל התוצאות האפשריות שוות סיכוי. לפני שמחלקים, חייבים להגדיר מרחב מדגם ולספור תוצאות רצויות.

לזהות שוויון סיכויים: נבדוק אם כל תוצאה אפשרית באותה מידה.
לבנות מרחב מדגם: נמנה את כל התוצאות האפשריות לפני הספירה.
לספור תוצאות רצויות: נחלק רצויות בכל האפשריות ונצמצם אם אפשר.

מפת דרך לפתרון

כל בעיה בהסתברות קלאסית פותרים בשלושה שלבים: מונים את כלל מרחב המדגם, מונים את המאורע, ומחלקים. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את הסדר הקבוע.

שלוש החלטות שעושות סדר

מרחב מדגם

רושמים את כל התוצאות.
בודקים שאין כפילות.
הספירה היא המכנה.

תוצאות רצויות

מסמנים מה מתאים לאירוע.
סופרים רק תוצאות מתוך המרחב.
הספירה היא המונה.

שוויון סיכויים

הנוסחה הקלאסית דורשת סימטריה.
אם התוצאות לא שוות סיכוי, צריך מידע נוסף.
לא סופרים קטגוריות כאילו הן תמיד שוות.

הבנה מרכזית

כשכל התוצאות שוות הסתברות, אפשר לחשב הסתברות פשוט על ידי מנייה של מקרים נוחים מתוך כלל המקרים האפשריים. לב הקושי הוא לוודא שמרחב המדגם נמנה במלואו.

סופרים רצוי מתוך אפשרי

במצב סימטרי, כמו קובייה הוגנת, לכל תוצאה יש אותו סיכוי. לכן מחשבים הסתברות קלאסית כספירת התוצאות הרצויות חלקי כל התוצאות האפשריות.

P (A) = \frac{מספר תוצאות רצויות}{מספר כל התוצאות האפשריות}

הנוסחה מתאימה רק כאשר התוצאות סימטריות או ידוע שהן שוות סיכוי.

הסתברות קלאסית

P (A) = \frac{מספר תוצאות רצויות}{מספר כל התוצאות האפשריות}

דוגמה פתורה

ניקח דוגמה של הטלת קובייה או שליפת קלף ונחשב הסתברות במלואה. שימו לב במיוחד למניית מרחב המדגם - שם נחשבת ההצלחה.

מספר זוגי בקובייה

מטיליםקובייההוגנת.מהההסתברותלקבלמספרזוגי ?

מזהים תוצאות רצויות.
${2, 4, 6}$
יש שש תוצאות אפשריות בקובייה.
$n = 6$
מחלקים רצוי באפשרי.
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

תשובה:

\frac{1}{2}

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה דוגמה עם מאורע מורכב יותר, כמו 'מספר זוגי' או 'לפחות מספר אחד'. תראו שאותה נוסחה - מקרים נוחים חלקי כלל המקרים - מטפלת בכל המצבים.

לרשום לפני שסופרים

מטיליםשנימטבעות.מהההסתברותלקבלבדיוקעץאחד ?

רושמים את מרחב המדגם.
${עע, עפ, פע, פפ}$
מסמנים את התוצאות עם בדיוק עץ אחד.
${עפ, פע}$
מחלקים רצויות בכל האפשריות.
$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

תשובה:

\frac{1}{2}

עוד ייצוגים ודוגמאות

מטבעות, קוביות, קלפים וכדורים בכד מציגים את אותה לוגיקה: מקרים נוחים חלקי כלל המקרים. הדוגמאות הבאות מסייעות לזהות את התבנית הזו בכל הקשר.

דוגמאות קצרות

כדור אדום

בשק עם $3$ אדומים ו- $5$ צהובים, $P (אדום) = \frac{3}{8}$ .

מטבע

במטבע הוגן, $P (עץ) = \frac{1}{2}$ .

לא סימטרי

אם הקובייה מוטה, ספירה בלבד כבר לא מספיקה.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא לשכוח חלק ממרחב המדגם או לספור מקרה כפול. נראה איך מנייה זריזה ומסודרת מבטלת את שתי הטעויות יחד.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לספור רק את התוצאות הרצויות ולא לכתוב מכנה.

החשיבה הנכונה

ההסתברות היא יחס בין רצוי לבין כל האפשרויות.

בדיקת סבירות

שאלו: מתוך כמה תוצאות שוות סיכוי בחרנו?

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את הקשר בין מרחב המדגם, המאורע וההסתברות. הטבלה הזו מסייעת לזהות איזה מהשלושה ניתן בשאלה ואיזה צריך למצוא.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם התוצאות שוות סיכוי?	בודקים סימטריה	רק אז משתמשים בנוסחה הקלאסית
מה כל האפשרויות?	כותבים מרחב מדגם	המכנה מגיע מכאן
מה רצוי?	סופרים תוצאות שמתאימות לאירוע	המונה מגיע מכאן

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לחשב הסתברויות קלאסיות בעצמכם. כדאי לרשום קודם את כל מרחב המדגם, גם בבעיות פשוטות - זה מונע טעויות מנייה.

תרגיל

כדורים בשק

בשק יש $5$ כדורים צהובים ו- $3$ אדומים. מה ההסתברות להוציא אדום?

\frac{3}{8}

תרגיל

שני מטבעות

מטילים שני מטבעות הוגנים. מה ההסתברות לקבל שני עצים?

\frac{1}{4}

תרגיל

לא לספור קטגוריות במקום תוצאות

בשק יש $3$ כדורים אדומים ו- $5$ כחולים. שולפים כדור אחד. מה ההסתברות לכחול?

P (כחול) = \frac{5}{8}

שאלות חשיבה

מתי אסור להשתמש בנוסחת ההסתברות הקלאסית בלי בדיקה נוספת?

למה במטבעות שני עצים אינם חצי?

הסתברות במצבים סימטריים

הסתברות קלאסית מתאימה כשכל התוצאות שוות-סיכוי. דוגמאות קלאסיות: מטבע הוגן, קובייה הוגנת, כדורים בשק. הנוסחה: רצויות חלקי כל אפשריות.

הסתברויות קלאסיות בחיים

מטבע

$P (עץ) = \frac{1}{2}$ . שני צדדים, אחד הוא 'עץ'.

קובייה

$P (6) = \frac{1}{6}$ . שש פאות, אחת היא 6.

שק כדורים

$3$ אדומים, $5$ צהובים. $P (אדום) = \frac{3}{8}$ .

שלושה צעדים

מרחב המדגם

כל התוצאות האפשריות. למשל בקובייה: ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

רצויות

התוצאות שהמאורע מקיים. למשל זוגיות: ${2, 4, 6}$ .

יחס

$P = \frac{∣רצויות∣}{∣אפשריות∣}$ .

הסתברות קלאסית

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣}

דוגמה: קובייה הוגנת

הסתברויות בקובייה

מטיליםקובייההוגנת.מצא : א^{'} m P (2) / m, ב^{'} m P (זוגי) / m, ג^{'} m P (\leq 3) / m .

מרחב מדגם.
$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∣ S ∣ = 6$
מאורע א'.
$A = {2}, P (A) = \frac{1}{6}$
מאורע ב'.
$B = {2, 4, 6}, P (B) = \frac{3}{6} = 0.5$
מאורע ג'.
$C = {1, 2, 3}, P (C) = \frac{3}{6} = 0.5$

תשובה:

P_{a} = \frac{1}{6}, P_{b} = 0.5, P_{c} = 0.5

דוגמה: שק כדורים

שלוש הסתברויות בשק

בשק : m 3 / m כדוריםאדומים, m 4 / m כחולים, m 3 / m ירוקים.הסתברותלכלצבע ?

מרחב מדגם.
$∣ S ∣ = 10$
אדום.
$P = \frac{3}{10} = 0.3$
כחול.
$P = \frac{4}{10} = 0.4$
ירוק.
$P = \frac{3}{10} = 0.3$
בדיקה.
$0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$

תשובה:

P_{R} = 0.3, P_{B} = 0.4, P_{G} = 0.3

מקרה קצה: התרחשות חופפת

מה אם המאורע אינו פשוט אלא איחוד של תוצאות? לוקחים את כל התוצאות שמקיימות לפחות תנאי אחד.

איחוד מאורעות

בקובייההוגנת.מהי m P (זוגי או \leq 3) / m ?

זוגיות.
$B = {2, 4, 6}$
$\leq 3$ .
$C = {1, 2, 3}$
איחוד (כולל ללא חזרות).
$B \cup C = {1, 2, 3, 4, 6}$
הסתברות.
$P = \frac{5}{6}$

תשובה:

\frac{5}{6}

טעויות נפוצות

הזנחת מרחב המדגם

הטעות

להחליט $P (2) = \frac{1}{2}$ כי יש שתי אפשרויות (2 או לא-2).

החשיבה הנכונה

מרחב המדגם הוא כל התוצאות, לא קבוצות לוגיות. בקובייה: $∣ S ∣ = 6$ .

בדיקה

ספרו את כל התוצאות שונות, לא קבוצות.

ספירה כפולה באיחוד

הטעות

$P (זוגי או \leq 3) = \frac{3 + 3}{6} = 1$ .

החשיבה הנכונה

${2}$ שייך לשניהם. סופרים פעם אחת.

בדיקה

האם תוצאה מסוימת ספרת אותה פעמיים?