גרסת הדפסה | החוברת

מדידה עקיפה, צללים, מפות ודגמים

מה בונים במודול?

דמיון מאפשר למדוד דברים שקשה למדוד ישירות: גובה עץ, רוחב נהר או אורך בדגם. הרעיון תמיד דומה: בונים שתי צורות דומות, מודדים את מה שאפשר, ומוצאים את מה שחסר.

לזהות משולשים דומים במציאות: נזהה מתי זוויות או קנה מידה יוצרים דמיון.
לבנות יחס: נכתוב פרופורציה בין אורך אמיתי, צל, מפה או דגם.
לשמור יחידות: נמיר יחידות כשצריך לפני החישוב.
לבדוק תשובה: נשווה את התוצאה להקשר כדי לוודא שהיא סבירה.

השאלה המרכזית

בבעיות מציאות, הקושי אינו רק לחשב. הקושי הוא לבחור אילו גדלים מתאימים זה לזה. גובה מתאים לגובה, צל מתאים לצל, מרחק במפה מתאים למרחק במציאות.

מדידת גובה עץ בעזרת צל ודמיון משולשים — קרני השמש יוצרות משולשים דומים: גובה מול צל של אדם, וגובה מול צל של עץ.

מדידה עקיפה בעזרת דמיון

כאשר שני מצבים יוצרים משולשים דומים, היחס בין גובה לצל נשמר.

\frac{גובה קטן}{צל קטן} = \frac{גובה גדול}{צל גדול}

ההיגיון חשוב: אם לעץ צל ארוך יותר באותו זמן, גם הגובה שלו אמור להיות גדול יותר.

יחס גובה לצל

\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}

שני משולשי צל

היחס

\frac{גובה}{צל}

נשמר כי זווית השמש זהה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

מזהים זוגות

גובה מתאים לגובה וצל מתאים לצל.
במפה, מרחק במפה מתאים למרחק במציאות.

מאחדים יחידות

לא מערבבים סנטימטרים ומטרים באותו שבר.
ממירים לפני הפרופורציה או כותבים יחידות בבירור.

בודקים הקשר

עץ לא אמור לצאת בגובה $0.2$ מטר אם צלו ארוך מאוד.
מפה בקנה מידה קטן צריכה לתת מרחק מציאותי גדול יותר.

דוגמה פתורה: גובה עץ

\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}

כותבים יחס גובה לצל בשני המשולשים.
$\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}$
פותרים בכפל בהצלבה.
$2 h = 1.6 \cdot 9 = 14.4$
מחלקים ב- $2$ .
$h = 7.2$

תשובה:

h = 7.2 מטר

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

צללים

אם שני עצמים נמדדים באותה שעה ובאותו מקום, קרני השמש יוצרות זווית זהה ולכן מתקבלים משולשים דומים.

מפות

קנה מידה הוא יחס דמיון בין ציור קטן לבין המציאות.

דגמים

דגם מכונית ביחס $\frac{1}{20}$ אומר שכל אורך בדגם הוא אחד חלקי עשרים מהאורך האמיתי.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להתאים גובה של מקל לצל של עמוד באותו שבר.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

למה חשוב למדוד את האדם ואת העץ באותה שעה כשמשתמשים בצללים?

טכניקת המראה: מדידה עקיפה ללא צל

כשאין שמש או רוצים לעבוד גם בצל, יש טכניקה אחרת: מציבים מראה שטוחה על הקרקע. תלמיד שמסתכל במראה מנקודה מסוימת יראה את ראש העצם הגבוה. שני משולשים נוצרים: הצופה והמראה, והעצם והמראה. הם דומים לפי ז.ז (זווית פגיעה = זווית החזרה, וזווית ישרה לקרקע).

מבנה הדמיון בטכניקת המראה

אור מהראש של עצם נופל על המראה ומוחזר לעין הצופה. שני משולשים ישרי-זווית עם זווית משותפת.

h_{2} = h_{1} \cdot \frac{d _{2}}{d _{1}}

השיטה עובדת בלי שמש, גם בתוך מבנים.

סיכום שיטות מדידה עקיפה

שיטה	מה צריך למדוד	פרופורציה	תנאי להצלחה
צל ושמש	גובה עזר, צל עזר, צל עצם	$\frac{h _{1}}{s _{1}} = \frac{h _{2}}{s _{2}}$	באותו זמן, אותה זווית שמש
מראה	גובה עיני צופה, מרחק לצופה, מרחק לעצם	$\frac{h _{1}}{d _{1}} = \frac{h _{2}}{d _{2}}$	מראה שטוחה, רגלי הצופה והעצם בגובה אחד
מקלות בכף יד	אורך מקל, מרחק לעין, מרחק לעצם	$\frac{m}{d _{עין}} = \frac{h}{d _{עצם}}$	מקל אנכי, יד יציבה
צילום	גובה אובייקט קטן ידוע בתמונה, גובה אובייקט גדול בתמונה	$\frac{h _{אמיתי 1}}{h _{תמונה 1}} = \frac{h _{אמיתי 2}}{h _{תמונה 2}}$	באותו צילום, אותו עומק

דוגמה פתורה: גובה עץ עם מראה

מראה במרחק 4 מ’ מצופה ו-12 מ’ מעץ. עיני הצופה בגובה 1.6 מ’. גובה העץ?

שני משולשים דומים לפי ז.ז: זווית ישרה לקרקע ובכל אחד אותה זווית פגיעה.
$△_{צופה} \sim △_{עץ}$
פרופורציה: $\frac{1.6}{4} = \frac{h}{12}$ .
$\frac{1.6}{4} = \frac{h}{12}$
פותרים: $h = \frac{1.6 \cdot 12}{4} = 4.8$ מ'.
$h = 4.8 מ’$

תשובה:

4.8 מ’

סקירה: היכן דמיון מופיע במציאות

מפות וניווט

כל מפה היא הקטנה דומה של אזור גיאוגרפי. קנה מידה $1 : 50, 000$ פירושו $1$ ס"מ במפה = $500$ מ'.

תכניות בנייה

אדריכלים משרטטים תכניות בקנ"מ $1 : 50$ או $1 : 100$ . דגם מוקטן של בניין בקנ"מ $1 : 200$ .

צילום והדפסה

תצלום הוא צורה דומה של הסצנה האמיתית. תמונה ברזולוציה גבוהה אפשר להגדיל מבלי לאבד יחסים.

מודלים מדעיים

מודל מערכת השמש בכיתה הוא הקטנה דומה של היחסים האמיתיים בין כוכבי הלכת לשמש.

מסכים ופרופורציות

מסכי טלוויזיה ביחס $16 : 9$ הם דומים זה לזה גם בגדלים שונים, מ- $32$ אינץ' ל- $65$ אינץ'.

אנטומיה השוואתית

בעלי חיים מאותו מין בגדלים שונים הם דומים אנטומית: יחסי גוף נשמרים בקירוב.

למה פיצה מוגדרת לפי קוטר ולא לפי שטח?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו עיקרון המדידה העקיפה בעזרת דמיון?

בונים פרופורציה בין גדלים מתאימים
מנחשים לפי מראה
מחברים את כל האורכים
מחשבים שטח בלבד

2.אדם $1.6$ מ' מטיל צל $2$ מ'. עץ מטיל צל $9$ מ'. מה גובה העץ?

$7.2$ מ'
$11.25$ מ'
$5.6$ מ'
$18$ מ'

3.בבעיית צללים, מה מתאים למה?

גובה לגובה וצל לצל
גובה לצל תמיד
שטח להיקף
זווית למרחק במפה

4.למה צריך למדוד באותה שעה?

כדי שזווית השמש תהיה זהה
כדי שהעץ לא יזוז
כדי שהמספרים יהיו שלמים
כי אי אפשר למדוד צל בערב

5.קנה מידה: $1$ ס"מ מייצג $250$ מ'. מה מייצגים $3.6$ ס"מ?

$900$ מ'
$90$ מ'
$253.6$ מ'
$69.4$ מ'

6.בדגם יחס $1 : 20$ . אורך בדגם $6$ ס"מ. מה האורך האמיתי?

$120$ ס"מ
$26$ ס"מ
$0.3$ ס"מ
$14$ ס"מ

7.מהי טעות נפוצה ביישומי דמיון?

ערבוב יחידות
כתיבת פרופורציה
בדיקת סבירות
מדידת צל

8.אם צל של עצם ארוך פי $4$ מצל מקל באותה שעה, מה אפשר לומר על הגובה?

הגובה גדול פי $4$
הגובה קטן פי $4$
הגובה שווה
אין קשר תמיד

9.מה מתאים במפת דרכים?

מרחק במפה למרחק במציאות
גובה עץ לצל
שטח למספר רחובות
זווית לצבע

10.מה צריך לעשות אם נתון בדגם בסנטימטרים והתשובה במטרים?

להמיר יחידות
להשאיר סנטימטרים בלי לציין
להכפיל בזווית
להעלות בריבוע

11.מה הופך שתי מדידות צללים למשולשים דומים?

אותה זווית שמש וזווית ישרה עם הקרקע
אותו צבע של צל
אותו גובה
אותו היקף

12.מהי בדיקת סבירות טובה לגובה עץ?

האם התוצאה מתאימה לאורך הצל ביחס למקל
האם המספר ראשוני
האם התוצאה בלי יחידות
האם יש ארבע צלעות

13.אדם $1.6$ מ' מטיל צל $2$ מ'. עץ ליד מטיל צל $10$ מ'. גובה העץ?

$8$ מ'
$12.5$ מ'
$5$ מ'
$16$ מ'

14.מודל מטוס בקנ"מ $1 : 48$ . אורך הדגם $30$ ס"מ. אורך אמיתי?

$14.4$ מ'
$1.44$ מ'
$144$ מ'
$30$ מ'

15.מפה $1 : 25, 000$ . מרחק במפה $4$ ס"מ. מרחק אמיתי?

$1$ ק"מ
$10$ ק"מ
$100$ מ'
$25, 000$ מ'

16.תכנית קומה בקנ"מ $1 : 50$ . שטח דירה בתכנית $10$ סמ"ר. שטח אמיתי?

$2.5$ מ"ר
$500$ מ"ר
$25$ מ"ר
$50$ מ"ר

17.צילום הוקטן ביחס $1 : 5$ . שטח מקור $500$ סמ"ר. שטח חדש?

$20$ סמ"ר
$100$ סמ"ר
$2500$ סמ"ר
$\frac{500}{5} = 100$ סמ"ר

18.טכניקת מראה: עין במרחק $3$ מ' מהמראה, גובה עין $1.6$ מ'. עצם במרחק $9$ מ' מהמראה. גובה העצם?

$4.8$ מ'
$3.2$ מ'
$9$ מ'
$1.8$ מ'

19.במפה $1 : 1000$ , אם רוצים לחשב שטח, פי כמה יש להעלות את היחס?

$1 0^{6} (k^{2})$
$1 0^{3}$
$1 0^{9}$
$1000$

20.בעיית צל: שני אובייקטים מטילים צללים באותה שעה. הם דומים כי:

זווית השמש זהה לכל הצללים באותו רגע
כל אובייקט מטיל אותו צל
החום שווה
הקרינה מכל הצדדים

21.דגם בית בקנ"מ $1 : 20$ . אורך אמיתי של דלת $2$ מ'. אורך הדלת בדגם?

$10$ ס"מ
$40$ ס"מ
$1$ ס"מ
$100$ ס"מ

22.ארטוסתנס מדד את היקף כדור הארץ באמצעות:

דמיון משולשים על ידי צל מקל וזווית השמש
מד-לייזר
ספירה ידנית
טלסקופ