שימושים בדמיון

מדידה עקיפה, צללים, מפות ודגמים

מה בונים במודול?

דמיון מאפשר למדוד דברים שקשה למדוד ישירות: גובה עץ, רוחב נהר או אורך בדגם. הרעיון תמיד דומה: בונים שתי צורות דומות, מודדים את מה שאפשר, ומוצאים את מה שחסר.

לזהות משולשים דומים במציאות

נזהה מתי זוויות או קנה מידה יוצרים דמיון.

לבנות יחס

נכתוב פרופורציה בין אורך אמיתי, צל, מפה או דגם.

לשמור יחידות

נמיר יחידות כשצריך לפני החישוב.

לבדוק תשובה

נשווה את התוצאה להקשר כדי לוודא שהיא סבירה.

השאלה המרכזית

בבעיות מציאות, הקושי אינו רק לחשב. הקושי הוא לבחור אילו גדלים מתאימים זה לזה. גובה מתאים לגובה, צל מתאים לצל, מרחק במפה מתאים למרחק במציאות.

מדידת גובה עץ בעזרת צל ודמיון משולשים — קרני השמש יוצרות משולשים דומים: גובה מול צל של אדם, וגובה מול צל של עץ.

טוען סימולציה...

מדידה עקיפה בעזרת דמיון

כאשר שני מצבים יוצרים משולשים דומים, היחס בין גובה לצל נשמר.

אם לאדם בגובה $1.6$ מטר יש צל של $2$ מטר, ולעץ יש צל של $9$ מטר, נשתמש בפרופורציה $\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}$ .

$\frac{גובה קטן}{צל קטן} = \frac{גובה גדול}{צל גדול}$

ההיגיון חשוב: אם לעץ צל ארוך יותר באותו זמן, גם הגובה שלו אמור להיות גדול יותר.

יחס גובה לצל

\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}

שני משולשי צל

היחס $\frac{גובה}{צל}$ נשמר כי זווית השמש זהה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

$math/017-ruler$

מזהים זוגות

גובה מתאים לגובה וצל מתאים לצל.

במפה, מרחק במפה מתאים למרחק במציאות.

מאחדים יחידות

לא מערבבים סנטימטרים ומטרים באותו שבר.

ממירים לפני הפרופורציה או כותבים יחידות בבירור.

בודקים הקשר

עץ לא אמור לצאת בגובה $0.2$ מטר אם צלו ארוך מאוד.

מפה בקנה מידה קטן צריכה לתת מרחק מציאותי גדול יותר.

דוגמה פתורה: גובה עץ

שלב 1 מתוך 3

\frac{1.6}{2} = \frac{h}{9}

איזה יחס נשמר?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

צללים

אם שני עצמים נמדדים באותה שעה ובאותו מקום, קרני השמש יוצרות זווית זהה ולכן מתקבלים משולשים דומים.

מפות

קנה מידה הוא יחס דמיון בין ציור קטן לבין המציאות.

דגמים

דגם מכונית ביחס $\frac{1}{20}$ אומר שכל אורך בדגם הוא אחד חלקי עשרים מהאורך האמיתי.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להתאים גובה של מקל לצל של עמוד באותו שבר.

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

בבעיות מציאות כותבים יחידות

רוב הטעויות ביישומי דמיון הן התאמת גדלים לא נכונה או ערבוב יחידות. כתיבת היחידות ליד כל מספר מגלה את הטעות בזמן.

סמנו מה מייצג כל מספר.
התאימו גובה לגובה, צל לצל, מפה למציאות.
המירו יחידות לפני התשובה הסופית.

שאלה לחשיבה

למה חשוב למדוד את האדם ואת העץ באותה שעה כשמשתמשים בצללים?

כי זווית השמש משתנה במשך היום. אם הזווית אינה זהה, המשולשים שנוצרים אינם בהכרח דומים באותו יחס.

אותו רעיון משמש גם בצילום ובאדריכלות: דגם מוקטן חייב לשמור על יחס קבוע בכל המידות כדי לייצג את המבנה האמיתי.

טכניקת המראה: מדידה עקיפה ללא צל

כשאין שמש או רוצים לעבוד גם בצל, יש טכניקה אחרת: מציבים מראה שטוחה על הקרקע. תלמיד שמסתכל במראה מנקודה מסוימת יראה את ראש העצם הגבוה. שני משולשים נוצרים: הצופה והמראה, והעצם והמראה. הם דומים לפי ז.ז (זווית פגיעה = זווית החזרה, וזווית ישרה לקרקע).

מבנה הדמיון בטכניקת המראה

אור מהראש של עצם נופל על המראה ומוחזר לעין הצופה. שני משולשים ישרי-זווית עם זווית משותפת.

תניחו שמראה במרחק $d_{1}$ מהצופה ובמרחק $d_{2}$ מהעצם. גובה עיני הצופה הוא $h_{1}$ וגובה ראש העצם הוא $h_{2}$ (לא ידוע - מה שמחפשים). שני המשולשים: צופה-מראה ועצם-מראה דומים לפי ז.ז. לכן $\frac{h _{1}}{d _{1}} = \frac{h _{2}}{d _{2}}$ , ו- $h_{2} = h_{1} \cdot \frac{d _{2}}{d _{1}}$ .

$h_{2} = h_{1} \cdot \frac{d _{2}}{d _{1}}$

השיטה עובדת בלי שמש, גם בתוך מבנים.

סיכום שיטות מדידה עקיפה

שיטה	מה צריך למדוד	פרופורציה	תנאי להצלחה
צל ושמש	גובה עזר, צל עזר, צל עצם	$\frac{h _{1}}{s _{1}} = \frac{h _{2}}{s _{2}}$	באותו זמן, אותה זווית שמש
מראה	גובה עיני צופה, מרחק לצופה, מרחק לעצם	$\frac{h _{1}}{d _{1}} = \frac{h _{2}}{d _{2}}$	מראה שטוחה, רגלי הצופה והעצם בגובה אחד
מקלות בכף יד	אורך מקל, מרחק לעין, מרחק לעצם	$\frac{m}{d _{עין}} = \frac{h}{d _{עצם}}$	מקל אנכי, יד יציבה
צילום	גובה אובייקט קטן ידוע בתמונה, גובה אובייקט גדול בתמונה	$\frac{h _{אמיתי 1}}{h _{תמונה 1}} = \frac{h _{אמיתי 2}}{h _{תמונה 2}}$	באותו צילום, אותו עומק

דוגמה פתורה: גובה עץ עם מראה

שלב 1 מתוך 3

מראה במרחק 4 מ’ מצופה ו-12 מ’ מעץ. עיני הצופה בגובה 1.6 מ’. גובה העץ?

שני משולשים דומים לפי ז.ז: זווית ישרה לקרקע ובכל אחד אותה זווית פגיעה.

△_{צופה} \sim △_{עץ}

$math/014-geometry$ סקירה: היכן דמיון מופיע במציאות

מפות וניווט

כל מפה היא הקטנה דומה של אזור גיאוגרפי. קנה מידה $1 : 50, 000$ פירושו $1$ ס"מ במפה = $500$ מ'.

תכניות בנייה

אדריכלים משרטטים תכניות בקנ"מ $1 : 50$ או $1 : 100$ . דגם מוקטן של בניין בקנ"מ $1 : 200$ .

צילום והדפסה

תצלום הוא צורה דומה של הסצנה האמיתית. תמונה ברזולוציה גבוהה אפשר להגדיל מבלי לאבד יחסים.

מודלים מדעיים

מודל מערכת השמש בכיתה הוא הקטנה דומה של היחסים האמיתיים בין כוכבי הלכת לשמש.

מסכים ופרופורציות

מסכי טלוויזיה ביחס $16 : 9$ הם דומים זה לזה גם בגדלים שונים, מ- $32$ אינץ' ל- $65$ אינץ'.

אנטומיה השוואתית

בעלי חיים מאותו מין בגדלים שונים הם דומים אנטומית: יחסי גוף נשמרים בקירוב.

המרות יחידות הן חצי הקרב

ביישומי דמיון, הרבה טעויות אינן בגיאומטריה אלא ביחידות. תמיד ודאו: מודל ומציאות באותה יחידה לפני חישוב, או שאתם יודעים את ההמרה.

1

מ'=

100

ס"מ.

1

מ"ר=

10, 000

ס"מ"ר.

1

ק"מ=

1000

מ'.

שאלה לחשיבה

למה פיצה מוגדרת לפי קוטר ולא לפי שטח?

מבחינת מסעדה, הקוטר קל למדוד פיזית, וגם נשמע גדול יותר (' $40$ ס"מ' מרשים יותר מ-' $1256$ סמ"ר'). אבל לצרכן הזכר ש- $k^{2}$ פירושו פיצה $40$ ס"מ מספקת יותר מאשר פי $1.33$ פיצה של $30$ ס"מ - היא מספקת פי $\frac{4 0 ^{2}}{3 0 ^{2}} = \frac{16}{9} \approx 1.78$ .

אסטרטגיית פתרון בעיות מציאות

במצבי מציאות עברו לפי הסדר:

1. תרגם את המצב למודל גיאומטרי - איזה משולשים? איזה דמיון?
2. זהה את היחס בין הגדלים הנתונים.
3. בנה פרופורציה.
4. שמור על אחידות יחידות.
5. בדוק סבירות התשובה - היגיון מציאותי.

סביב

240

לפנה"ס, ארטוסתנס היווני מדד את היקף כדור הארץ באמצעות דמיון. בעיר אסואן בצהרי

21

ביוני, השמש האירה ישר לתוך באר עמוקה - כלומר זווית השמש היתה

0

. באותה שעה באלכסנדריה (

800

ק"מ צפונה), הוא מדד צל מקל אנכי וחישב זווית של

7. 2^{\circ}

. אם

800

ק"מ מקבילים לזווית של

7. 2^{\circ} (= \frac{1}{50}

ממעגל מלא), אז ההיקף הכולל =

50 \cdot 800 = 40, 000

ק"מ. הערך המקובל היום הוא

40, 075

ק"מ - דיוק של פחות מ-

1%

, רק עם דמיון משולשים, לפני

2, 300

שנה.

שאלה 1 מתוך 22

אדם $1.6$ מ' מטיל צל $2$ מ'. עץ מטיל צל $9$ מ'. מה גובה העץ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שימושים בדמיון כבר מוכן.

פתחו תרגול

שימושים בדמיון

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

מדידה עקיפה בעזרת דמיון

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

מזהים זוגות

מאחדים יחידות

בודקים הקשר

דוגמה פתורה: גובה עץ

דוגמאות שמחזקות את הכלל

שלוש נקודות עוגן

צללים

מפות

דגמים

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

בבעיות מציאות כותבים יחידות

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

טכניקת המראה: מדידה עקיפה ללא צל

מבנה הדמיון בטכניקת המראה

סיכום שיטות מדידה עקיפה

דוגמה פתורה: גובה עץ עם מראה

$math/014-geometry$ סקירה: היכן דמיון מופיע במציאות

מפות וניווט

תכניות בנייה

צילום והדפסה

מודלים מדעיים

מסכים ופרופורציות

אנטומיה השוואתית

המרות יחידות הן חצי הקרב

שאלה לחשיבה

אסטרטגיית פתרון בעיות מציאות

ארטוסתנס מודד את כדור הארץ

אדם $1.6$ מ' מטיל צל $2$ מ'. עץ מטיל צל $9$ מ'. מה גובה העץ?