טווח וערכי קיצון

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

טווח וערכי קיצון עוסקים בפיזור הנתונים. הטווח נותן מדד מהיר, אבל ערך קיצון יכול לשנות אותו מאוד ולכן צריך לפרש אותו בזהירות.

לחשב טווח

נחסר מינימום ממקסימום.

לזהות ערך קיצון

נבדוק אם ערך רחוק מתאים להקשר או שהוא שגיאת מדידה.

להבין השפעה על מדדים

נראה איך קיצון משפיע על ממוצע, חציון וטווח.

מפת דרך לפתרון

כדי לחשב טווח ולזהות חריגים צריך לסדר את הנתונים, להוציא את הקיצוניים ולבדוק אם הם באמת חורגים מן הקבוצה. שלושת הצעדים הבאים מסכמים את התהליך.

שלוש החלטות שעושות סדר

טווח

$max - min$ .

מדד מהיר לפיזור.

מתבסס רק על שני ערכים.

ערך קיצון

רחוק מרוב הנתונים.

יכול להיות אמיתי או שגיאה.

צריך לבדוק הקשר.

השפעה

טווח משתנה מיד.

ממוצע מושפע מאוד.

חציון לעיתים יציב יותר.

הבנה מרכזית

טווח מודד עד כמה הנתונים מפוזרים, וערכים חריגים הם הנקודות שמרחיקות את הקצה. ננסה תחילה להבין מה הם אומרים על הקבוצה, ורק אחר כך נחשב.

פיזור מתחיל בקצוות

טווח הוא ההפרש בין הערך הגדול ביותר לערך הקטן ביותר. ערך קיצון הוא ערך רחוק מאוד מרוב הנתונים.

הטווח נותן מדד פיזור פשוט, אבל הוא מושפע רק משני הקצוות. לכן חשוב לשלב אותו עם מדדי מרכז.

$טווח = max - min$

כשיש ערך קיצון, כדאי להשוות בין ממוצע לחציון ולשאול מי מייצג טוב יותר.

טוען סימולציה...

טווח נתונים

טווח = max - min

דוגמה פתורה

ניקח קבוצת נתונים, נחשב את הטווח ונשאל אם יש בה ערך חריג. שימו לב להבדל בין 'מספר רחוק' לבין 'ערך חריג שמשפיע על המסקנה'.

ערך קיצון משנה ממוצע

שלב 1 מתוך 3

נתונים

8, 9, 10, 11, 12, 40

. מצאו טווח והסבירו את השפעת

40

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה דוגמה שבה החריג בולט מאוד. נראה איך הוא משפיע על הטווח ועל הממוצע, ולמה לפעמים נכון להוציא אותו מהחישוב.

אותה קבוצה עם ערך קיצון

שלב 1 מתוך 3

לקבוצה

6, 7, 8, 9, 10

מוסיפים את

30

. איך משתנים הטווח והממוצע?

מה הטווח המקורי?

עוד ייצוגים ודוגמאות

מדידות גובה, זמני ריצה ושכר חודשי - כולם מדגימים איך ערך אחד מהקצה יכול לעוות תיאור של קבוצה. הדוגמאות הבאות מאמנות לזהות מתי מדובר באירוע חריג ומתי בנתון שכיח.

דוגמאות קצרות

טווח קטן

$14, 17, 19, 24$ : הטווח הוא $24 - 14 = 10$ .

קיצון יחיד

$10, 11, 12, 13, 100$ : הממוצע קופץ, החציון נשאר $12$ .

פרשנות

טווח גדול יכול להעיד על שונות גבוהה, אבל לא מספר איפה רוב הנתונים נמצאים.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא להוציא ערך חריג בלי לבדוק אם הוא באמת חריג, או להגדיר חריג סובייקטיבית. נראה איך ההחלטה הזו משפיעה דרמטית על המסקנה.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחשוב שהטווח מתאר את כל צורת הנתונים.

החשיבה הנכונה

הטווח מסתכל רק על המינימום והמקסימום.

בדיקת סבירות

שאלו מה קורה לערכים שבאמצע, ולא רק לקצוות.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה איזה מדד נפגע מערך חריג ואיזה לא. הטבלה הזו עוזרת להחליט מתי לדווח גם על המדד עם החריג וגם בלעדיו.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
מה המינימום והמקסימום?	מחשבים טווח	זה נותן תמונה ראשונית של פיזור
האם יש ערך חריג?	בודקים מרחק מהקבוצה	חריג יכול לשנות מדדים
האם החריג אמיתי?	בודקים הקשר ואיסוף נתונים	לא מוחקים נתון רק כי הוא לא נוח

* הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

$math/030-equation$ תרגול עצמי

תרגלו לזהות חריגים ולחשב טווחים. שאלו את עצמכם בכל שאלה: האם החריג שייך לקבוצה או שהוא טעות מדידה?

חישוב טווח

בסיסי

מצאו את הטווח של $14, 17, 19, 24$ .

24 - 14

השפעת קיצון

בינוני

לנתונים $10, 11, 12, 13$ הוסיפו $100$ . מה קורה לממוצע?

\frac{10 + 11 + 12 + 13 + 100}{5}

להעריך השפעת קיצון

מאתגר

לנתונים $12, 13, 14, 15, 16$ מוסיפים $40$ . איזה מדד משתנה יותר: חציון או ממוצע? נמקו.

12, 13, 14, 15, 16, 40

$math/020-math book$ שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

למה טווח לבדו לא מספיק לתיאור קבוצת נתונים?

כי הטווח משתמש רק בערך הגדול ובערך הקטן. שתי קבוצות יכולות להיות בעלות אותו טווח, אבל אחת מרוכזת באמצע והשנייה מפוזרת מאוד.

שאלה לחשיבה

איך ערך קיצון משפיע על ממוצע לעומת חציון?

הממוצע משתמש בסכום ולכן ערך קיצון מושך אותו. החציון תלוי במיקום אחרי סידור ולכן בדרך כלל מושפע פחות.

לפני החידון

שאלו את עצמכם: למה החציון יציב יותר מהממוצע מול חריגים, ומה זה אומר עלינו כשאנחנו רוצים להוגן? מי שיודע לענות, יודע גם לבחור.

זהו מהו השלם או הבסיס.
בחרו נוסחה או ייצוג.
בדקו שהתוצאה סבירה בהקשר.