גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה מחבר את כל הפרק?

הפרק מחבר שלוש שפות מתמטיות: אחוזים לתיאור חלק מתוך שלם, סטטיסטיקה לארגון נתונים והסתברות לתיאור סיכוי. בכל אחת מהן צריך לזהות בסיס, לבחור ייצוג ולבדוק סבירות.

אחוזים

המרה בין אחוז, שבר ועשרוני, חישוב חלק, מציאת שלם ושינוי באחוזים.

מקדם כיפלי

שימוש במקדמים לחישוב ערך חדש ולשינויים עוקבים.

נתונים

איסוף נתונים, שכיחות יחסית, גרפים ומדדי מרכז ופיזור.

הסתברות

סולם הסתברות, מודל קלאסי, משלים, איחוד והסתברות ניסויית.

שלוש שאלות פתרון קבועות

מהו השלם?

באחוזים ובשכיחות יחסית, השלם קובע את המכנה ואת משמעות התוצאה.

מהו הייצוג?

בחרו נוסחה, טבלה, גרף או סולם הסתברות שמתאימים לשאלה.

האם זה סביר?

בדקו גבולות, יחידות, גודל ביחס לשלם והשפעת ערכי קיצון.

נוסחאות וקשרים שכדאי לזכור

נושא	קשר	שאלה ששואלים
ערך אחוז	$\frac{p}{100} \cdot W$	מהו החלק מתוך השלם?
אחוז שינוי	$\frac{חדש - ישן}{ישן} \cdot 100%$	השינוי הוא כמה ביחס להתחלה?
שכיחות יחסית	$r = \frac{f}{n}$	איזה חלק מכל הנתונים?
הסתברות	$0 \leq P (A) \leq 1$	האם הסיכוי נמצא בגבולות?

אותו רעיון של חלק מתוך שלם מופיע בכל הפרק.

מה הקשר בין אחוזים לבין שכיחות יחסית?

למה הסתברות ניסויית קשורה לסטטיסטיקה?

איך מחברים את כל הפרק

הפרק נראה כמו שלושה נושאים שונים, אבל כולם נשענים על אותו עיקרון: לזהות שלם, לספור חלק, ולבחור ייצוג שמאפשר להשוות בצורה הוגנת.

שאלת הניווט המרכזית

אחוזים

מהו השלם?
האם מחפשים חלק, שלם או שינוי?
האם מתאים מקדם כיפלי?

נתונים

מה נספר?
האם הקטגוריות תקינות?
איזה מדד או ייצוג עונה על השאלה?

הסתברות

מהו מרחב המדגם?
האם התוצאות שוות סיכוי?
האם משתמשים במשלים או בניסוי?

נוסחאות והחלטות מרכזיות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
חלק מתוך שלם	$\frac{p}{100} \cdot W$	משמש למציאת ערך האחוז
שינוי יחסי	$\frac{חדש - ישן}{ישן} \cdot 100%$	הבסיס הוא הערך הישן
שכיחות יחסית	$r = \frac{f}{n}$	מחברת נתונים לאחוזים ולהסתברות ניסויית
הסתברות קלאסית	$P (A) = \frac{רצויות}{אפשריות}$	דורשת תוצאות שוות סיכוי

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

משימות אינטגרטיביות

המשימות הבאות מחברות נושאים שונים מהפרק. בכל משימה זהו אילו רעיונות ממקומות שונים פוגשים זה את זה.

אחוזים פוגשים סטטיסטיקה

בכיתה m 40 / m תלמידים. m 25% / m בחרובמתמטיקהכמקצועמועדף.השכיחותהיחסיתשלכלאחתמהאופציותהאחרות (^{'} עברי ת^{'},^{'} מדעי ם^{'},^{'} אח ר^{'}) זהה.כמהתלמידיםבכלאופציהאחרת ?

מתמטיקה: $25%$ מ- $40$ .
$0.25 \cdot 40 = 10$
נשארים $40 - 10 = 30$ תלמידים על פני שלוש אופציות שוות.
$40 - 10 = 30$
כל אופציה.
$\frac{30}{3} = 10$

תשובה:

10

סטטיסטיקה פוגשת הסתברות

ניסויקוביההוטל m 120 / m פעמים.שכיחויות : m {1 : 18, 2 : 22, 3 : 19, 4 : 21, 5 : 20, 6 : 20} / m .מצאהסתברותניסוייתלזוגי, וקצרההסתברותהתיאורטית.

סכום זוגיים.
$22 + 21 + 20 = 63$
ניסויית.
$\frac{63}{120} = 0.525$
תיאורטית.
$\frac{3}{6} = 0.5$
ההפרש קטן ( $0.025$ ), מתאים לקובייה הוגנת.
$0.525 \approx 0.5$

תשובה:

P_{e x p} = 0.525, P_{t h eor y} = 0.5

אחוזים פוגשים הסתברות

תחזית : m 40% / m סיכוילגשםמחר.מהיההסתברות (כעשרוני) שלאירדגשם, ומההסיכויבשניימיםרצופיםשלאירדגשםבכלל ?

המרה לעשרוני.
$40% = 0.4$
משלים - לא גשם.
$1 - 0.4 = 0.6$
שני ימים רצופים ללא גשם (מאורעות בלתי תלויים).
$0.6 \cdot 0.6 = 0.36$

תשובה:

P (לא-גשם) = 0.6, P (שני ימים יבשים) = 0.36

טבלת קישורים בין נושאים

איך הנושאים מחוברים

מנושא א	אל נושא ב	הקשר
מציאת ערך אחוז	שכיחות יחסית	אותה נוסחה: חלק חלקי שלם, באחוז זה $p \cdot W$ או $\frac{f}{n}$
מקדם כיפלי	שינויים עוקבים	הכפלת מקדמים = רצף של פעולות
אחוז שינוי	צרכנות	השוואת מבצעים בעזרת מקדמים
שכיחות יחסית	הסתברות ניסויית	הן בעצם זהות מבחינה חישובית
מאורע משלים	אחוז שינוי	$P + P^{c} = 1$ דומה ל- $Δ + נשאר = 100%$
מדדי מרכז	טווח	ביחד נותנים תמונה מלאה של הנתונים
הסתברות קלאסית	הסתברות ניסויית	תיאורטית מבוססת סימטריה, ניסויית מבוססת נתונים, מתכנסות
ייצוג גרפי	כל הסטטיסטיקה	ויזואליזציה של מדדים והתפלגויות

הפרק נראה כמו שלושה נושאים נפרדים, אבל בעצם הם רשת אחת מקושרת.

טעויות נפוצות בכל הפרק

חמש טעויות מובילות

אחוזים מתחברים בשינויים עוקבים

$10%$ ועוד $20%$ זה לא $30%$ . מקדמים מוכפלים: $1.1 \cdot 1.2 = 1.32$ , כלומר $+ 32%$ .

חציון בלי לסדר

סדרה $10, 3, 5, 7, 8$ . החציון הוא $7$ (אחרי סידור), לא $5$ (אמצעי בסדר נתון).

בסיס שגוי באחוז שינוי

מ- $40$ ל- $50$ : $\frac{10}{40} = 25%$ , לא $\frac{10}{50} = 20%$ . הבסיס הישן.

ספירה כפולה באיחוד הסתברויות

אם המאורעות חופפים, נספרים פעם אחת. $P (זוגי או \leq 3)$ : ${1, 2, 3, 4, 6}$ , לא ${1, 2, 3, 2, 4, 6}$ .

ממוצע במקום חציון בקיצון

אם יש ערך קיצון, חציון מייצג טוב יותר את ה'נתון הטיפוסי'.

כל אחת מהטעויות האלה מבוססת על אינטואיציה שגויה. התרגול והבדיקה החוזרת מסירים אותה.

מילון מושגים מהיר

מושגים חיוניים

מושג	הגדרה	נוסחה
אחוז	חלק מתוך $100$	$p % = \frac{p}{100}$
מקדם כיפלי	מקדם הכפל לשינוי	$k = 1 \pm \frac{p}{100}$
אחוז שינוי	שינוי יחסי	$\frac{∣ new - old ∣}{old} \cdot 100%$
שכיחות יחסית	יחס שכיחות לסך	$r = \frac{f}{n}$
ממוצע	סכום חלקי כמות	$x ˉ = \frac{Σ x}{n}$
חציון	אמצע (לאחר סידור)	$x_{\frac{n + 1}{2}}$
שכיח	הערך השכיח ביותר	ערך עם שכיחות גבוהה
טווח	פיזור	$max - min$
הסתברות	סיכוי	$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣}$
מאורע משלים	השלילה	$P (A^{c}) = 1 - P (A)$

כשנתקלים בשאלה, התחילו בהגדרת המושג והבחירה בנוסחה המתאימה.

תרגיל סיכום מאתגר

תרגיל

תרגיל אינטגרטיבי

בכיתה ח1 ( $40$ תלמידים) ניתנו $3$ מבחנים. ציון ממוצע: $80$ . במבחן הראשון רק $25%$ מהתלמידים עברו. בשני $\frac{1}{2}$ עברו, ובשלישי כל מי שעבר את שני הקודמים עבר. כמה תלמידים עברו את שלושת המבחנים?

40 \to 3 מבחנים

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. לפני כל תשובה נסו לזהות אם השאלה עוסקת בשלם, בייצוג נתונים או בסיכוי.

חידון סיום

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1. $25%$ מתוך $240$ הם:

$60$
$25$
$96$
$6$

2.אם $15%$ הם $45$ , השלם הוא:

$300$
$60$
$6.75$
$150$

3.מחיר עלה מ- $80$ ל- $100$ . אחוז העלייה:

$25%$
$20%$
$80%$
$125%$

4.הנחה של $30%$ שקולה למקדם:

$0.7$
$1.3$
$0.3$
$30$

5.ירידה של $10%$ ואז עלייה של $10%$ מ- $500$ נותנות:

$495$
$500$
$505$
$490$

6. $12$ מתוך $48$ הם שכיחות יחסית:

$25%$
$12%$
$48%$
$60%$

7.כיצד מחשבים את ממוצע הנתונים $6, 8, 8, 10$ ?

$8$
$6$
$10$
$32$

8.מה החציון אחרי סידור הנתונים $3, 7, 8, 12, 20$ ?

$8$
$7$
$12$
$10$

9.כיצד מוצאים את טווח הנתונים $14, 17, 19, 24$ ?

$10$
$7$
$38$
$24$

10.זווית של $25%$ בדיאגרמת עוגה היא:

$9 0^{\circ}$
$2 5^{\circ}$
$18 0^{\circ}$
$4 5^{\circ}$

11.הסתברות חייבת להיות:

בין $0$ ל- $1$
גדולה מ- $1$
שלילית
מספר שלם

12.בקובייה, $P$ לקבל מספר זוגי:

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{6}$ בלבד ולא מצמצמים
$3$

13.אם $P (A) = 0.2$ , המשלים הוא:

$0.8$
$1.2$
$0.2$
$0$

14. $18$ הצלחות מתוך $40$ ניסויים נותנות:

$0.45$
$0.5$
$18%$
$40%$

15.איזו שאלה חוזרת בכל הפרק?

מהו השלם או הבסיס?
מהו הצבע?
איך מוחקים נתונים?
איזה סימן הכי יפה?

16.בשאלת מבצע יש גם אחוז הנחה וגם גודל חבילה. מה עושים קודם?

מגדירים בסיס השוואה משותף
בוחרים את האחוז הגדול ביותר
מתעלמים מהכמות
מחברים את כל המחירים

17.איזה קשר מחבר שכיחות יחסית והסתברות ניסויית?

שתיהן מחושבות כחלק מתוך סך הכל
שתיהן תמיד מספרים שלמים
שתיהן חייבות להיות מעל $1$
שתיהן אינן קשורות לנתונים

18.למה אחוז גדול מ- $100%$ יכול להיות תקין באחוזים אך לא כהסתברות?

כי הסתברות מוגבלת עד $1$
כי אחוזים אינם מספרים
כי הסתברות תמיד גדולה מ- $100%$
כי אין קשר בין שבר לעשרוני

19.נתון $18$ מתוך $60$ . איזה ייצוג מתאים גם לאחוז וגם לשכיחות יחסית?

$0.3 = 30%$
$18% = 60$
$60% = 18$
$3 = 300%$

20.באיזה מצב החציון עדיף בדרך כלל על הממוצע?

כאשר יש ערך קיצון
כאשר כל הערכים זהים
כאשר רוצים לספור קטגוריות בלבד
כאשר אין נתונים

21.מהו הצעד הראשון גם באחוז שינוי וגם בהסתברות קלאסית?

להגדיר את השלם או מרחב האפשרויות
לחבר את כל האחוזים
לבחור תשובה לפי גודל המספרים
למחוק ערכים חריגים

22.מחיר עלה ב- $20%$ ואז ירד ב- $20%$ . מה נכון?

לא בהכרח חוזרים למחיר המקורי
תמיד חוזרים למחיר המקורי
המחיר מוכפל ב- $2$
אי אפשר לחשב עם מקדמים

23.סכום השכיחויות בטבלה צריך להיות שווה ל:

מספר כל הנתונים
הממוצע
$100$ תמיד
הטווח

24.בדיאגרמת עוגה, מה חייב להיות נכון?

החלקים יחד מייצגים שלם אחד
כל קטגוריה יכולה לחפוף לכל אחרת
סכום האחוזים יכול להיות כל מספר
אין צורך בשכיחות יחסית

25.מה ההבדל בין הסתברות תאורטית לניסויית?

תאורטית נספרת ממודל, ניסויית מנתונים שנאספו
ניסויית תמיד שווה ל- $1$
תאורטית אינה משתמשת בשברים
אין ביניהן הבדל

26.אם $40%$ מכמות הם $28$ , מה השלם?

$70$
$11.2$
$40$
$68$

27.איזה ייצוג מתאים לנתוני גובה המחולקים לטווחים?

היסטוגרמה
דיאגרמת עוגה בלבד
רשימת שמות
מאורע משלים

28.בקובייה, מה ההסתברות לקבל לא זוגי?

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{2}{3}$
$3$

29.מהו מחיר ליחידה של $5$ יחידות ב- $42.5$ שקלים?

$8.5$
$5$
$42.5$
$47.5$

30.מהי בדיקת סבירות טובה אחרי חישוב אחוז?

להשוות את התוצאה לשלם ולגודל האחוז
לבדוק רק אם המספר זוגי
להוסיף $100$
להתעלם מהיחידות

31.מהו חציון של $2, 5, 7, 9, 12$ ?

$7$
$5$
$35$
$9$

32.טווח של $5, 8, 12, 3, 9$ ?

$9$
$5$
$12$
$37$

33. $P (A) = 0.7$ . $P (A^{c}) = ?$

$0.3$
$- 0.7$
$1.7$
$0.7$

34.בקובייה הוגנת, $P (זוגי) = ?$

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
$1$

35.ב- $40$ ניסויים, מאורע יצא $10$ פעמים. הסתברות ניסויית?

$0.25$
$0.4$
$0.1$
$10$

36. $25%$ בעוגה = כמה מעלות?

$90°$
$25°$
$45°$
$180°$

37.סכום של כל השכיחויות היחסיות בסקר תקין?

$1$
$100$
$0$
שונה לכל סקר

38.מקדם להנחה של $30%$ ?

$0.7$
$0.3$
$1.3$
$- 0.3$

39. $+ 10%$ ואז $- 10%$ . תוצאה כוללת?

ירידה של $1%$
אין שינוי
עלייה של $1%$
ירידה של $10%$

40.מבצע 'קנה 3 קבל 1 חינם' = הנחה אפקטיבית?

$25%$
$33%$
$50%$
$75%$

41.ב- $50$ נשאלים: $A = 20, B = 15, C = 10, D = ?$ . $D = ?$

$5$
$10$
$15$
$45$

42.ממוצע של $5$ ציונים הוא $80$ . $4$ מהם: $75, 85, 80, 90$ . החמישי?

$70$
$80$
$90$
$65$

43.מחיר עלה מ- $80$ ל- $100$ . אחוז עלייה?

$25%$
$20%$
$80%$
$100%$

44.ח1 ( $40) : 30$ עברו. ח2 ( $30) : 24$ עברו. אחוז עוברים גבוה?

ח2 - $80%$
ח1 - $75%$
שווים
ח1 כי יותר עברו

45.מטילים מטבע $3$ פעמים. $P (לפחות פעם אחת ראש)$ ?

$\frac{7}{8}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{8}$