הסתברות במצבים סימטריים

מפת דרך לפתרון

כל בעיה בהסתברות קלאסית פותרים בשלושה שלבים: מונים את כלל מרחב המדגם, מונים את המאורע, ומחלקים. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את הסדר הקבוע.

שלוש החלטות שעושות סדר

מרחב מדגם

רושמים את כל התוצאות.

בודקים שאין כפילות.

הספירה היא המכנה.

תוצאות רצויות

מסמנים מה מתאים לאירוע.

סופרים רק תוצאות מתוך המרחב.

הספירה היא המונה.

שוויון סיכויים

הנוסחה הקלאסית דורשת סימטריה.

אם התוצאות לא שוות סיכוי, צריך מידע נוסף.

לא סופרים קטגוריות כאילו הן תמיד שוות.

הבנה מרכזית

כשכל התוצאות שוות הסתברות, אפשר לחשב הסתברות פשוט על ידי מנייה של מקרים נוחים מתוך כלל המקרים האפשריים. לב הקושי הוא לוודא שמרחב המדגם נמנה במלואו.

דוגמה פתורה

ניקח דוגמה של הטלת קובייה או שליפת קלף ונחשב הסתברות במלואה. שימו לב במיוחד למניית מרחב המדגם - שם נחשבת ההצלחה.

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה דוגמה עם מאורע מורכב יותר, כמו 'מספר זוגי' או 'לפחות מספר אחד'. תראו שאותה נוסחה - מקרים נוחים חלקי כלל המקרים - מטפלת בכל המצבים.

עוד ייצוגים ודוגמאות

מטבעות, קוביות, קלפים וכדורים בכד מציגים את אותה לוגיקה: מקרים נוחים חלקי כלל המקרים. הדוגמאות הבאות מסייעות לזהות את התבנית הזו בכל הקשר.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא לשכוח חלק ממרחב המדגם או לספור מקרה כפול. נראה איך מנייה זריזה ומסודרת מבטלת את שתי הטעויות יחד.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את הקשר בין מרחב המדגם, המאורע וההסתברות. הטבלה הזו מסייעת לזהות איזה מהשלושה ניתן בשאלה ואיזה צריך למצוא.

תרגול עצמי

תרגלו לחשב הסתברויות קלאסיות בעצמכם. כדאי לרשום קודם את כל מרחב המדגם, גם בבעיות פשוטות - זה מונע טעויות מנייה.

כדורים בשק

בסיסי

בשק יש $5$ כדורים צהובים ו-$3$ אדומים. מה ההסתברות להוציא אדום?

$$\frac{3}{8}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שני מטבעות

בינוני

מטילים שני מטבעות הוגנים. מה ההסתברות לקבל שני עצים?

$$\frac{1}{4}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

לא לספור קטגוריות במקום תוצאות

מאתגר

בשק יש $3$ כדורים אדומים ו-$5$ כחולים. שולפים כדור אחד. מה ההסתברות לכחול?

$$P(\text{כחול})=\frac{5}{8}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

שאלות חשיבה

הסתברות במצבים סימטריים

הסתברות קלאסית מתאימה כשכל התוצאות שוות-סיכוי. דוגמאות קלאסיות: מטבע הוגן, קובייה הוגנת, כדורים בשק. הנוסחה: רצויות חלקי כל אפשריות.

שלושה צעדים

מרחב המדגם

כל התוצאות האפשריות. למשל בקובייה: $\{1,2,3,4,5,6\}$.

רצויות

התוצאות שהמאורע מקיים. למשל זוגיות: $\{2,4,6\}$.

יחס

$P=\frac{|רצויות|}{|אפשריות|}$.

דוגמה: קובייה הוגנת

דוגמה: שק כדורים

מקרה קצה: התרחשות חופפת

מה אם המאורע אינו פשוט אלא איחוד של תוצאות? לוקחים את כל התוצאות שמקיימות לפחות תנאי אחד.

טעויות נפוצות