גרסת הדפסה | החוברת

במצולעים צריך גם זוויות וגם יחס צלעות

מה בונים במודול?

במשולשים משפט ז.ז נותן קיצור דרך. במצולעים עם ארבע צלעות או יותר אין קיצור כזה בדרך כלל: שוויון זוויות אינו מספיק, וצריך לבדוק גם יחס קבוע בין צלעות מתאימות.

להגדיר דמיון מצולעים: נשלב זוויות מתאימות שוות ויחסי צלעות מתאימות קבועים.
להבין דוגמאות נגד: נראה מדוע כל המלבנים אינם בהכרח דומים.
לזהות משפחות דומות: נוכיח שכל הריבועים דומים זה לזה.
לחשב יחס: נחשב יחס דמיון מתוך צלעות במצולעים.

השאלה המרכזית

בדמיון מצולעים, שני תנאים עובדים יחד. זוויות מתאימות צריכות להיות שוות, אבל גם היחסים בין הצלעות המתאימות צריכים להיות שווים. מלבנים מלמדים את הרעיון היטב: לכל מלבן יש ארבע זוויות ישרות, אבל היחס בין אורך לרוחב יכול להשתנות.

שני מלבנים עם זוויות שוות אך יחסי צלעות שונים — שני מלבנים יכולים להיות שווי זוויות, ועדיין לא להיות דומים כי יחס הצלעות שונה.

שני תנאים לדמיון מצולעים

מצולעים דומים אם הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות נמצאות ביחס קבוע.

\frac{צלע מתאימה 1}{צלע מקורית 1} = \frac{צלע מתאימה 2}{צלע מקורית 2} = \dots = k

כל הריבועים דומים כי כל הזוויות ישרות וכל יחס צלעות מתאים שווה. לא כל המלבנים דומים.

יחס צלעות במצולעים

\frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c} = \frac{d ^{'}}{d} = k

ריבועים מול מלבנים

כל שני ריבועים

כל הזוויות ישרות וכל הצלעות בתוך כל ריבוע שוות.

ריבוע צלע $4$ וריבוע צלע $10$ דומים ביחס $\frac{10}{4}$ .

לא כל שני מלבנים

הזוויות שוות, אבל היחס אורך:רוחב יכול להיות שונה.

מלבן $2 \times 4$ ומלבן $3 \times 4$ אינם דומים.

במצולעים, זוויות שוות הן רק חצי מהבדיקה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

בדיקת זוויות

ודאו שהזוויות המתאימות שוות.
במרובעים רבים זה קל כי כל הזוויות ישרות.

בדיקת צלעות

חשבו יחס לכל זוג צלעות מתאימות.
יחס אחד שונה מספיק כדי לשלול דמיון.

דוגמה נגד

כאשר טענה אומרת 'כל', מספיק מקרה נגד אחד.
מלבנים הם מקור מצוין לדוגמאות נגד.

דוגמה פתורה: שני מלבנים

2 \times 4 מול 3 \times 6

הזוויות מתאימות כי שני המצולעים מלבנים.
$כל הזוויות 9 0^{\circ}$
בודקים יחסי צלעות מתאימות.
$\frac{3}{2} = 1.5, \frac{6}{4} = 1.5$

תשובה:

המלבנים דומים ביחס 1.5

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

ריבועים

כל שני ריבועים דומים כי יחס כל צלעותיהם הוא אותו יחס.

מלבנים

מלבנים $2 \times 5$ ו- $4 \times 10$ דומים, אבל $2 \times 5$ ו- $4 \times 8$ אינם דומים.

מחומשים

גם אם כל הזוויות מתאימות שוות, עדיין צריך לבדוק את יחסי חמש הצלעות.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להסתפק בכך ששניהם מלבנים בלי לבדוק צלעות.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

איך ייתכן ששני מלבנים עם אותן זוויות אינם דומים?

מצולעים משוכללים: דמיון אוטומטי

מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. דוגמאות: משולש שווה-צלעות, ריבוע, מחומש משוכלל, משושה משוכלל. תכונה חשובה: כל שני מצולעים משוכללים בעלי אותו מספר צלעות הם דומים.

למה כל שני מצולעים משוכללים מאותו סוג דומים

המבנה של מצולע משוכלל קובע באופן יחיד את הצורה שלו, ולכן רק הגודל יכול להשתנות.

∠ = \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

תוצאה: כל שני משולשים שווי-צלעות דומים. כל שני ריבועים דומים. כל שני מחומשים משוכללים דומים. וכן הלאה.

זוויות במצולעים משוכללים

מצולע	מספר צלעות $n$	זווית פנימית	כל שניים דומים?
משולש שווה-צלעות	$3$	$6 0^{\circ}$	כן
ריבוע	$4$	$9 0^{\circ}$	כן
מחומש משוכלל	$5$	$10 8^{\circ}$	כן
משושה משוכלל	$6$	$12 0^{\circ}$	כן
משובע משוכלל	$7$	$\approx 128.5 7^{\circ}$	כן
מתומן משוכלל	$8$	$13 5^{\circ}$	כן

דוגמה פתורה: שני משושים משוכללים

משושה משוכלל א: צלע 4 משושה משוכלל ב: צלע 10

במשושה משוכלל כל זווית פנימית היא $12 0^{\circ}$ .
$∠ = \frac{( 6 - 2 ) \cdot 180}{6} = 12 0^{\circ}$
כל הזוויות המתאימות שוות ( $12 0^{\circ}$ ). יחס הצלעות $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ , וקבוע כי כל הצלעות שוות בכל משושה.
$k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
מסקנה: המשושים דומים ביחס $\frac{5}{2}$ .
$משושה א \sim משושה ב, k = \frac{5}{2}$

תשובה:

k = \frac{5}{2}

ארבעה זוגות מצולעים: דומים או לא?

שני ריבועים

תמיד דומים. הזוויות $9 0^{\circ}$ זהות, וכל הצלעות שוות בתוך כל ריבוע.

ריבוע בצלע $3$ ובצלע $5$ דומים ביחס $\frac{5}{3}$ .

שני מלבנים

לא תמיד דומים. צריך לבדוק יחס אורך/רוחב.

$4 \times 6$ ו- $6 \times 9$ דומים. $4 \times 6$ ו- $5 \times 7$ לא.

שני מעוינים

לא תמיד דומים. הזוויות יכולות להיות שונות.

מעוין $6 0^{\circ}$ ומעוין $8 0^{\circ}$ אינם דומים.

שני מצולעים משוכללים

אם הם בעלי אותו מספר צלעות, תמיד דומים.

כל שני מחומשים משוכללים דומים, גם אם בגדלים שונים.

האם ייתכן שני מצולעים בעלי שטח שווה אך אינם דומים?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה נדרש לדמיון מצולעים?

זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות מתאימות קבוע
רק זוויות שוות
רק היקפים שווים
אותו מספר צבעים

2.האם כל שני ריבועים דומים?

כן
לא
רק אם הצלעות שוות
רק אם השטחים שווים

3.האם כל שני מלבנים דומים?

לא
כן
רק אם ההיקפים שווים
רק אם האלכסונים שווים

4.מלבנים $2 \times 4$ ו- $3 \times 6$ . מה נכון?

דומים ביחס $1.5$
אינם דומים
חופפים
יחס השטחים $1.5$

5.מלבנים $2 \times 4$ ו- $3 \times 4$ . מה נכון?

אינם דומים
דומים כי הזוויות שוות
חופפים
יחס הדמיון $2$

6.איזו משפחה תמיד דומה לעצמה?

ריבועים
כל המלבנים
כל המרובעים
כל הטרפזים

7.מהי דוגמה נגד לטענה 'כל המלבנים דומים'?

מלבנים $2 \times 4$ ו- $3 \times 4$
ריבועים $2 \times 2$ ו- $5 \times 5$
משולשים עם אותן זוויות
אותו מלבן מועתק

8.למה שוויון זוויות במצולעים אינו מספיק?

כי יחסי הצלעות יכולים להשתנות
כי זוויות לא קיימות במצולעים
כי צלעות תמיד שוות
כי צריך רק שטחים

9.מחומשים עם כל הזוויות שוות. מה עוד צריך לבדוק?

יחס צלעות מתאימות
מספר הקודקודים
שם המצולע בלבד
היקף בלבד

10.מה יחס הדמיון בין ריבוע צלע $6$ לריבוע צלע $15$ מהראשון לשני?

$\frac{5}{2}$
$\frac{2}{5}$
$9$
$21$

11.במצולעים דומים, מה קורה לזוויות מתאימות?

הן שוות
הן מוכפלות ב- $k$
הן מוכפלות ב- $k^{2}$
הן מתחלפות ללא קשר

12.מהי בדיקה טובה למלבנים?

להשוות יחס אורך לרוחב
לבדוק רק שיש ארבע זוויות
לחבר את הצלעות
למדוד צבעים

13.כל שני מצולעים משוכללים בעלי אותו מספר צלעות הם:

תמיד דומים
תמיד חופפים
אף פעם לא דומים
תלוי בצבע

14.ריבוע ומעוין שצלעו $5$ וזווית $6 0^{\circ}$ . דומים?

לא, זוויות שונות
כן, אותן צלעות
כן, ביחס $1$
תלוי בכיוון

15.שני משושים משוכללים בצלעות $4$ ו- $10$ . מהו $k$ ?

$\frac{5}{2}$
$\frac{2}{5}$
$10$
$1$

16.כדי שטרפז יהיה דומה לטרפז אחר, צריך:

כל הזוויות שוות וכל הצלעות פרופורציוניות
רק הבסיסים פרופורציוניים
רק שתי זוויות שוות (כמו ז.ז)
רק שווי-שטח

17.מצולע א: $4, 4, 4, 4, 4$ , כל הזוויות $10 8^{\circ}$ . מצולע ב: $6, 6, 6, 6, 6$ , זוויות שונות. דומים?

לא, זוויות שונות
כן, צלעות פרופורציוניות
כן, ביחס $\frac{3}{2}$
אי אפשר להחליט

18.במלבנים, התנאי השקול לדמיון הוא:

יחס אורך לרוחב זהה
השטחים שווים
ההיקפים שווים
שניהם בעלי אותה זווית קודקוד

19.כמה ריבועים שונים יכולים להיות דומים זה לזה?

כל הריבועים תמיד דומים
רק שניים
תלוי בצלע
רק ריבועים בעלי אותה צלע

20.מלבן $4 \times 8$ ומלבן $6 \times 12$ . דומים?

כן, יחס $1 : 2$ בשניהם
לא, גודל שונה
כן, אותו שטח
אי אפשר להחליט

21.האם שני מעוינים תמיד דומים?

לא, הזוויות יכולות להיות שונות
כן, תמיד
רק אם הצלעות שוות
תלוי בשטח

22.מצולע א בעל 6 צלעות. כדי לבדוק דמיון למצולע ב, כמה זוגות צלעות צריך לבדוק?

כל 6 הזוגות
רק זוג אחד
שני זוגות
ארבעה זוגות בלבד