גרסת הדפסה | החוברת

מתי הצורה נשמרת ומתי גם הגודל נשמר

מה בונים במודול?

חפיפה ודמיון קשורים, אבל אינם אותו דבר. בדמיון הצורה נשמרת וייתכן שינוי גודל. בחפיפה נשמרים גם הצורה וגם הגודל. לכן כל חפיפה היא דמיון, אבל לא כל דמיון הוא חפיפה.

לסווג נתונים: נחליט מתי יש דמיון בלבד, חפיפה, או אין מספיק מידע.
להשתמש ביחס $1$ : נבין שחפיפה היא דמיון שבו $k = 1$ .
להשוות מה נשמר: נבדיל בין שוויון זוויות, יחס צלעות ושוויון אורכי צלעות.
לנסח נימוק: נכתוב תשובה שמסבירה ולא רק מסמנת מושג.

השאלה המרכזית

בדמיון, יחס הצלעות המתאימות יכול להיות כל מספר חיובי. בחפיפה, יחס הצלעות חייב להיות

1

. תזכרו: חפיפה שומרת על כל מה שדמיון שומר, ועוד מוסיפה שוויון אורכי צלעות.

חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון

אם שתי צורות חופפות, הן גם דומות ביחס $1$ .

דמיון שהוא גם חפיפה \Leftarrow k = 1

כאשר $k \neq = 1$ , הצורות יכולות להיות דומות אבל אינן חופפות.

חפיפה כדמיון מיוחד

דמיון שהוא גם חפיפה \Leftarrow k = 1

מה נשמר?

דמיון

זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות קבוע.

משולשים $3, 4, 5$ ו- $6, 8, 10$ דומים.

חפיפה

זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות שוות ממש.

שני משולשים עם אותן שלוש צלעות חופפים.

חפיפה היא דמיון ביחס $1$ , אבל דמיון ביחס אחר אינו חפיפה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

בדקו יחס

אם היחס $1$ , ייתכן חפיפה.
אם היחס שונה מ- $1$ , מדובר בדמיון בלבד.

בדקו שוויון מלא

בחפיפה כל אורך מתאים שווה.
בדמיון מספיק יחס קבוע.

נימוק מילולי

אל תכתבו רק 'דומים'. הסבירו מה נשמר ומה השתנה.
ציינו את יחס הדמיון כאשר אפשר.

דוגמה פתורה: דמיון שאינו חפיפה

3, 4, 5 מול 6, 8, 10

בודקים יחס צלעות מתאימות.
$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$
כי היחס אינו $1$ , הצורות אינן חופפות.
$k = 2 \neq = 1$

תשובה:

דומות אך לא חופפות

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

כל חפיפה היא דמיון

אם הצורות חופפות, יחס הדמיון הוא $1$ , ולכן הן עומדות גם בתנאי דמיון.

לא כל דמיון הוא חפיפה

אם $k = 3$ , הצורה השתנתה בגודל. היא דומה אך אינה חופפת.

מיקום אינו משנה

הזזה או סיבוב אינם מונעים חפיפה. הגודל והצורה הם העיקר.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לחשוב שכל דמיון הוא חפיפה.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

מדוע נכון לומר שכל צורה חופפת היא גם דומה, אבל לא להפך?

טבלה השוואתית: משפטי חפיפה ודמיון

התלמידים שלמדו פרק חפיפה (פרק 11) מכירים את משפטי צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז. בדמיון משולשים יש משפט אחד מרכזי - ז.ז (AA) - אבל הוא מסתעף לעוד שניים שיילמדו בכיתה ט. הטבלה הבאה מציגה את שני העולמות זה לצד זה.

השוואת משפטי חפיפה ודמיון

סוג	חפיפה (כיתה ז-ח)	דמיון (כיתה ח-ט)	מה שונה?
צלע-זווית-צלע	צ.ז.צ - שתי צלעות וזווית כלואה	צ.ז.צ דמיון - שתי צלעות פרופורציוניות וזווית כלואה	צלעות שוות לעומת צלעות פרופורציוניות
זווית-צלע-זווית	ז.צ.ז - שתי זוויות וצלע כלואה	ז.ז דמיון - שתי זוויות בלבד	אורך הצלע לא חשוב לדמיון
צלע-צלע-צלע	צ.צ.צ - שלוש צלעות שוות	צ.צ.צ דמיון - שלוש צלעות פרופורציוניות	אותו רעיון עם יחס במקום שוויון
תוצאה	צורות זהות בכל גודל	צורות זהות בצורה, אולי שונות בגודל	$k = 1$ מול $k > 0$ כללי

דוגמה פתורה: זיהוי - חפיפה, דמיון, או לא?

△ A B C : A B = 6, B C = 8, C A = 10 △ D E F : D E = 9, E F = 12, F D = 15

בודקים יחסי צלעות מתאימות.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
כל היחסים שווים - מסקנה: דמיון ביחס $k = \frac{3}{2}$ .
$△ A B C \sim △ D E F, k = \frac{3}{2}$
מסקנה סופית: דומים אך לא חופפים.
$דומים, לא חופפים$

תשובה:

דומים, k = \frac{3}{2}

מתי מספיק לכתוב 'חופפים' ומתי 'דומים'?

חופפים בלבד

כתיבה כזו מתאימה כשהשאלה דורשת לראות שזה גם דמיון מיוחד. נמנעים מ'חופפים בלבד' אלא אם השאלה מבדילה במפורש.

$△ A B C ≅ △ D E F$ מספיק כשהמטרה היא לזהות שוויון מלא.

דומים בלבד

כתיבה זו מתאימה כשיש יחס דמיון שאינו $1$ , כלומר הצורות באמת שונות בגודל.

$△ A B C \sim △ D E F, k = 2$ פירושו דמיון אך לא חפיפה.

גם חופפים גם דומים

כתיבה זו מדגישה שזה דמיון עם $k = 1$ . שימושית כשהשאלה בודקת את ההכלה של חפיפה בדמיון.

כל זוג משולשים חופפים מקיים גם $\sim$ עם יחס $1$ .

האם זה ייתכן ששני משולשים יהיו דומים אך לא יהיו אחד הגדלה של השני, אלא הקטנה ושיקוף ביחד?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו טענה נכונה?

כל זוג צורות חופפות הוא גם דומה
כל זוג צורות דומות הוא חופף
דמיון וחפיפה אינם קשורים
חפיפה אפשרית רק בריבועים

2.אם $k = 1$ וההתאמה מלאה, מה הסיווג?

חפיפה וגם דמיון
דמיון בלבד
אין דמיון
שטח בלבד

3.אם שתי צורות דומות ביחס $3$ , מה נכון?

הן אינן חופפות
הן חופפות בהכרח
הזוויות גדלו פי $3$
אין יחס צלעות

4.מה נשמר גם בדמיון וגם בחפיפה?

זוויות מתאימות
מיקום בדף
שטח תמיד
צבע

5.מה נוסף בחפיפה מעבר לדמיון?

שוויון אורכי צלעות מתאימות
יחס שונה מ- $1$
שינוי שטח
חוסר התאמה

6.משולשים $4, 5, 6$ ו- $8, 10, 12$ . מה הסיווג?

דומים אך לא חופפים
חופפים
אין דמיון
אי אפשר לחשב יחס

7.משולשים $4, 5, 6$ ו- $4, 5, 6$ . מה הסיווג?

חופפים וגם דומים
דומים בלבד
לא דומים
יחס $2$

8.האם סיבוב של צורה מונע חפיפה?

לא
כן
רק במשולשים
רק אם היחס $2$

9.מהו יחס הדמיון בחפיפה?

$1$
$0$
$2$
אין יחס

10.איזו טעות נפוצה?

לומר שדמיון תמיד אומר חפיפה
לבדוק יחס
לזהות $k = 1$
להשתמש בזוויות

11.אם שתי צורות חופפות, מה יחס השטחים?

$1$
$2$
$k^{2}$ עם $k = 2$
אי אפשר לדעת

12.מהו ניסוח מלא יותר מ'הן דומות'?

הן דומות ביחס מסוים, ואם היחס $1$ הן גם חופפות
הן באותו צבע
הן תמיד חופפות
אין צורך ביחס

13.האם כל זוג משולשים חופפים הוא גם זוג דומה?

כן, חפיפה היא דמיון עם $k = 1$
לא, אלו מושגים שונים
תלוי בגודל המשולש
רק במשולשים שווי-צלעות

14.סווגו: $△$ עם צלעות $3, 4, 5$ מול $△$ עם צלעות $3, 4, 5$ .

חופפים וגם דומים
דומים בלבד
חופפים בלבד
אף אחד

15.סווגו: $△$ עם $5, 12, 13$ מול $△$ עם $10, 24, 26$ .

דומים בלבד, $k = 2$
חופפים
אף אחד
דומים, $k = \frac{1}{2}$

16.ידוע ששני משולשים דומים. תחת איזה תנאי הם בהכרח חופפים?

אם זוג צלעות מתאימות שוות
אם השטחים שווים בלבד
אם ההיקפים אינם שווים
אם הזוויות הן $9 0^{\circ}$

17.במשפטי חפיפה צריך 3 רכיבים. במשפט ז.ז דמיון צריך:

2 זוויות בלבד
3 זוויות וצלע
כל הצלעות
אותם הרכיבים כמו בחפיפה

18.סדרו לפי הכלה: דומים, חופפים.

חופפים $\subset$ דומים
דומים $\subset$ חופפים
אין יחס בין שתי הקבוצות
שתי הקבוצות זהות

19.בדמיון, אם זוג צלעות מתאימות נותן יחס $\frac{1}{1}$ , מה נכון?

$k = 1$ , ולכן חפיפה אם דמיון מתקיים
אין דמיון
$k = 2$
תלוי בזוויות

20.במחשב, פעולת 'הזזה' (translate) שומרת על:

חפיפה
דמיון בלבד אך לא חפיפה
אורך אך לא זוויות
שטח בלבד

21.בעיה: שני משולשים בעלי $k = 3$ . הם:

דומים בלבד
חופפים בלבד
גם וגם
אף אחד

22.הצהרה $△ A B C ≅ △ D E F$ פירושה:

המשולשים חופפים, וזה מצב פרטי של דמיון
המשולשים שונים
הם דומים אבל לא חופפים
כפי הסדר ABC=DEF זה לא תקף