שכיחות יחסית והסתברות ניסויית

מפת דרך לפתרון

כדי לחשב הסתברות ניסויית צריך לדעת כמה פעמים בוצע הניסוי, כמה פעמים קרה המאורע, ולחשב את היחס. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את התהליך ומסבירים למה הסדר חשוב.

שלוש החלטות שעושות סדר

ניסוי

סופרים כמה ניסויים בוצעו.

סופרים כמה פעמים האירוע קרה.

מחלקים הופעות בניסויים.

אומדן

התוצאה מתארת את מה שקרה במדגם.

מדגם גדול יציב יותר בדרך כלל.

אין הבטחה שכל רצף יהיה מדויק.

צפי

אפשר להעריך מספר הצלחות עתידי.

כופלים הסתברות במספר ניסויים.

הצפי אינו התחייבות לתוצאה מדויקת.

הבנה מרכזית

כשלא ידוע לנו מהי ההסתברות מראש, מבצעים ניסוי וסופרים. ההסתברות הניסויית היא היחס בין מספר הפעמים שמאורע קרה לבין מספר הניסויים, וככל שיש יותר ניסויים היא קרובה יותר לערך האמיתי.

דוגמה פתורה

ניקח תוצאות של ניסוי הטלות מטבע ונחשב את ההסתברות הניסויית להופעת 'עץ'. שימו לב למה התוצאה לא בדיוק חצי, למרות שמטבע הוגן.

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה ניסוי עם הרבה יותר חזרות. תראו שההסתברות הניסויית מתייצבת ומתקרבת לערך תאורטי, וזו הסיבה שתמיד עדיף להגדיל את מספר הניסויים.

עוד ייצוגים ודוגמאות

מזג אוויר, ניסויים מדעיים וסקרי ביקוש - כולם מבוססים על הסתברות ניסויית. הדוגמאות הבאות מסייעות לזהות את אותו עיקרון במגוון הקשרים אמיתיים.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא להסיק מהר מדי ממדגם קטן, או לבלבל בין הסתברות ניסויית להסתברות תאורטית. נראה איך מספר הניסויים משפיע על רמת הוודאות שלנו.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את ההבדל בין הסתברות תאורטית להסתברות ניסויית, ומתי משתמשים בכל אחת. הטבלה הזו מסייעת לבחור גישה מתאימה לכל בעיה.

תרגול עצמי

תרגלו לחשב הסתברות ניסויית מטבלאות נתונים. שאלו את עצמכם בכל שאלה: 'האם מספר הניסויים מספיק כדי לסמוך על התוצאה?'

חישוב ניסויי

בסיסי

בניסוי התקבלו $37$ הצלחות מתוך $100$. מה ההסתברות הניסויית?

$$\frac{37}{100}$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

צפי הצלחות

בינוני

אם הסתברות תאורטית היא $0.2$ ומבצעים $150$ ניסויים, לכמה הצלחות מצפים בערך?

$$0.2\cdot 150$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

צפי מתוך הסתברות ניסויית

מאתגר

בניסוי התקבלו $18$ הצלחות מתוך $60$. אם מבצעים $200$ ניסויים דומים, מה צפי מספר ההצלחות?

$$\frac{18}{60}\cdot 200$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

שאלות חשיבה

הסתברות ניסויית בחיים

הסתברות ניסויית מתבססת על נתונים שנאספו בניסוי. היא לא מניחה סימטריה. ככל שמספר הניסויים גדול יותר, ההסתברות הניסויית מתקרבת להסתברות התיאורטית - חוק המספרים הגדולים.

מאפיינים

נוסחה

$P_{exp}=\frac{f}{n}$, שכיחות יחסית.

חוק המספרים הגדולים

$P_{exp}\to P_{theoretical}$ ככל ש-$n\to \infty$.

הבדל מתיאורטי

תיאורטית מבוסס סימטריה. ניסויית מבוסס נתונים.

שימושים

כשאין סימטריה ברורה, או למבחן אם המודל נכון.

דוגמה: הסתברות מקובייה

דוגמה: הסתברות בלי סימטריה

מקרה קצה: מספר ניסויים קטן

מה אם הניסוי מוטל פעמיים בלבד? שני הראשים נותנים הסתברות ניסויית של $1$, אבל זה לא ההסתברות האמיתית. צריך הרבה ניסויים לאומדן טוב.

טעויות נפוצות