גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

הסתברות ניסויית משתמשת בשכיחות יחסית מתוך ניסוי אמיתי. ככל שיש יותר ניסויים, האומדן נוטה להיות יציב יותר, אבל הוא עדיין תוצאה של ניסוי ולא הבטחה מוחלטת.

לחשב הסתברות ניסויית: נחלק מספר הצלחות במספר ניסויים.
להשוות למדגם אחר: נבחן למה ניסוי גדול בדרך כלל נותן אומדן אמין יותר.
לפרש סטייה: נבדיל בין תנודה אקראית במדגם קטן לבין סימן לבדיקה נוספת.

מפת דרך לפתרון

כדי לחשב הסתברות ניסויית צריך לדעת כמה פעמים בוצע הניסוי, כמה פעמים קרה המאורע, ולחשב את היחס. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את התהליך ומסבירים למה הסדר חשוב.

שלוש החלטות שעושות סדר

ניסוי

סופרים כמה ניסויים בוצעו.
סופרים כמה פעמים האירוע קרה.
מחלקים הופעות בניסויים.

אומדן

התוצאה מתארת את מה שקרה במדגם.
מדגם גדול יציב יותר בדרך כלל.
אין הבטחה שכל רצף יהיה מדויק.

צפי

אפשר להעריך מספר הצלחות עתידי.
כופלים הסתברות במספר ניסויים.
הצפי אינו התחייבות לתוצאה מדויקת.

הבנה מרכזית

כשלא ידוע לנו מהי ההסתברות מראש, מבצעים ניסוי וסופרים. ההסתברות הניסויית היא היחס בין מספר הפעמים שמאורע קרה לבין מספר הניסויים, וככל שיש יותר ניסויים היא קרובה יותר לערך האמיתי.

ניסוי חוזר נותן אומדן לסיכוי

הסתברות ניסויית היא שכיחות יחסית של מאורע בניסוי. ככל שמספר החזרות גדל, האומדן נוטה להיות יציב יותר.

P_{ניסוי} (A) = \frac{מספר הופעות של A}{מספר ניסויים}

הסתברות ניסויית אינה מבטיחה את התוצאה הבאה, אלא מסכמת מה קרה בניסוי שבוצע.

הסתברות ניסויית

P_{ניסוי} (A) = \frac{מספר הופעות של A}{מספר ניסויים}

דוגמה פתורה

ניקח תוצאות של ניסוי הטלות מטבע ונחשב את ההסתברות הניסויית להופעת 'עץ'. שימו לב למה התוצאה לא בדיוק חצי, למרות שמטבע הוגן.

מטבע בניסוי

מטבעהוטל m 40 / m פעמיםוהתקבלעץ m 18 / m פעמים.מהההסתברותהניסוייתלעץ ?

מחלקים הופעות במספר הניסויים.
$\frac{18}{40} = 0.45$
כותבים כאחוז.
$0.45 = 45%$
משווים לתאוריה.
$0.45 \approx 0.5$

תשובה:

0.45

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה ניסוי עם הרבה יותר חזרות. תראו שההסתברות הניסויית מתייצבת ומתקרבת לערך תאורטי, וזו הסיבה שתמיד עדיף להגדיל את מספר הניסויים.

להשוות ניסויים בגדלים שונים

בניסויאהתקבלו m 8 / m הצלחותמתוך m 20 / m .בניסויבהתקבלו m 45 / m הצלחותמתוך m 100 / m .איזהאומדןגבוהיותרואיזהיציביותרבדרךכלל ?

מחשבים את ההסתברות הניסויית בניסוי א.
$\frac{8}{20} = 0.4$
מחשבים את ההסתברות הניסויית בניסוי ב.
$\frac{45}{100} = 0.45$
משווים גודל מדגם.
$100 > 20$

תשובה:

האומדן הגבוה והיציב יותר בדרך כלל הוא ניסוי ב

עוד ייצוגים ודוגמאות

מזג אוויר, ניסויים מדעיים וסקרי ביקוש - כולם מבוססים על הסתברות ניסויית. הדוגמאות הבאות מסייעות לזהות את אותו עיקרון במגוון הקשרים אמיתיים.

דוגמאות קצרות

אומדן מכדורים

$37$ הצלחות מתוך $100$ נותנות הסתברות ניסויית $0.37$ .

צפי לפי הסתברות

אם $p = 0.2$ ובוצעו $150$ ניסויים, מצפים לכ- $0.2 \cdot 150 = 30$ הצלחות.

חוק המספרים הגדולים

יותר חזרות בדרך כלל נותנות אומדן יציב יותר, אך לא מבטיחות רצף מושלם.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא להסיק מהר מדי ממדגם קטן, או לבלבל בין הסתברות ניסויית להסתברות תאורטית. נראה איך מספר הניסויים משפיע על רמת הוודאות שלנו.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחשוב שאם ההסתברות היא $0.5$ , בכל ארבע הטלות יהיו בדיוק שני עצים.

החשיבה הנכונה

ההסתברות מתארת מגמה ארוכת טווח, לא התחייבות לכל מדגם קטן.

בדיקת סבירות

הבחינו בין צפי לבין תוצאה בפועל.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את ההבדל בין הסתברות תאורטית להסתברות ניסויית, ומתי משתמשים בכל אחת. הטבלה הזו מסייעת לבחור גישה מתאימה לכל בעיה.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
כמה ניסויים?	זה המכנה	בלי מספר ניסויים אין יחס
כמה הצלחות?	זה המונה	האירוע הרצוי חייב להיות מוגדר
כמה גדול המדגם?	בודקים יציבות	מדגם קטן יכול לסטות מאוד

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לחשב הסתברות ניסויית מטבלאות נתונים. שאלו את עצמכם בכל שאלה: 'האם מספר הניסויים מספיק כדי לסמוך על התוצאה?'

תרגיל

חישוב ניסויי

בניסוי התקבלו $37$ הצלחות מתוך $100$ . מה ההסתברות הניסויית?

\frac{37}{100}

תרגיל

צפי הצלחות

אם הסתברות תאורטית היא $0.2$ ומבצעים $150$ ניסויים, לכמה הצלחות מצפים בערך?

0.2 \cdot 150

תרגיל

צפי מתוך הסתברות ניסויית

בניסוי התקבלו $18$ הצלחות מתוך $60$ . אם מבצעים $200$ ניסויים דומים, מה צפי מספר ההצלחות?

\frac{18}{60} \cdot 200

שאלות חשיבה

למה תוצאה ניסויית יכולה להיות שונה מהסתברות תאורטית?

מה אפשר להסיק אם אחרי הרבה ניסויים התוצאה רחוקה מאוד מהמודל התאורטי?

הסתברות ניסויית בחיים

הסתברות ניסויית מתבססת על נתונים שנאספו בניסוי. היא לא מניחה סימטריה. ככל שמספר הניסויים גדול יותר, ההסתברות הניסויית מתקרבת להסתברות התיאורטית - חוק המספרים הגדולים.

ניסויים והסתברות

הטלת מטבע

אחרי $100$ הטלות, ראש יצא $55$ פעמים. הסתברות ניסויית: $\frac{55}{100} = 0.55$ .

ספורט

שחקן זרק $100$ סלים, קלע $38$ . הסתברות הצלחה: $38%$ .

בקרה איכותית

ב- $1000$ מוצרים, $5$ פגומים. הסתברות פגם: $0.5%$ .

מאפיינים

נוסחה

$P_{e x p} = \frac{f}{n}$ , שכיחות יחסית.

חוק המספרים הגדולים

$P_{e x p} \to P_{t h eor e t i c a l}$ ככל ש- $n \to \infty$ .

הבדל מתיאורטי

תיאורטית מבוסס סימטריה. ניסויית מבוסס נתונים.

שימושים

כשאין סימטריה ברורה, או למבחן אם המודל נכון.

הסתברות ניסויית

P_{exp} = \frac{f}{n}

דוגמה: הסתברות מקובייה

השוואה תיאורטית-ניסויית

מטיליםקובייה m 120 / m פעמים. m 6 / m יצא m 25 / m פעמים.הסתברותתיאורטיתוניסויית ?

תיאורטית.
$P_{t h eor y} = \frac{1}{6} \approx 0.167$
ניסויית.
$P_{e x p} = \frac{25}{120} \approx 0.208$
השוואה.
$0.208 > 0.167$

תשובה:

P_{t h eor y} = \frac{1}{6}, P_{e x p} = \frac{25}{120}

דוגמה: הסתברות בלי סימטריה

הסתברות לקליעה

שחקןזרק m 50 / m זריקותחופשיות, קלע m 38 / m .מהיההסתברותשיצליחבקליעההבאה ?

ניסויית.
$P = \frac{38}{50} = 0.76$
אין סימטריה - אין הסתברות תיאורטית.
$תלוי בכישורים$
הערכה לפי נתונים.
$P \approx 0.76 או 76%$

תשובה:

0.76

מקרה קצה: מספר ניסויים קטן

מה אם הניסוי מוטל פעמיים בלבד? שני הראשים נותנים הסתברות ניסויית של

1

, אבל זה לא ההסתברות האמיתית. צריך הרבה ניסויים לאומדן טוב.

השפעת מספר הניסויים

$n$	אמינות אומדן	כלל אצבע
$10$	נמוכה	סטיות גדולות
$100$	סבירה	סטיות קטנות יותר
$1000$	גבוהה	סטיות מינימליות
$\to \infty$	מתכנס לתיאורטי	חוק המספרים הגדולים

טעויות נפוצות

הסקה מנתונים מועטים

הטעות

ב- $5$ הטלות יצא $5$ פעמים ראש. להחליט $P = 1$ .

החשיבה הנכונה

מספר ניסויים קטן לא נותן אומדן אמין. צריך $100 +$ .

בדיקה

אומדן טוב דורש מספר גדול של ניסויים.

בלבול בין ניסויית לתיאורטית

הטעות

אומרים שהסתברות תיאורטית של ראש היא $0.55$ כי בניסוי יצא כך.

החשיבה הנכונה

תיאורטית = $0.5$ (סימטריה). ניסויית = $0.55$ (נתונים).

בדיקה

תיאורטי מבוסס מודל מתמטי. ניסויי מבוסס נתונים.