גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

אחוז הוא יחס מתוך מאה, ולכן הוא תמיד צריך שלם שאליו הוא מתייחס. במודול הזה נתרגל מעבר בין אחוז, שבר ועשרוני ונלמד למה אותו אחוז יכול להיות כמויות שונות לגמרי.

לזהות את השלם: לפני כל חישוב נשאל מתוך מה האחוז נלקח, כי האחוז לבדו אינו מספר את כל הסיפור.
להמיר בין ייצוגים: נעבור בין אחוז, שבר ועשרוני כדי לבחור את הייצוג הנוח ביותר לחישוב.
לבדוק סבירות: נזהה מתי אחוז קטן מ-100%, שווה ל-100% או גדול ממנו, ומה זה אומר על הכמות.

מפת דרך לפתרון

כל פעם שרואים אחוז, כדאי לעצור ולשאול שלוש שאלות: מי השלם, איזה חלק מתואר, ולכמה ממאה הוא שקול. שלושת השלבים הבאים מסדרים בדיוק את החשיבה הזו.

שלוש החלטות שעושות סדר

אחוז לשבר

כותבים את המספר מעל $100$ .
מצמצמים רק אם זה עוזר לראות את הגודל.
שואלים אם התוצאה קטנה או גדולה מ-1.

אחוז לעשרוני

מחלקים ב- $100$ .
$6%$ הוא $0.06$ , לא $0.6$ .
בודקים אם האפסים נשמרו במקום הנכון.

משמעות

אחוז מתאר יחס.
כמות אמיתית תלויה בשלם.
לכן תמיד מציינים מתוך מה מחשבים.

הבנה מרכזית

אחוז הוא דרך נוחה לתאר חלק מתוך מאה. לפני שנחשב משהו, ננסה להרגיש מה המספר הזה אומר ולמה דווקא 100 הוא הבסיס שמולו משווים.

אחוז הוא יחס מתוך מאה

אחוז אומר כמה חלקים מתוך 100 חלקים שווים של אותו שלם. לכן $35%$ פירושו $35$ מאיות.

p % = \frac{p}{100}

כשמתחילים מאחוז, עוברים לשבר או לעשרוני לפי הצורך ורק אז מחשבים.

כתיבת אחוז כשבר

p % = \frac{p}{100}

אותו מספר בשלושה ייצוגים

אחוז	שבר	עשרוני
$25%$	$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$	$0.25$
$8%$	$\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$	$0.08$
$125%$	$\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$	$1.25$

הטבלה מראה שאחוז גדול מ-100% הוא מספר גדול מ-1.

דוגמה פתורה

בדוגמה הבאה נתרגם משפט יומיומי על אחוז למשפט על שבר מתוך 100. שימו לב איך כל שלב חושף את היחס שמסתתר מאחורי המילה אחוז.

מעבר מ- $35%$ לשבר ולעשרוני

כתבואת m 35% / m כשברמצומצםוכמספרעשרוני.

מתחילים מהמשמעות של אחוז: חלקים מתוך מאה.
$35% = \frac{35}{100}$
מצמצמים ב-5 כדי לקבל שבר נוח יותר.
$\frac{35}{100} = \frac{7}{20}$
כשבר עשרוני, 35 מאיות הן 0.35.
$35% = 0.35$

תשובה:

\frac{7}{20} = 0.35

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת נחליף את ההקשר ואת המספרים, אבל נשמור על אותו עיקרון: אחוז הוא תמיד יחס לכל מאה. תראו איך הניסוח משתנה והרעיון נשאר זהה.

אותו אחוז, שני שלמים

m 20% / m מתוך m 50 / m לעומת m 20% / m מתוך m 300 / m .מהמשתנה ?

כותבים את האחוז כעשרוני כדי להפוך אותו למקדם כפל.
$20% = 0.2$
מחשבים מתוך השלם הראשון.
$0.2 \cdot 50 = 10$
מחשבים מתוך השלם השני ורואים שהיחס נשאר, אבל הכמות השתנתה.
$0.2 \cdot 300 = 60$

תשובה:

10 ו- 60

עוד ייצוגים ודוגמאות

אותו אחוז יכול להיראות כמו שבר, כמו עשרוני, כמו פיסת עוגה צבועה או כמו אזור על סרגל מ-0 עד 100. הדוגמאות הבאות מראות שמדובר באותו יחס בלבושים שונים.

דוגמאות קצרות

$1%$

$\frac{1}{100} = 0.01$ . זהו חלק קטן מאוד של השלם.

$50%$

$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ . זה חצי מהשלם.

$120%$

$\frac{120}{100} = 1.2$ . זה גדול מהשלם המקורי.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הנפוצה ביותר עם אחוזים היא לבלבל בין החלק לבין השלם, או לשכוח שהבסיס הוא מאה. ננתח איך הטעות הזו נראית ואיזו בדיקה זריזה חושפת אותה.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחשוב שאחוז תמיד חייב להיות קטן מ-100%.

החשיבה הנכונה

אחוז יכול להיות גדול מ-100% כאשר הכמות גדולה מהשלם המקורי.

בדיקת סבירות

שאלו אם הכמות יכולה להיות גדולה מהבסיס. אם כן, אחוז גדול מ-100% הגיוני.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני שמסיימים, כדאי לעצור רגע ולוודא שזיהינו נכון מי השלם ומי החלק. הטבלה הקצרה הבאה מסכמת את ההבחנות שכדאי לבדוק כל פעם שמופיעה המילה אחוז.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם יש שלם?	מסמנים את הבסיס של האחוז	בלי בסיס אי אפשר לפרש את הכמות
האם האחוז מעל 100?	משווים את העשרוני ל- $1$	כך יודעים אם הכמות גדולה מהשלם
האם ההמרה הגיונית?	בודקים $50% = 0.5$ כנקודת ייחוס	נקודת ייחוס תופסת הזזת נקודה שגויה

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

כעת ננסה לזהות בעצמכם מה האחוז מתאר ומול איזה שלם הוא נמדד. נסו קודם לבד, ורק אם נתקעים פותחים את הרמזים.

תרגיל

עשרוני לאחוז

המירו $0.08$ לאחוז.

0.08

תרגיל

אחוז גדול מ-100

כתבו את $125%$ כמספר עשרוני והסבירו את המשמעות.

125%

תרגיל

להבדיל בין עשרוניים דומים

סדרו מהקטן לגדול: $0.006$ , $0.06$ , $6%$ . הסבירו.

0.006, 0.06, 6%

שאלות חשיבה

האם $20%$ הוא תמיד אותה כמות?

למה כדאי להמיר אחוז לשבר או לעשרוני לפני חישוב?

אחוזים בחיי היומיום

אחוזים אינם רק נושא בכיתה. הם מופיעים בשלטי הנחות, באחוזי הצבעה בבחירות, באחוזי ההצלחה במבחנים וגם בתחזית מזג האוויר. בכל מקום שבו רוצים להשוות חלק לשלם בצורה אחידה, האחוז הוא הכלי הנפוץ ביותר.

אותו רעיון, הקשרים שונים

הנחה בחנות

שלט שכתוב עליו $30%$ הנחה אומר שמכל $100$ ש"ח של מחיר מקורי, הלקוח חוסך $30$ ש"ח. זהו אותו $\frac{30}{100}$ שלמדנו.

אחוז הצבעה

אם בכיתה של $30$ תלמידים הצביעו $24$ , אחוז ההצבעה הוא $\frac{24}{30} = 80%$ .

תחזית גשם

$40%$ סיכוי לגשם פירושו שמתוך $100$ ימים דומים, ב- $40$ מהם בדרך כלל ירד גשם.

ארבע אסטרטגיות לעבודה עם אחוזים

המרה לעשרוני

מחלקים את האחוז ב- $100$ ומקבלים מקדם כפל נוח. $45% = 0.45$ .

המרה לשבר

כותבים את האחוז כשבר עם מכנה $100$ ומצמצמים. $25% = \frac{1}{4}$ .

השוואה ל- $50%$

אם האחוז קרוב ל- $50%$ , התוצאה קרובה לחצי השלם. נקודת ייחוס מהירה לבדיקת סבירות.

השוואה ל- $100%$

מתחת ל- $100%$ התוצאה קטנה מהשלם, מעליו גדולה ממנו, ובדיוק עליו שווה לו.

דוגמה פתורה: אחוז הצבעה

ניקח שאלה אמיתית מהחיים: בכיתה ח1 השתתפו

24

מתוך

30

תלמידים בהצבעה. נחשב את אחוז ההשתתפות ונשווה אותו לכיתה ח2 שבה השתתפו

21

מתוך

28

השוואת אחוזי השתתפות בין שתי כיתות

ח1 : m 24 / m מתוך m 30 / m .ח2 : m 21 / m מתוך m 28 / m .באיזוכיתהאחוזההשתתפותגבוהיותר ?

מחשבים את שכיחות ההצבעה בכיתה ח1 כשבר.
$\frac{24}{30}$
מחשבים את האחוז של כיתה ח1.
$\frac{24}{30} \cdot 100% = 80%$
מחשבים גם את האחוז של כיתה ח2.
$\frac{21}{28} \cdot 100% = 75%$
משווים בין שני האחוזים.
$80% > 75%$

תשובה:

כיתה ח1 עם 80%

מקרה קצה: אחוז קטן מאוד

לפעמים האחוז קטן מ-

1%

. זה נפוץ במחקרים רפואיים, בספורט וגם בתופעות מזג אוויר נדירות. נראה איך מטפלים בכך.

$0.5%$ - האם זה אפשרי?

במחקרהשתתפו m 2000 / m אנשים. m 10 / m מהםדיווחועלתופעה.מהאחוזהמדווחים ?

כותבים את היחס כשבר.
$\frac{10}{2000}$
מצמצמים כדי לראות את הגודל בבירור.
$\frac{10}{2000} = \frac{1}{200}$
ממירים לעשרוני.
$\frac{1}{200} = 0.005$
כופלים ב- $100$ כדי לקבל את האחוז.
$0.005 \cdot 100% = 0.5%$

תשובה:

0.5%

טעויות נפוצות נוספות

בנוסף לטעות שכבר ראינו, יש שתי טעויות שכיחות במיוחד באחוזים. נראה כל אחת מהן ונציע בדיקה שמונעת אותה.

מזיזים נקודה בכיוון השגוי

הטעות

להמיר $6%$ ל- $0.6$ (הזזה במקום אחד) במקום ל- $0.06$ .

החשיבה הנכונה

אחוז הוא $\frac{p}{100}$ , ולכן ההזזה היא בשני מקומות שמאלה.

בדיקת סבירות

$6%$ הוא חלק קטן מהשלם. אם $0.6$ מתקבל, צריך לבדוק כי זה כבר $60%$ .

שוכחים את השלם

הטעות

לראות שמסעדה גובה $10%$ שירות ולחשוב ש- $10%$ הם תמיד $10$ ש"ח.

החשיבה הנכונה

$10%$ הם תמיד יחס. הסכום המוחלט תלוי במחיר הארוחה. $10%$ מ- $50$ ש"ח הם $5$ ש"ח, מ- $200$ ש"ח הם $20$ ש"ח.

בדיקת סבירות

תמיד שואלים: $10%$ מתוך מה? המקדם $0.1$ מתפעל על השלם.

שאלות בדיקת הבנה

מה ההבדל בין $5%$ מ- $200$ ובין $5%$ מ- $5$ ?

האם $0%$ זה מספר אחוז חוקי? ומה משמעותו?

אם החלק שווה לשלם, מה האחוז?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזה שבר שווה ל- $18%$ ?

$\frac{18}{100}$
$\frac{100}{18}$
$\frac{18}{10}$
$18$

2.מהו $0.42$ באחוזים?

$4.2%$
$42%$
$420%$
$\frac{42}{10} %$

3.מה נכון לגבי $140%$ ?

הוא שווה ל- $1.4$
הוא בלתי אפשרי
הוא תמיד קטן מהשלם
הוא שווה ל- $0.14$

4.איזו שאלה חובה לשאול כשקוראים אחוז?

מתוך איזה שלם?
איזה צבע יש לגרף?
האם יש חיבור?
האם המספר עגול?

5.איזה ייצוג אינו שקול ל- $25%$ ?

$\frac{1}{4}$
$0.25$
$\frac{25}{100}$
$2.5$

6.למה $5%$ קטן מ- $0.5$ ?

כי $5% = 0.05$
כי אחוזים תמיד שליליים
כי $0.5 = 5%$
כי אין קשר בין השניים

7.איזה משפט מתאר נכון את $75%$ ?

$75$ מאיות
$75$ שלמים
$7.5$ מאיות
מספר שאי אפשר להפוך לשבר

8.מה חייבים לדעת כדי למצוא כמות לפי אחוז?

את השלם שאליו האחוז מתייחס
רק את צבע הדיאגרמה
רק אם האחוז זוגי
רק את מספר התלמידים בכיתה

9.איזה ערך שווה ל- $0.006$ באחוזים?

$0.6%$
$6%$
$60%$
$0.06%$

10.מדוע $125%$ אפשרי?

כי הוא מתאר כמות הגדולה מהשלם
כי אחוזים אינם קשורים לשלם
כי הוא תמיד שווה ל- $0.125$
כי כל אחוז חייב להיות קטן מ- $100$

11.באיזה ייצוג $\frac{3}{4}$ זהה?

$75%$
$34%$
$43%$
$7.5%$

12.בכיתה של $40$ תלמידים, $10%$ ביקרו במוזיאון. כמה תלמידים אלו?

$4$
$10$
$40$
$14$

13.מהו $0.4%$ בעשרוני?

$0.004$
$0.04$
$0.4$
$4$

14.איזה מהבאים לא שווה ל- $\frac{1}{2}$ ?

$5%$
$50%$
$0.5$
$\frac{50}{100}$

מה נלמד כאן

מפת דרך לפתרון

שלוש החלטות שעושות סדר

אחוז לשבר

אחוז לעשרוני

משמעות

הבנה מרכזית

אחוז הוא יחס מתוך מאה

אותו מספר בשלושה ייצוגים

דוגמה פתורה

מעבר מ-35% לשבר ולעשרוני

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

אותו אחוז, שני שלמים

עוד ייצוגים ודוגמאות

דוגמאות קצרות

1%

50%

120%

טעות נפוצה ובדיקה

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

בדיקת עומק לפני תרגול

בדיקות שמונעות טעויות

תרגול עצמי

עשרוני לאחוז

אחוז גדול מ-100

להבדיל בין עשרוניים דומים

שאלות חשיבה

אחוזים בחיי היומיום

אותו רעיון, הקשרים שונים

הנחה בחנות

אחוז הצבעה

תחזית גשם

ארבע אסטרטגיות לעבודה עם אחוזים

המרה לעשרוני

המרה לשבר

השוואה ל-50%

השוואה ל-100%

דוגמה פתורה: אחוז הצבעה

השוואת אחוזי השתתפות בין שתי כיתות

מקרה קצה: אחוז קטן מאוד

0.5% - האם זה אפשרי?

טעויות נפוצות נוספות

מזיזים נקודה בכיוון השגוי

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שוכחים את השלם

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שאלות בדיקת הבנה

מעבר מ- $35%$ לשבר ולעשרוני

$1%$

$50%$

$120%$

השוואה ל- $50%$

השוואה ל- $100%$

$0.5%$ - האם זה אפשרי?