גרסת הדפסה | החוברת

אורך גדל פי $k$ , שטח גדל פי $k^{2}$

מה בונים במודול?

אחת הטעויות הנפוצות בדמיון היא לחשוב שכל דבר גדל באותו יחס. אורכים והיקפים אכן גדלים פי $k$ , אבל שטחים גדלים פי $k^{2}$ כי יש שני ממדים שמוכפלים.

להבדיל בין אורך לשטח: נזהה מתי משתמשים ב- $k$ ומתי ב- $k^{2}$ .
לחשב היקף חדש: נכפיל היקף ביחס הדמיון.
לחשב שטח חדש: נכפיל שטח בריבוע יחס הדמיון.
להסביר מדוע: נבין את הריבוע דרך מלבן שגדל גם באורך וגם ברוחב.

השאלה המרכזית

היקף הוא סכום אורכים, לכן כל איבר בסכום מוכפל ב-

k

וגם ההיקף כולו מוכפל ב-

k

. שטח נמדד ביחידות ריבועיות. אם האורך גדל פי

k

והרוחב גדל פי

k

, השטח גדל פי

k \cdot k = k^{2}

ריבוע קטן וריבוע גדול הממחישים שיחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון — כאשר כל אורך גדל פי $2$ , השטח מתפרק ל- $4$ עותקים של השטח המקורי.

שני כללים שונים

בצורות דומות עם יחס דמיון $k$ , יחס ההיקפים הוא $k$ ויחס השטחים הוא $k^{2}$ .

P^{'} = k P, A^{'} = k^{2} A

אם $k = 3$ , ההיקף גדל פי $3$ , אבל השטח גדל פי $9$ .

יחסי היקף ושטח

P^{'} = k P, A^{'} = k^{2} A

מה משתנה לפי מה?

גודל	יחס שינוי	אם $k = 4$
אורך צלע	$k$	פי $4$
היקף	$k$	פי $4$
שטח	$k^{2}$	פי $16$

שטח אינו גדל פי $k$ . זו טעות מרכזית בפרק.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

שואלים מה מבקשים

אם מבקשים אורך או היקף, משתמשים ב- $k$ .
אם מבקשים שטח, משתמשים ב- $k^{2}$ .

ריבוע יחס

לפני חישוב שטח, מעלים את יחס הדמיון בריבוע.
גם בהקטנה: $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ .

חוזרים ליחידות

היקף ביחידות אורך.
שטח ביחידות ריבועיות.

דוגמה פתורה: יחס דמיון $2$

k = 2, P = 30, A = 20

היקף משתנה כמו יחס הדמיון.
$P^{'} = 2 \cdot 30 = 60$
שטח משתנה כמו ריבוע יחס הדמיון.
$A^{'} = 2^{2} \cdot 20 = 80$

תשובה:

P^{'} = 60, A^{'} = 80

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

היקף

אם כל צלע גדלה פי $3$ , גם סכום הצלעות גדל פי $3$ .

שטח

ריבוע עם צלע $5$ גדל ל- $15$ . השטח גדל מ- $25$ ל- $225$ , כלומר פי $9$ .

הקטנה

אם $k = \frac{1}{2}$ , ההיקף קטן פי $2$ , אבל השטח קטן פי $4$ .

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להכפיל את השטח ב- $3$ במקום ב- $9$ .

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

מדוע יחס השטחים אינו $k$ אם כל צלע גדלה פי $k$ ?

דפוס המעריך: ממד הגודל קובע

כל גודל גיאומטרי שייך לממד מסוים. אורך הוא חד-ממדי, שטח דו-ממדי, נפח תלת-ממדי. כשמשתנה אחיד פי

k

, כל גודל מצטמצם או גדל לפי המעריך של ממדו:

k^{1}

לאורך,

k^{2}

לשטח,

k^{3}

לנפח. הדפוס הזה הוא אחד היפים והכלליים במתמטיקה.

למה $k^{2}$ לשטח?

כל שטח נבנה מהכפלת שני אורכים מתאימים. שני אורכים מתאימים נכפלים פי $k$ כל אחד.

S^{'} = k^{2} \cdot S

המעריך $2$ מגיע מ- $2$ הממדים של שטח. נפח, להשוואה, יקבל מעריך $3$ .

כיצד ערכים גיאומטריים גדלים עם $k$

גודל	ממד	מעריך $k$	$k = 2$	$k = 3$	$k = \frac{1}{2}$
אורך צלע	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
היקף	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
אורך אלכסון	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
שטח	2	$k^{2}$	$\times 4$	$\times 9$	$\times \frac{1}{4}$
שטח פנים (גוף)	2	$k^{2}$	$\times 4$	$\times 9$	$\times \frac{1}{4}$
נפח (העשרה)	3	$k^{3}$	$\times 8$	$\times 27$	$\times \frac{1}{8}$

דוגמה פתורה: יחס שטחים נתון - מצא $k$

שטחי שני משולשים דומים: 12 סמ"ר ו- 75 סמ"ר. מצאו k .

מבטאים את היחס בין השטחים.
$\frac{S ^{'}}{S} = \frac{75}{12} = \frac{25}{4}$
$\frac{S ^{'}}{S} = k^{2}$ .
$k^{2} = \frac{25}{4}$
מוציאים שורש (חיובי, כי $k$ מתאר אורך).
$k = \frac{5}{2}$

תשובה:

k = \frac{5}{2}

פרדוקסים של גודל וצורה

פיצה גדולה תמיד משתלמת

כשמכפילים את הקוטר, השטח מרבעיע. לכן פיצה כפולה בקוטר, אם המחיר אינו מרבעי, נותנת יותר מזון ליחידת שכר.

צבע לחדר הוא בעיית שטח

אם רוצים לצבוע חדר בגודל כפול בכל הממדים, צריך פי 4 צבע (שטח קירות מרבעי), לא פי 2.

הפרדוקס של גליבר

אם ענק כפול בגובה מאדם רגיל, הוא אפילו פי 8 בנפח, ולכן פי 8 כבד. רגליים שלו מרבעיות בחתך - כלומר פי 4 חזקות. אבל הוא פי 8 כבד, ולכן יקרוס תחת המשקל. פיזיקה היא גיאומטריה.

טעות נפוצה במבחנים

כש- $k = 3$ והשטח גדל פי $9$ , תלמידים לעיתים כותבים פי $6$ (סכום במקום מרבעה). זכרו: $3^{2} = 9$ , לא $3 + 3$ .

האם אפשר להגדיל צורה כך שההיקף יגדל פי $5$ אבל השטח רק פי $4$ ?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.אם יחס הדמיון הוא $3$ , מה יחס ההיקפים?

$3$
$6$
$9$
$\frac{1}{3}$

2.אם יחס הדמיון הוא $3$ , מה יחס השטחים?

3.צורה דומה ביחס $2$ . שטח המקור $30$ . מה השטח החדש?

$120$
$60$
$32$
$15$

4.צורה דומה ביחס $\frac{1}{2}$ . מה יחס השטחים?

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$2$
$4$

5.מהי טעות נפוצה בשטחי צורות דומות?

להשתמש ב- $k$ במקום ב- $k^{2}$
להשתמש ב- $k$ עבור היקף
לבדוק יחידות
לחשב יחס דמיון

6.אם היקף גדל מ- $18$ ל- $45$ , מה יחס הדמיון?

$\frac{5}{2}$
$\frac{2}{5}$
$27$
$\frac{25}{4}$

7.אם $k = 4$ , פי כמה גדל שטח?

$16$
$4$
$8$
$2$

8.מה משתנה כמו אורך?

היקף
שטח
נפח
מספר הזוויות

9.שטח קטן מ- $144$ ל- $9$ . מה יחס הדמיון מהגדול לקטן?

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{16}$
$4$
$16$

10.יחס דמיון $\frac{3}{5}$ . מה יחס ההיקפים?

$\frac{3}{5}$
$\frac{9}{25}$
$\frac{5}{3}$
$\frac{6}{10}$

11.יחס דמיון $\frac{3}{5}$ . מה יחס השטחים?

$\frac{9}{25}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{5}{3}$
$\frac{25}{9}$

12.איזו בדיקה עוזרת לבחור כלל נכון?

לבדוק אם השאלה על אורך, היקף או שטח
לבדוק אם המספר גדול
לבדוק אם יש ציור צבעוני
לחשב ממוצע

13. $k = 4$ . פי כמה גדל השטח?

$16$
$4$
$8$
$64$

14.יחס שטחים $\frac{S ^{'}}{S} = 49$ . $k$ ?

$7$
$49$
$2401$
$24.5$

15.שני ריבועים דומים. צלע אחד $3$ , השני $9$ . יחס השטחים?

$9 : 1$
$3 : 1$
$27 : 1$
$81 : 1$

16.צורה הוקטנה ביחס $\frac{1}{3}$ . השטח השתנה פי:

$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{27}$

17.יחס היקפים $3 : 5$ . יחס שטחים?

$9 : 25$
$3 : 5$
$6 : 10$
$3 : 5$

18.ריבוע ראשון בעל שטח $25$ סמ"ר. $k = \frac{4}{5}$ (קטן יותר). שטח השני?

$16$ סמ"ר
$20$ סמ"ר
$5$ סמ"ר
$625$ סמ"ר

19.מטא-שאלה: למה $k^{2}$ ולא $k$ עבור שטח?

כי שטח דו-ממדי
כי תמיד מרבעים מספרים
כי שטח גדול יותר
אין סיבה מתמטית

20.פיצה ברדיוס $10$ ס"מ עולה $30$ ש"ח. פיצה ברדיוס $20$ ס"מ עולה $90$ ש"ח. איזו משתלמת?

הגדולה ( $30 \cdot 4 = 120 > 90)$
שתיהן שוות
תלוי בטעם
אי אפשר להשוות

21.במפה בקנ"מ $1 : 200$ , שטח דירה $2$ סמ"ר. שטח אמיתי?

$80, 000$ סמ"ר ( $8$ מ"ר)
$400$ סמ"ר
$40, 000$ סמ"ר
$200$ מ"ר

22.כדי להכפיל את שטח ריבוע, צריך להכפיל את הצלע פי:

$2$
$2$
$4$
$\frac{1}{2}$