יחס היקפים ויחס שטחים

אורך גדל פי $k$ , שטח גדל פי $k^{2}$

מה בונים במודול?

אחת הטעויות הנפוצות בדמיון היא לחשוב שכל דבר גדל באותו יחס. אורכים והיקפים אכן גדלים פי

k

, אבל שטחים גדלים פי

k^{2}

כי יש שני ממדים שמוכפלים.

להבדיל בין אורך לשטח

נזהה מתי משתמשים ב-

k

ומתי ב-

k^{2}

לחשב היקף חדש

נכפיל היקף ביחס הדמיון.

לחשב שטח חדש

נכפיל שטח בריבוע יחס הדמיון.

להסביר מדוע

נבין את הריבוע דרך מלבן שגדל גם באורך וגם ברוחב.

השאלה המרכזית

היקף הוא סכום אורכים, לכן כל איבר בסכום מוכפל ב- $k$ וגם ההיקף כולו מוכפל ב- $k$ . שטח נמדד ביחידות ריבועיות. אם האורך גדל פי $k$ והרוחב גדל פי $k$ , השטח גדל פי $k \cdot k = k^{2}$ .

ריבוע קטן וריבוע גדול הממחישים שיחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון — כאשר כל אורך גדל פי $2$ , השטח מתפרק ל- $4$ עותקים של השטח המקורי.

טוען סימולציה...

$math/004-square$ שני כללים שונים

בצורות דומות עם יחס דמיון $k$ , יחס ההיקפים הוא $k$ ויחס השטחים הוא $k^{2}$ .

היקף הוא חד-ממדי, ולכן הוא מתנהג כמו אורך. שטח הוא דו-ממדי, ולכן שני כיווני מדידה מוכפלים ביחס הדמיון.

$P^{'} = k P, A^{'} = k^{2} A$

אם $k = 3$ , ההיקף גדל פי $3$ , אבל השטח גדל פי $9$ .

יחסי היקף ושטח

P^{'} = k P, A^{'} = k^{2} A

מה משתנה לפי מה?

גודל	יחס שינוי	אם $k = 4$
אורך צלע	$k$	פי $4$
היקף	$k$	פי $4$
שטח	$k^{2}$	פי $16$

* שטח אינו גדל פי $k$ . זו טעות מרכזית בפרק.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

שואלים מה מבקשים

אם מבקשים אורך או היקף, משתמשים ב- $k$ .

אם מבקשים שטח, משתמשים ב- $k^{2}$ .

ריבוע יחס

לפני חישוב שטח, מעלים את יחס הדמיון בריבוע.

גם בהקטנה: $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ .

חוזרים ליחידות

היקף ביחידות אורך.

שטח ביחידות ריבועיות.

דוגמה פתורה: יחס דמיון $2$

שלב 1 מתוך 2

k = 2, P = 30, A = 20

מה קורה להיקף?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

$math/039-measurement$ שלוש נקודות עוגן

היקף

אם כל צלע גדלה פי $3$ , גם סכום הצלעות גדל פי $3$ .

שטח

ריבוע עם צלע $5$ גדל ל- $15$ . השטח גדל מ- $25$ ל- $225$ , כלומר פי $9$ .

הקטנה

אם $k = \frac{1}{2}$ , ההיקף קטן פי $2$ , אבל השטח קטן פי $4$ .

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להכפיל את השטח ב- $3$ במקום ב- $9$ .

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

שאלת מפתח

לפני כל חישוב שאלו: האם מבקשים אורך, היקף או שטח? התשובה קובעת אם משתמשים ב- $k$ או ב- $k^{2}$ .

אורך או היקף: השתמשו ב- $k$ .
שטח: השתמשו ב- $k^{2}$ .
בדקו יחידות בסוף.

שאלה לחשיבה

מדוע יחס השטחים אינו $k$ אם כל צלע גדלה פי $k$ ?

כי שטח תלוי בשני כיוונים. במלבן, האורך גדל פי $k$ והרוחב גדל פי $k$ , לכן המכפלה גדלה פי $k^{2}$ .

אותו רעיון ממשיך גם לגופים תלת-ממדיים: אם כל אורך גדל פי

k

, נפח גדל פי

k^{3}

. זה לא נושא הפרק, אבל זה מסביר את הדפוס.

דפוס המעריך: ממד הגודל קובע

כל גודל גיאומטרי שייך לממד מסוים. אורך הוא חד-ממדי, שטח דו-ממדי, נפח תלת-ממדי. כשמשתנה אחיד פי $k$ , כל גודל מצטמצם או גדל לפי המעריך של ממדו: $k^{1}$ לאורך, $k^{2}$ לשטח, $k^{3}$ לנפח. הדפוס הזה הוא אחד היפים והכלליים במתמטיקה.

למה $k^{2}$ לשטח?

כל שטח נבנה מהכפלת שני אורכים מתאימים. שני אורכים מתאימים נכפלים פי $k$ כל אחד.

במלבן: שטח = אורך × רוחב. אם בצורה הקטנה השטח $S = a \cdot b$ , ובמוגדלת אורך $a^{'} = k a$ ורוחב $b^{'} = k b$ , אז $S^{'} = a^{'} \cdot b^{'} = k a \cdot k b = k^{2} ab = k^{2} S$ . אותו רעיון תקף לכל צורה שטוחה: שטח גדל פי $k^{2}$ כשהצורה דומה ביחס $k$ .

$S^{'} = k^{2} \cdot S$

המעריך $2$ מגיע מ- $2$ הממדים של שטח. נפח, להשוואה, יקבל מעריך $3$ .

כיצד ערכים גיאומטריים גדלים עם {m}k{/m}

גודל	ממד	מעריך $k$	$k = 2$	$k = 3$	$k = \frac{1}{2}$
אורך צלע	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
היקף	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
אורך אלכסון	1	$k^{1}$	$\times 2$	$\times 3$	$\times \frac{1}{2}$
שטח	2	$k^{2}$	$\times 4$	$\times 9$	$\times \frac{1}{4}$
שטח פנים (גוף)	2	$k^{2}$	$\times 4$	$\times 9$	$\times \frac{1}{4}$
נפח (העשרה)	3	$k^{3}$	$\times 8$	$\times 27$	$\times \frac{1}{8}$

דוגמה פתורה: יחס שטחים נתון - מצא $k$

שלב 1 מתוך 3

שטחי שני משולשים דומים: 12 סמ"ר ו- 75 סמ"ר. מצאו k .

מבטאים את היחס בין השטחים.

\frac{S ^{'}}{S} = \frac{75}{12} = \frac{25}{4}

$math/025-numbers$ פרדוקסים של גודל וצורה

פיצה גדולה תמיד משתלמת

כשמכפילים את הקוטר, השטח מרבעיע. לכן פיצה כפולה בקוטר, אם המחיר אינו מרבעי, נותנת יותר מזון ליחידת שכר.

צבע לחדר הוא בעיית שטח

אם רוצים לצבוע חדר בגודל כפול בכל הממדים, צריך פי 4 צבע (שטח קירות מרבעי), לא פי 2.

הפרדוקס של גליבר

אם ענק כפול בגובה מאדם רגיל, הוא אפילו פי 8 בנפח, ולכן פי 8 כבד. רגליים שלו מרבעיות בחתך - כלומר פי 4 חזקות. אבל הוא פי 8 כבד, ולכן יקרוס תחת המשקל. פיזיקה היא גיאומטריה.

טעות נפוצה במבחנים

כש- $k = 3$ והשטח גדל פי $9$ , תלמידים לעיתים כותבים פי $6$ (סכום במקום מרבעה). זכרו: $3^{2} = 9$ , לא $3 + 3$ .

כלל המעריך בקוצר

כל גודל גיאומטרי מכיל בתוכו את הממדים שלו. אורך = ממד אחד, מעריך

1

. שטח = שני ממדים, מעריך

2

. נפח = שלושה ממדים, מעריך

3

. לכן: המעריך = הממד. תזכרו את זה ולא תטעו עוד.

שאלה לחשיבה

האם אפשר להגדיל צורה כך שההיקף יגדל פי $5$ אבל השטח רק פי $4$ ?

לא, אם זה דמיון. בדמיון אחיד יחס היקפים תמיד $k$ ויחס שטחים תמיד $k^{2}$ . כלומר יחס שטחים תמיד גדול או שווה ליחס היקפים בריבוע - אם $k = 5$ , השטח חייב להיות פי $25$ . אם רק פי $4$ - אין דמיון.

מתוך $k$ לכל תוצאה

אם נתון לכם $k$ , אתם יודעים מיד את כל הדפוס:

אורכים מתאימים: מכפילים את האורך הקטן ב- $k$ .
היקף: היקף קטן × $k$ .
שטח: שטח קטן × $k^{2}$ .
נפח (אם הצורה תלת-ממד): נפח קטן × $k^{3}$ .

ביולוגים משתמשים בעיקרון

k^{2}

כדי להסביר למה בעלי חיים גדולים מתקררים לאט. שטח עור (שדרכו מתקררים) גדל פי

k^{2}

, אבל מסת גוף (שצריכה להתקרר) גדלה פי

k^{3}

. לכן לוויתן זקוק לפחות חימום ולמעשה מתחמם מדי בקלות. נמלים, להפך, מאבדות חום מהר. הפיזיקה הזו היא הסיבה ליצורי-ענק נמצאים לרוב במים, וליצורים זעירים מוגנים בלוחות חום.

שאלה 1 מתוך 22

שני ריבועים דומים. צלע אחד $3$ , השני $9$ . יחס השטחים?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של יחס היקפים ויחס שטחים כבר מוכן.

פתחו תרגול

יחס היקפים ויחס שטחים

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

$math/004-square$ שני כללים שונים

מה משתנה לפי מה?

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

שואלים מה מבקשים

ריבוע יחס

חוזרים ליחידות

דוגמה פתורה: יחס דמיון $2$

דוגמאות שמחזקות את הכלל

$math/039-measurement$ שלוש נקודות עוגן

היקף

שטח

הקטנה

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

שאלת מפתח

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

דפוס המעריך: ממד הגודל קובע

למה $k^{2}$ לשטח?

כיצד ערכים גיאומטריים גדלים עם {m}k{/m}

דוגמה פתורה: יחס שטחים נתון - מצא $k$

$math/025-numbers$ פרדוקסים של גודל וצורה

פיצה גדולה תמיד משתלמת

צבע לחדר הוא בעיית שטח

הפרדוקס של גליבר

טעות נפוצה במבחנים

כלל המעריך בקוצר

שאלה לחשיבה

מתוך $k$ לכל תוצאה

ביולוגיה של גודל

שני ריבועים דומים. צלע אחד $3$ , השני $9$ . יחס השטחים?