גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

טווח וערכי קיצון עוסקים בפיזור הנתונים. הטווח נותן מדד מהיר, אבל ערך קיצון יכול לשנות אותו מאוד ולכן צריך לפרש אותו בזהירות.

לחשב טווח: נחסר מינימום ממקסימום.
לזהות ערך קיצון: נבדוק אם ערך רחוק מתאים להקשר או שהוא שגיאת מדידה.
להבין השפעה על מדדים: נראה איך קיצון משפיע על ממוצע, חציון וטווח.

מפת דרך לפתרון

כדי לחשב טווח ולזהות חריגים צריך לסדר את הנתונים, להוציא את הקיצוניים ולבדוק אם הם באמת חורגים מן הקבוצה. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את התהליך.

שלוש החלטות שעושות סדר

טווח

$max - min$ .
מדד מהיר לפיזור.
מתבסס רק על שני ערכים.

ערך קיצון

רחוק מרוב הנתונים.
יכול להיות אמיתי או שגיאה.
צריך לבדוק הקשר.

השפעה

טווח משתנה מיד.
ממוצע מושפע מאוד.
חציון לעיתים יציב יותר.

הבנה מרכזית

טווח מודד עד כמה הנתונים מפוזרים, וערכים חריגים הם הנקודות שמרחיקות את הקצה. ננסה תחילה להבין מה הם אומרים על הקבוצה, ורק אחר כך נחשב.

פיזור מתחיל בקצוות

טווח הוא ההפרש בין הערך הגדול ביותר לערך הקטן ביותר. ערך קיצון הוא ערך רחוק מאוד מרוב הנתונים.

טווח = max - min

כשיש ערך קיצון, כדאי להשוות בין ממוצע לחציון ולשאול מי מייצג טוב יותר.

טווח נתונים

טווח = max - min

דוגמה פתורה

ניקח קבוצת נתונים, נחשב את הטווח ונשאל אם יש בה ערך חריג. שימו לב להבדל בין 'מספר רחוק' לבין 'ערך חריג שמשפיע על המסקנה'.

ערך קיצון משנה ממוצע

נתונים m 8, 9, 10, 11, 12, 40 / m .מצאוטווחוהסבירואתהשפעת m 40 / m .

מחשבים טווח.
$40 - 8 = 32$
הממוצע מושפע מהערך הגדול.
$\frac{8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 40}{6} = 15$
החציון נשאר קרוב לרוב הנתונים.
$\frac{10 + 11}{2} = 10.5$

תשובה:

טווח 32, החציון מייצג טוב יותר

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה דוגמה שבה החריג בולט מאוד. נראה איך הוא משפיע על הטווח ועל הממוצע, ולמה לפעמים נכון להוציא אותו מהחישוב.

אותה קבוצה עם ערך קיצון

לקבוצה m 6, 7, 8, 9, 10 / m מוסיפיםאת m 30 / m .איךמשתניםהטווחוהממוצע ?

הטווח המקורי הוא מקסימום פחות מינימום.
$10 - 6 = 4$
הטווח החדש משתמש במקסימום החדש.
$30 - 6 = 24$
הממוצע החדש נמשך כלפי מעלה.
$\frac{6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 30}{6} = \frac{70}{6} \approx 11.67$

תשובה:

הטווח עלה מ- 4 ל- 24 והממוצע לכ- 11.67

עוד ייצוגים ודוגמאות

מדידות גובה, זמני ריצה ושכר חודשי - כולם מדגימים איך ערך אחד מהקצה יכול לעוות תיאור של קבוצה. הדוגמאות הבאות מאמנות לזהות מתי מדובר באירוע חריג ומתי בנתון שכיח.

דוגמאות קצרות

טווח קטן

$14, 17, 19, 24$ : הטווח הוא $24 - 14 = 10$ .

קיצון יחיד

$10, 11, 12, 13, 100$ : הממוצע קופץ, החציון נשאר $12$ .

פרשנות

טווח גדול יכול להעיד על שונות גבוהה, אבל לא מספר איפה רוב הנתונים נמצאים.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא להוציא ערך חריג בלי לבדוק אם הוא באמת חריג, או להגדיר חריג סובייקטיבית. נראה איך ההחלטה הזו משפיעה דרמטית על המסקנה.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחשוב שהטווח מתאר את כל צורת הנתונים.

החשיבה הנכונה

הטווח מסתכל רק על המינימום והמקסימום.

בדיקת סבירות

שאלו מה קורה לערכים שבאמצע, ולא רק לקצוות.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה איזה מדד נפגע מערך חריג ואיזה לא. הטבלה הזו עוזרת להחליט מתי לדווח גם על המדד עם החריג וגם בלעדיו.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
מה המינימום והמקסימום?	מחשבים טווח	זה נותן תמונה ראשונית של פיזור
האם יש ערך חריג?	בודקים מרחק מהקבוצה	חריג יכול לשנות מדדים
האם החריג אמיתי?	בודקים הקשר ואיסוף נתונים	לא מוחקים נתון רק כי הוא לא נוח

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לזהות חריגים ולחשב טווחים. שאלו את עצמכם בכל שאלה: האם החריג שייך לקבוצה או שהוא טעות מדידה?

תרגיל

חישוב טווח

מצאו את הטווח של $14, 17, 19, 24$ .

24 - 14

תרגיל

השפעת קיצון

לנתונים $10, 11, 12, 13$ הוסיפו $100$ . מה קורה לממוצע?

\frac{10 + 11 + 12 + 13 + 100}{5}

תרגיל

להעריך השפעת קיצון

לנתונים $12, 13, 14, 15, 16$ מוסיפים $40$ . איזה מדד משתנה יותר: חציון או ממוצע? נמקו.

12, 13, 14, 15, 16, 40

שאלות חשיבה

למה טווח לבדו לא מספיק לתיאור קבוצת נתונים?

איך ערך קיצון משפיע על ממוצע לעומת חציון?

טווח וערכי קיצון בחיים

טווח הוא מדד לפיזור הנתונים: ההפרש בין המקסימום למינימום. ערכי קיצון הם נתונים חריגים שמשפיעים על הסיכום הכולל. הבנה שלהם חשובה כדי לפרש סטטיסטיקה נכון.

טווח וקיצון בחיים

ציונים

ציוני המבחן: $40, 60, 70, 80, 100$ . טווח $= 60$ .

טמפרטורה

טמפ' חודש: מינ' $10°$ , מקס' $30°$ . טווח $= 20°$ .

שכר

שכרים: רוב $5000 - 15000$ , מנהל $50000$ . $50000$ ערך קיצון.

מושגים מרכזיים

טווח

$max - min$ . מודד פיזור.

ערך קיצון

ערך רחוק משאר הקבוצה. בדרך כלל גורם לטווח גדול.

השפעה

ערכי קיצון מגדילים את הטווח ומטים את הממוצע.

עמידות

החציון יציב לערכי קיצון, הממוצע לא.

טווח

range = max - min

דוגמה: חישוב טווח

חישוב טווח של נתוני ציון

ציונים : m 65, 70, 80, 85, 90, 95 / m .מצאאתהטווח.

מקסימום.
$max = 95$
מינימום.
$min = 65$
הפרש.
$95 - 65 = 30$

תשובה:

30

דוגמה: זיהוי ערך קיצון

זיהוי ערך חריג

סדרה m 10, 12, 13, 15, 14, 100 / m .האםישערךקיצון ?

מסדרים.
$10, 12, 13, 14, 15, 100$
רוב הערכים בטווח $10 - 15$ .
$10 \leq x \leq 15$
הערך $100$ רחוק משאר הסדרה.
$100 ≫ 15$

תשובה:

100

מקרה קצה: סדרה אחידה

מצבי קצה

מצב	טווח	ערכי קיצון
כל הנתונים זהים	$0$	אין
שני נתונים בלבד	ההפרש ביניהם	כל אחד עשוי להיות חריג
רוב נתונים מרוכזים, אחד רחוק	גדול	הרחוק
נתונים בפיזור אחיד	תלוי בקצוות	אין בהכרח

טעויות נפוצות

טווח לא כל הנתונים

הטעות

להניח שטווח = ממוצע ההפרשים.

החשיבה הנכונה

טווח = רק ההפרש בין מקסימום למינימום.

בדיקה

$range = max - min$ . רק שני קצוות.

התעלמות מערך קיצון

הטעות

מציגים ממוצע גם בנוכחות ערך קיצון, ומשתמשים בו לקבלת החלטות.

החשיבה הנכונה

כשיש ערך קיצון, חציון מייצג טוב יותר. ממוצע מטעה.

בדיקה

האם יש ערך שונה משאר הסדרה? אם כן, חציון עדיף.