סיכום פרק 5

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה מחבר את כל הפרק?

הפרק מחבר שלוש שפות מתמטיות: אחוזים לתיאור חלק מתוך שלם, סטטיסטיקה לארגון נתונים והסתברות לתיאור סיכוי. בכל אחת מהן צריך לזהות בסיס, לבחור ייצוג ולבדוק סבירות.

אחוזים

המרה בין אחוז, שבר ועשרוני, חישוב חלק, מציאת שלם ושינוי באחוזים.

מקדם כיפלי

שימוש במקדמים לחישוב ערך חדש ולשינויים עוקבים.

נתונים

איסוף נתונים, שכיחות יחסית, גרפים ומדדי מרכז ופיזור.

הסתברות

סולם הסתברות, מודל קלאסי, משלים, איחוד והסתברות ניסויית.

$math/027-notepad$ שלוש שאלות פתרון קבועות

מהו השלם?

באחוזים ובשכיחות יחסית, השלם קובע את המכנה ואת משמעות התוצאה.

מהו הייצוג?

בחרו נוסחה, טבלה, גרף או סולם הסתברות שמתאימים לשאלה.

האם זה סביר?

בדקו גבולות, יחידות, גודל ביחס לשלם והשפעת ערכי קיצון.

נוסחאות וקשרים שכדאי לזכור

נושא	קשר	שאלה ששואלים
ערך אחוז	$\frac{p}{100} \cdot W$	מהו החלק מתוך השלם?
אחוז שינוי	$\frac{חדש - ישן}{ישן} \cdot 100%$	השינוי הוא כמה ביחס להתחלה?
שכיחות יחסית	$r = \frac{f}{n}$	איזה חלק מכל הנתונים?
הסתברות	$0 \leq P (A) \leq 1$	האם הסיכוי נמצא בגבולות?

* אותו רעיון של חלק מתוך שלם מופיע בכל הפרק.

שאלה לחשיבה

מה הקשר בין אחוזים לבין שכיחות יחסית?

שכיחות יחסית היא חלק מתוך שלם, בדיוק כמו אחוז. אם $9$ מתוך $30$ תלמידים בחרו אפשרות, השכיחות היחסית היא $\frac{9}{30} = 0.3 = 30%$ .

שאלה לחשיבה

למה הסתברות ניסויית קשורה לסטטיסטיקה?

הסתברות ניסויית מחושבת מתוך נתונים שנאספו בניסוי. היא בעצם שכיחות יחסית של המאורע אחרי מספר חזרות.

איך מחברים את כל הפרק

הפרק נראה כמו שלושה נושאים שונים, אבל כולם נשענים על אותו עיקרון: לזהות שלם, לספור חלק, ולבחור ייצוג שמאפשר להשוות בצורה הוגנת.

שאלת הניווט המרכזית

$math/003-pie chart$

אחוזים

מהו השלם?

האם מחפשים חלק, שלם או שינוי?

האם מתאים מקדם כיפלי?

נתונים

מה נספר?

האם הקטגוריות תקינות?

איזה מדד או ייצוג עונה על השאלה?

הסתברות

מהו מרחב המדגם?

האם התוצאות שוות סיכוי?

האם משתמשים במשלים או בניסוי?

נוסחאות והחלטות מרכזיות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
חלק מתוך שלם	$\frac{p}{100} \cdot W$	משמש למציאת ערך האחוז
שינוי יחסי	$\frac{חדש - ישן}{ישן} \cdot 100%$	הבסיס הוא הערך הישן
שכיחות יחסית	$r = \frac{f}{n}$	מחברת נתונים לאחוזים ולהסתברות ניסויית
הסתברות קלאסית	$P (A) = \frac{רצויות}{אפשריות}$	דורשת תוצאות שוות סיכוי

* הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

משימות אינטגרטיביות

המשימות הבאות מחברות נושאים שונים מהפרק. בכל משימה זהו אילו רעיונות ממקומות שונים פוגשים זה את זה.

אחוזים פוגשים סטטיסטיקה

שלב 1 מתוך 3

בכיתה

40

תלמידים.

25%

בחרו במתמטיקה כמקצוע מועדף. השכיחות היחסית של כל אחת מהאופציות האחרות ('עברית', 'מדעים', 'אחר') זהה. כמה תלמידים בכל אופציה אחרת?

מתמטיקה: $25%$ מ- $40$ .

0.25 \cdot 40 = 10

סטטיסטיקה פוגשת הסתברות

שלב 1 מתוך 4

ניסוי קוביה הוטל

120

פעמים. שכיחויות:

{1 : 18, 2 : 22, 3 : 19, 4 : 21, 5 : 20, 6 : 20}

. מצא הסתברות ניסויית לזוגי, וקצר ההסתברות התיאורטית.

סכום זוגיים.

22 + 21 + 20 = 63

$math/025-numbers$ אחוזים פוגשים הסתברות

שלב 1 מתוך 3

תחזית:

40%

סיכוי לגשם מחר. מהי ההסתברות (כעשרוני) שלא ירד גשם, ומה הסיכוי בשני ימים רצופים שלא ירד גשם בכלל?

המרה לעשרוני.

40% = 0.4

טבלת קישורים בין נושאים

איך הנושאים מחוברים

מנושא א	אל נושא ב	הקשר
מציאת ערך אחוז	שכיחות יחסית	אותה נוסחה: חלק חלקי שלם, באחוז זה $p \cdot W$ או $\frac{f}{n}$
מקדם כיפלי	שינויים עוקבים	הכפלת מקדמים = רצף של פעולות
אחוז שינוי	צרכנות	השוואת מבצעים בעזרת מקדמים
שכיחות יחסית	הסתברות ניסויית	הן בעצם זהות מבחינה חישובית
מאורע משלים	אחוז שינוי	$P + P^{c} = 1$ דומה ל- $Δ + נשאר = 100%$
מדדי מרכז	טווח	ביחד נותנים תמונה מלאה של הנתונים
הסתברות קלאסית	הסתברות ניסויית	תיאורטית מבוססת סימטריה, ניסויית מבוססת נתונים, מתכנסות
ייצוג גרפי	כל הסטטיסטיקה	ויזואליזציה של מדדים והתפלגויות

* הפרק נראה כמו שלושה נושאים נפרדים, אבל בעצם הם רשת אחת מקושרת.

טעויות נפוצות בכל הפרק

חמש טעויות מובילות

אחוזים מתחברים בשינויים עוקבים

$10%$ ועוד $20%$ זה לא $30%$ . מקדמים מוכפלים: $1.1 \cdot 1.2 = 1.32$ , כלומר $+ 32%$ .

חציון בלי לסדר

סדרה $10, 3, 5, 7, 8$ . החציון הוא $7$ (אחרי סידור), לא $5$ (אמצעי בסדר נתון).

$math/030-equation$ בסיס שגוי באחוז שינוי

מ- $40$ ל- $50$ : $\frac{10}{40} = 25%$ , לא $\frac{10}{50} = 20%$ . הבסיס הישן.

ספירה כפולה באיחוד הסתברויות

אם המאורעות חופפים, נספרים פעם אחת. $P (זוגי או \leq 3)$ : ${1, 2, 3, 4, 6}$ , לא ${1, 2, 3, 2, 4, 6}$ .

ממוצע במקום חציון בקיצון

אם יש ערך קיצון, חציון מייצג טוב יותר את ה'נתון הטיפוסי'.

כל אחת מהטעויות האלה מבוססת על אינטואיציה שגויה. התרגול והבדיקה החוזרת מסירים אותה.

$math/020-math book$ מילון מושגים מהיר

מושגים חיוניים

מושג	הגדרה	נוסחה
אחוז	חלק מתוך $100$	$p % = \frac{p}{100}$
מקדם כיפלי	מקדם הכפל לשינוי	$k = 1 \pm \frac{p}{100}$
אחוז שינוי	שינוי יחסי	$\frac{∣ new - old ∣}{old} \cdot 100%$
שכיחות יחסית	יחס שכיחות לסך	$r = \frac{f}{n}$
ממוצע	סכום חלקי כמות	$\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ x}{n}$
חציון	אמצע (לאחר סידור)	$x_{\frac{n + 1}{2}}$
שכיח	הערך השכיח ביותר	ערך עם שכיחות גבוהה
טווח	פיזור	$max - min$
הסתברות	סיכוי	$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣}$
מאורע משלים	השלילה	$P (A^{c}) = 1 - P (A)$

* כשנתקלים בשאלה, התחילו בהגדרת המושג והבחירה בנוסחה המתאימה.

תרגיל סיכום מאתגר

תרגיל אינטגרטיבי

מאתגר

בכיתה ח1 ( $40$ תלמידים) ניתנו $3$ מבחנים. ציון ממוצע: $80$ . במבחן הראשון רק $25%$ מהתלמידים עברו. בשני $\frac{1}{2}$ עברו, ובשלישי כל מי שעבר את שני הקודמים עבר. כמה תלמידים עברו את שלושת המבחנים?

40 \to 3 מבחנים

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. לפני כל תשובה נסו לזהות אם השאלה עוסקת בשלם, בייצוג נתונים או בסיכוי.

טוען סימולציה...

חידון סיום

שאלה 1 מתוך 45

$+ 10%$ ואז $- 10%$ . תוצאה כוללת?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 283 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם

סיכום פרק 5

מה מחבר את כל הפרק?

אחוזים

מקדם כיפלי

נתונים

הסתברות

שלוש שאלות פתרון קבועות

מהו השלם?

מהו הייצוג?

האם זה סביר?

נוסחאות וקשרים שכדאי לזכור

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

איך מחברים את כל הפרק

שאלת הניווט המרכזית

אחוזים

נתונים

הסתברות

נוסחאות והחלטות מרכזיות

משימות אינטגרטיביות

אחוזים פוגשים סטטיסטיקה

סטטיסטיקה פוגשת הסתברות

אחוזים פוגשים הסתברות

טבלת קישורים בין נושאים

איך הנושאים מחוברים

טעויות נפוצות בכל הפרק

חמש טעויות מובילות

אחוזים מתחברים בשינויים עוקבים

חציון בלי לסדר

בסיס שגוי באחוז שינוי

ספירה כפולה באיחוד הסתברויות

ממוצע במקום חציון בקיצון

מילון מושגים מהיר

מושגים חיוניים

תרגיל סיכום מאתגר

תרגיל אינטגרטיבי

משחק חזרה לפרק

חידון סיום

+10% ואז −10%. תוצאה כוללת?