חפיפה מול דמיון

מתי הצורה נשמרת ומתי גם הגודל נשמר

מה בונים במודול?

חפיפה ודמיון קשורים, אבל אינם אותו דבר. בדמיון הצורה נשמרת וייתכן שינוי גודל. בחפיפה נשמרים גם הצורה וגם הגודל. לכן כל חפיפה היא דמיון, אבל לא כל דמיון הוא חפיפה.

לסווג נתונים

נחליט מתי יש דמיון בלבד, חפיפה, או אין מספיק מידע.

להשתמש ביחס {m}1{/m}

נבין שחפיפה היא דמיון שבו

k = 1

להשוות מה נשמר

נבדיל בין שוויון זוויות, יחס צלעות ושוויון אורכי צלעות.

לנסח נימוק

נכתוב תשובה שמסבירה ולא רק מסמנת מושג.

השאלה המרכזית

בדמיון, יחס הצלעות המתאימות יכול להיות כל מספר חיובי. בחפיפה, יחס הצלעות חייב להיות $1$ . תזכרו: חפיפה שומרת על כל מה שדמיון שומר, ועוד מוסיפה שוויון אורכי צלעות.

טוען סימולציה...

חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון

אם שתי צורות חופפות, הן גם דומות ביחס $1$ .

בחפיפה כל הצלעות המתאימות שוות, ולכן כל יחס צלעות הוא $1$ . בדמיון שאינו חפיפה, היחס יכול להיות למשל $2$ או $\frac{1}{3}$ .

$דמיון שהוא גם חפיפה \Leftarrow k = 1$

כאשר $k \neq = 1$ , הצורות יכולות להיות דומות אבל אינן חופפות.

חפיפה כדמיון מיוחד

דמיון שהוא גם חפיפה \Leftarrow k = 1

מה נשמר?

דמיון

זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות קבוע.

דוגמה: משולשים $3, 4, 5$ ו- $6, 8, 10$ דומים.

חפיפה

זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות שוות ממש.

דוגמה: שני משולשים עם אותן שלוש צלעות חופפים.

חפיפה היא דמיון ביחס $1$ , אבל דמיון ביחס אחר אינו חפיפה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

בדקו יחס

אם היחס $1$ , ייתכן חפיפה.

אם היחס שונה מ- $1$ , מדובר בדמיון בלבד.

בדקו שוויון מלא

בחפיפה כל אורך מתאים שווה.

בדמיון מספיק יחס קבוע.

נימוק מילולי

אל תכתבו רק 'דומים'. הסבירו מה נשמר ומה השתנה.

ציינו את יחס הדמיון כאשר אפשר.

דוגמה פתורה: דמיון שאינו חפיפה

שלב 1 מתוך 2

3, 4, 5 מול 6, 8, 10

מה יחס הדמיון?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

כל חפיפה היא דמיון

אם הצורות חופפות, יחס הדמיון הוא $1$ , ולכן הן עומדות גם בתנאי דמיון.

לא כל דמיון הוא חפיפה

אם $k = 3$ , הצורה השתנתה בגודל. היא דומה אך אינה חופפת.

מיקום אינו משנה

הזזה או סיבוב אינם מונעים חפיפה. הגודל והצורה הם העיקר.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לחשוב שכל דמיון הוא חפיפה.

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

משפט זיכרון קצר

חפיפה היא דמיון בלי שינוי גודל. לכן היא לא מתחרה בדמיון, אלא מקרה מיוחד שלו.

אם $k = 1$ : בדקו חפיפה.
אם $k \neq = 1$ : דמיון בלבד.
אם אין יחס קבוע: אין דמיון לפי הצלעות.

שאלה לחשיבה

מדוע נכון לומר שכל צורה חופפת היא גם דומה, אבל לא להפך?

חפיפה עומדת בכל תנאי הדמיון עם יחס $1$ . דמיון מאפשר יחס אחר, ולכן יכול לשנות את הגודל ולא להיות חפיפה.

בגרפיקה ממוחשבת, הזזה וסיבוב משמרים חפיפה. הגדלה אחידה משמרת דמיון. כך אפשר לתאר שינוי צורה בצורה מדויקת.

טבלה השוואתית: משפטי חפיפה ודמיון

התלמידים שלמדו פרק חפיפה (פרק 11) מכירים את משפטי צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז. בדמיון משולשים יש משפט אחד מרכזי - ז.ז (AA) - אבל הוא מסתעף לעוד שניים שיילמדו בכיתה ט. הטבלה הבאה מציגה את שני העולמות זה לצד זה.

השוואת משפטי חפיפה ודמיון

סוג	חפיפה (כיתה ז-ח)	דמיון (כיתה ח-ט)	מה שונה?
צלע-זווית-צלע	צ.ז.צ - שתי צלעות וזווית כלואה	צ.ז.צ דמיון - שתי צלעות פרופורציוניות וזווית כלואה	צלעות שוות לעומת צלעות פרופורציוניות
זווית-צלע-זווית	ז.צ.ז - שתי זוויות וצלע כלואה	ז.ז דמיון - שתי זוויות בלבד	אורך הצלע לא חשוב לדמיון
צלע-צלע-צלע	צ.צ.צ - שלוש צלעות שוות	צ.צ.צ דמיון - שלוש צלעות פרופורציוניות	אותו רעיון עם יחס במקום שוויון
תוצאה	צורות זהות בכל גודל	צורות זהות בצורה, אולי שונות בגודל	$k = 1$ מול $k > 0$ כללי

$math/007-triangle$ דוגמה פתורה: זיהוי - חפיפה, דמיון, או לא?

שלב 1 מתוך 3

△ A B C : A B = 6, B C = 8, C A = 10 △ D E F : D E = 9, E F = 12, F D = 15

בודקים יחסי צלעות מתאימות.

\frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

מתי מספיק לכתוב 'חופפים' ומתי 'דומים'?

חופפים בלבד

כתיבה כזו מתאימה כשהשאלה דורשת לראות שזה גם דמיון מיוחד. נמנעים מ'חופפים בלבד' אלא אם השאלה מבדילה במפורש.

דוגמה: $△ A B C ≅ △ D E F$ מספיק כשהמטרה היא לזהות שוויון מלא.

דומים בלבד

כתיבה זו מתאימה כשיש יחס דמיון שאינו $1$ , כלומר הצורות באמת שונות בגודל.

דוגמה: $△ A B C \sim △ D E F, k = 2$ פירושו דמיון אך לא חפיפה.

גם חופפים גם דומים

כתיבה זו מדגישה שזה דמיון עם $k = 1$ . שימושית כשהשאלה בודקת את ההכלה של חפיפה בדמיון.

דוגמה: כל זוג משולשים חופפים מקיים גם $\sim$ עם יחס $1$ .

הירארכיה מושגית

כל זוג משולשים חופפים הוא גם זוג משולשים דומים, אבל לא להפך. במונחי מערכות: קבוצת המשולשים החופפים היא תת-קבוצה של קבוצת המשולשים הדומים. ההיגיון הזה תקף לכל מצולע.

שאלה לחשיבה

האם זה ייתכן ששני משולשים יהיו דומים אך לא יהיו אחד הגדלה של השני, אלא הקטנה ושיקוף ביחד?

כן. דמיון לא דורש כיוון מסוים של ההגדלה, ולא איסור על שיקוף. שני משולשים יכולים להיות דומים גם אם אחד מהם הוא תוצאה של הגדלה ושיקוף של השני. כל עוד הזוויות מתאימות שוות והיחס בין צלעות מתאימות קבוע, הם דומים.

$math/017-ruler$ אסטרטגיית פתרון מהירה

כשמופיעה שאלה 'דומים? חופפים?' עברו לפי הסדר:

שלב א: בדקו אם יש יחס קבוע $k$ בין צלעות מתאימות.
שלב ב: אם $k$ לא קיים - לא דומים ולא חופפים.
שלב ג: אם $k = 1$ - גם חפיפה גם דמיון.
שלב ד: אם $k \neq = 1$ - דמיון בלבד.

במחשב, פעולות הזזה (translate), סיבוב (rotate) ושיקוף (reflect) שומרות על חפיפה. פעולת שינוי גודל אחיד (uniform scale) שומרת על דמיון. פעולות אחרות, כמו מתיחה לא אחידה, אינן שומרות לא על חפיפה ולא על דמיון. מערכות עיצוב כמו Photoshop ו-Illustrator משתמשות בכלים אלה כל הזמן, ובסיבוב לוגוטיפים חשוב מאוד שהפעולה תהיה חפיפה (שמירה על גודל) ולא דמיון (עלולה להגדיל).

שאלה 1 מתוך 22

הצהרה $△ A B C ≅ △ D E F$ פירושה:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חפיפה מול דמיון כבר מוכן.

פתחו תרגול

חפיפה מול דמיון

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון

מה נשמר?

דמיון

חפיפה

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

בדקו יחס

בדקו שוויון מלא

נימוק מילולי

דוגמה פתורה: דמיון שאינו חפיפה

דוגמאות שמחזקות את הכלל

שלוש נקודות עוגן

כל חפיפה היא דמיון

לא כל דמיון הוא חפיפה

מיקום אינו משנה

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

משפט זיכרון קצר

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

טבלה השוואתית: משפטי חפיפה ודמיון

השוואת משפטי חפיפה ודמיון

$math/007-triangle$ דוגמה פתורה: זיהוי - חפיפה, דמיון, או לא?

מתי מספיק לכתוב 'חופפים' ומתי 'דומים'?

חופפים בלבד

דומים בלבד

גם חופפים גם דומים

הירארכיה מושגית

שאלה לחשיבה

$math/017-ruler$ אסטרטגיית פתרון מהירה

חפיפה בעולם הדיגיטלי

הצהרה $△ A B C ≅ △ D E F$ פירושה: