מהו אחוז

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

אחוז הוא יחס מתוך מאה, ולכן הוא תמיד צריך שלם שאליו הוא מתייחס. במודול הזה נתרגל מעבר בין אחוז, שבר ועשרוני ונלמד למה אותו אחוז יכול להיות כמויות שונות לגמרי.

לזהות את השלם

לפני כל חישוב נשאל מתוך מה האחוז נלקח, כי האחוז לבדו אינו מספר את כל הסיפור.

להמיר בין ייצוגים

נעבור בין אחוז, שבר ועשרוני כדי לבחור את הייצוג הנוח ביותר לחישוב.

לבדוק סבירות

נזהה מתי אחוז קטן מ-100%, שווה ל-100% או גדול ממנו, ומה זה אומר על הכמות.

מפת דרך לפתרון

כל פעם שרואים אחוז, כדאי לעצור ולשאול שלוש שאלות: מי השלם, איזה חלק מתואר, ולכמה ממאה הוא שקול. שלושת השלבים הבאים מסדרים בדיוק את החשיבה הזו.

שלוש החלטות שעושות סדר

אחוז לשבר

כותבים את המספר מעל $100$ .

מצמצמים רק אם זה עוזר לראות את הגודל.

שואלים אם התוצאה קטנה או גדולה מ-1.

אחוז לעשרוני

מחלקים ב- $100$ .

$6%$ הוא $0.06$ , לא $0.6$ .

בודקים אם האפסים נשמרו במקום הנכון.

משמעות

אחוז מתאר יחס.

כמות אמיתית תלויה בשלם.

לכן תמיד מציינים מתוך מה מחשבים.

הבנה מרכזית

אחוז הוא דרך נוחה לתאר חלק מתוך מאה. לפני שנחשב משהו, ננסה להרגיש מה המספר הזה אומר ולמה דווקא 100 הוא הבסיס שמולו משווים.

$math/003-pie chart$ אחוז הוא יחס מתוך מאה

אחוז אומר כמה חלקים מתוך 100 חלקים שווים של אותו שלם. לכן $35%$ פירושו $35$ מאיות.

השלם הוא חלק מהמשמעות. $20%$ מתוך 50 שונה מ- $20%$ מתוך 300, אף על פי שהאחוז זהה.

$p % = \frac{p}{100}$

כשמתחילים מאחוז, עוברים לשבר או לעשרוני לפי הצורך ורק אז מחשבים.

טוען סימולציה...

כתיבת אחוז כשבר

p % = \frac{p}{100}

אותו מספר בשלושה ייצוגים

אחוז	שבר	עשרוני
$25%$	$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$	$0.25$
$8%$	$\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$	$0.08$
$125%$	$\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$	$1.25$

* הטבלה מראה שאחוז גדול מ-100% הוא מספר גדול מ-1.

דוגמה פתורה

בדוגמה הבאה נתרגם משפט יומיומי על אחוז למשפט על שבר מתוך 100. שימו לב איך כל שלב חושף את היחס שמסתתר מאחורי המילה אחוז.

$math/025-numbers$ מעבר מ- $35%$ לשבר ולעשרוני

שלב 1 מתוך 3

כתבו את

35%

כשבר מצומצם וכמספר עשרוני.

איזה שבר מתאים ל- $35%$ לפני צמצום?

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת נחליף את ההקשר ואת המספרים, אבל נשמור על אותו עיקרון: אחוז הוא תמיד יחס לכל מאה. תראו איך הניסוח משתנה והרעיון נשאר זהה.

אותו אחוז, שני שלמים

שלב 1 מתוך 3

20%

מתוך

50

לעומת

20%

מתוך

300

. מה משתנה?

איזה עשרוני מתאים ל- $20%$ ?

עוד ייצוגים ודוגמאות

אותו אחוז יכול להיראות כמו שבר, כמו עשרוני, כמו פיסת עוגה צבועה או כמו אזור על סרגל מ-0 עד 100. הדוגמאות הבאות מראות שמדובר באותו יחס בלבושים שונים.

דוגמאות קצרות

$1%$

$\frac{1}{100} = 0.01$ . זהו חלק קטן מאוד של השלם.

$50%$

$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ . זה חצי מהשלם.

$120%$

$\frac{120}{100} = 1.2$ . זה גדול מהשלם המקורי.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הנפוצה ביותר עם אחוזים היא לבלבל בין החלק לבין השלם, או לשכוח שהבסיס הוא מאה. ננתח איך הטעות הזו נראית ואיזו בדיקה זריזה חושפת אותה.

לאן נופלים ואיך מתקנים

$math/030-equation$ הטעות

לחשוב שאחוז תמיד חייב להיות קטן מ-100%.

החשיבה הנכונה

אחוז יכול להיות גדול מ-100% כאשר הכמות גדולה מהשלם המקורי.

$math/049-venn diagram$ בדיקת סבירות

שאלו אם הכמות יכולה להיות גדולה מהבסיס. אם כן, אחוז גדול מ-100% הגיוני.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני שמסיימים, כדאי לעצור רגע ולוודא שזיהינו נכון מי השלם ומי החלק. הטבלה הקצרה הבאה מסכמת את ההבחנות שכדאי לבדוק כל פעם שמופיעה המילה אחוז.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם יש שלם?	מסמנים את הבסיס של האחוז	בלי בסיס אי אפשר לפרש את הכמות
האם האחוז מעל 100?	משווים את העשרוני ל- $1$	כך יודעים אם הכמות גדולה מהשלם
האם ההמרה הגיונית?	בודקים $50% = 0.5$ כנקודת ייחוס	נקודת ייחוס תופסת הזזת נקודה שגויה

* הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

כעת ננסה לזהות בעצמכם מה האחוז מתאר ומול איזה שלם הוא נמדד. נסו קודם לבד, ורק אם נתקעים פותחים את הרמזים.

עשרוני לאחוז

בסיסי

המירו $0.08$ לאחוז.

0.08

אחוז גדול מ-100

בינוני

כתבו את $125%$ כמספר עשרוני והסבירו את המשמעות.

125%

להבדיל בין עשרוניים דומים

מאתגר

סדרו מהקטן לגדול: $0.006$ , $0.06$ , $6%$ . הסבירו.

0.006, 0.06, 6%

שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

האם $20%$ הוא תמיד אותה כמות?

לא. האחוז הוא אותו יחס, אבל הכמות תלויה בשלם. $20%$ מתוך 50 הם 10, ואילו $20%$ מתוך 300 הם 60.

שאלה לחשיבה

למה כדאי להמיר אחוז לשבר או לעשרוני לפני חישוב?

המרה הופכת את האחוז למספר שאפשר להציב בפעולת כפל, חילוק או השוואה. כך רואים גם אם התשובה אמורה להיות קטנה או גדולה מהשלם.

לפני החידון

לפני שעוברים הלאה, נסו לנסח במילים שלכם מה זה אחוז ולמה הבסיס הוא תמיד 100. אם ההסבר זורם, סימן שהמושג מוכן לשימוש.

זהו מהו השלם או הבסיס.
בחרו נוסחה או ייצוג.
בדקו שהתוצאה סבירה בהקשר.

אחוזים בחיי היומיום

אחוזים אינם רק נושא בכיתה. הם מופיעים בשלטי הנחות, באחוזי הצבעה בבחירות, באחוזי ההצלחה במבחנים וגם בתחזית מזג האוויר. בכל מקום שבו רוצים להשוות חלק לשלם בצורה אחידה, האחוז הוא הכלי הנפוץ ביותר.

אותו רעיון, הקשרים שונים

הנחה בחנות

שלט שכתוב עליו $30%$ הנחה אומר שמכל $100$ ש"ח של מחיר מקורי, הלקוח חוסך $30$ ש"ח. זהו אותו $\frac{30}{100}$ שלמדנו.

אחוז הצבעה

אם בכיתה של $30$ תלמידים הצביעו $24$ , אחוז ההצבעה הוא $\frac{24}{30} = 80%$ .

תחזית גשם

$40%$ סיכוי לגשם פירושו שמתוך $100$ ימים דומים, ב- $40$ מהם בדרך כלל ירד גשם.

ארבע אסטרטגיות לעבודה עם אחוזים

המרה לעשרוני

מחלקים את האחוז ב- $100$ ומקבלים מקדם כפל נוח. $45% = 0.45$ .

המרה לשבר

כותבים את האחוז כשבר עם מכנה $100$ ומצמצמים. $25% = \frac{1}{4}$ .

השוואה ל- $50%$

אם האחוז קרוב ל- $50%$ , התוצאה קרובה לחצי השלם. נקודת ייחוס מהירה לבדיקת סבירות.

השוואה ל- $100%$

מתחת ל- $100%$ התוצאה קטנה מהשלם, מעליו גדולה ממנו, ובדיוק עליו שווה לו.

דוגמה פתורה: אחוז הצבעה

ניקח שאלה אמיתית מהחיים: בכיתה ח1 השתתפו $24$ מתוך $30$ תלמידים בהצבעה. נחשב את אחוז ההשתתפות ונשווה אותו לכיתה ח2 שבה השתתפו $21$ מתוך $28$ .

השוואת אחוזי השתתפות בין שתי כיתות

שלב 1 מתוך 4

ח1:

24

מתוך

30

. ח2:

21

מתוך

28

. באיזו כיתה אחוז ההשתתפות גבוה יותר?

איך נהפוך את $\frac{24}{30}$ לאחוז?

מקרה קצה: אחוז קטן מאוד

לפעמים האחוז קטן מ- $1%$ . זה נפוץ במחקרים רפואיים, בספורט וגם בתופעות מזג אוויר נדירות. נראה איך מטפלים בכך.

$math/026-reason$ $0.5%$ - האם זה אפשרי?

שלב 1 מתוך 4

במחקר השתתפו

2000

אנשים.

10

מהם דיווחו על תופעה. מה אחוז המדווחים?

כותבים את היחס כשבר.

\frac{10}{2000}

טעויות נפוצות נוספות

בנוסף לטעות שכבר ראינו, יש שתי טעויות שכיחות במיוחד באחוזים. נראה כל אחת מהן ונציע בדיקה שמונעת אותה.

מזיזים נקודה בכיוון השגוי

הטעות

להמיר $6%$ ל- $0.6$ (הזזה במקום אחד) במקום ל- $0.06$ .

החשיבה הנכונה

אחוז הוא $\frac{p}{100}$ , ולכן ההזזה היא בשני מקומות שמאלה.

בדיקת סבירות

$6%$ הוא חלק קטן מהשלם. אם $0.6$ מתקבל, צריך לבדוק כי זה כבר $60%$ .

שוכחים את השלם

הטעות

לראות שמסעדה גובה $10%$ שירות ולחשוב ש- $10%$ הם תמיד $10$ ש"ח.

החשיבה הנכונה

$10%$ הם תמיד יחס. הסכום המוחלט תלוי במחיר הארוחה. $10%$ מ- $50$ ש"ח הם $5$ ש"ח, מ- $200$ ש"ח הם $20$ ש"ח.

בדיקת סבירות

תמיד שואלים: $10%$ מתוך מה? המקדם $0.1$ מתפעל על השלם.

שלוש בדיקות שמצילות תשובה

טעויות באחוזים הן בדרך כלל טעויות בכיוון של נקודה עשרונית או בזיהוי השלם. שלוש הבדיקות הבאות תופסות את רוב הטעויות.

בדקו ש- $50%$ מאותו שלם נותן בערך חצי. אם לא, יש טעות במקדם.
בדקו שהתוצאה ביחידות נכונות (ש"ח, אנשים, ק"מ).
אם האחוז קטן מ- $1%$ , התוצאה תהיה הרבה יותר קטנה מהשלם.

שאלות בדיקת הבנה

שאלה לחשיבה

מה ההבדל בין $5%$ מ- $200$ ובין $5%$ מ- $5$ ?

האחוז זהה ( $5%$ ), אבל השלם שונה. $5%$ מ- $200$ הם $10$ , ו- $5%$ מ- $5$ הם $0.25$ . אותו יחס יוצר כמויות שונות מאוד.

שאלה לחשיבה

האם $0%$ זה מספר אחוז חוקי? ומה משמעותו?

כן, $0%$ פירושו $0$ מתוך $100$ , כלומר אפס מהשלם. זה תקף מתמטית אבל בדרך כלל מיותר לכתוב כי הכמות היא פשוט $0$ .

שאלה לחשיבה

אם החלק שווה לשלם, מה האחוז?

החלק חלקי השלם שווה ל- $1$ , וזה $100%$ . למשל אם $30$ מתוך $30$ תלמידים נכחו, נוכחות של $100%$ .

$math/020-math book$ סיכום מהיר - מה חשוב לזכור

אחוז הוא חלק מתוך $100$ , ולכן תמיד צריך לדעת מתוך מה הוא נלקח. שלוש שפות זהות: אחוז, שבר ועשרוני. בחרו את הנוחה ביותר לחישוב.

$p % = \frac{p}{100}$ - הגדרת אחוז.
המרה לעשרוני: מחלקים ב- $100$ (הזזת שני מקומות).
אחוז יכול להיות קטן מ- $1%$ או גדול מ- $100%$ .
התוצאה תלויה בשלם, לא רק באחוז.
בדיקת סבירות: $50%$ זה חצי, $100%$ זה השלם, $10%$ זה עשירית.

שאלה 1 מתוך 14

איזה שבר שווה ל- $18%$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מהו אחוז כבר מוכן.

פתחו תרגול

מהו אחוז

מה נלמד כאן

מפת דרך לפתרון

שלוש החלטות שעושות סדר

אחוז לשבר

אחוז לעשרוני

משמעות

הבנה מרכזית

אחוז הוא יחס מתוך מאה

אותו מספר בשלושה ייצוגים

דוגמה פתורה

מעבר מ-35% לשבר ולעשרוני

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

אותו אחוז, שני שלמים

עוד ייצוגים ודוגמאות

דוגמאות קצרות

1%

50%

120%

טעות נפוצה ובדיקה

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

בדיקת עומק לפני תרגול

בדיקות שמונעות טעויות

תרגול עצמי

עשרוני לאחוז

אחוז גדול מ-100

להבדיל בין עשרוניים דומים

שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

לפני החידון

אחוזים בחיי היומיום

אותו רעיון, הקשרים שונים

הנחה בחנות

אחוז הצבעה

תחזית גשם

ארבע אסטרטגיות לעבודה עם אחוזים

המרה לעשרוני

המרה לשבר

השוואה ל-50%

השוואה ל-100%

דוגמה פתורה: אחוז הצבעה

השוואת אחוזי השתתפות בין שתי כיתות

מקרה קצה: אחוז קטן מאוד

0.5% - האם זה אפשרי?

טעויות נפוצות נוספות

מזיזים נקודה בכיוון השגוי

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שוכחים את השלם

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שלוש בדיקות שמצילות תשובה

שאלות בדיקת הבנה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

סיכום מהיר - מה חשוב לזכור

איזה שבר שווה ל-18%?

מהו אחוז

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/003-pie chart$ אחוז הוא יחס מתוך מאה

$math/025-numbers$ מעבר מ- $35%$ לשבר ולעשרוני

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

$1%$

$50%$

$120%$

$math/030-equation$ הטעות

$math/049-venn diagram$ בדיקת סבירות

השוואה ל- $50%$

השוואה ל- $100%$

$math/026-reason$ $0.5%$ - האם זה אפשרי?

$math/020-math book$ סיכום מהיר - מה חשוב לזכור

איזה שבר שווה ל- $18%$ ?