דמיון מצולעים

במצולעים צריך גם זוויות וגם יחס צלעות

מה בונים במודול?

במשולשים משפט ז.ז נותן קיצור דרך. במצולעים עם ארבע צלעות או יותר אין קיצור כזה בדרך כלל: שוויון זוויות אינו מספיק, וצריך לבדוק גם יחס קבוע בין צלעות מתאימות.

להגדיר דמיון מצולעים

נשלב זוויות מתאימות שוות ויחסי צלעות מתאימות קבועים.

להבין דוגמאות נגד

נראה מדוע כל המלבנים אינם בהכרח דומים.

לזהות משפחות דומות

נוכיח שכל הריבועים דומים זה לזה.

לחשב יחס

נחשב יחס דמיון מתוך צלעות במצולעים.

השאלה המרכזית

בדמיון מצולעים, שני תנאים עובדים יחד. זוויות מתאימות צריכות להיות שוות, אבל גם היחסים בין הצלעות המתאימות צריכים להיות שווים. מלבנים מלמדים את הרעיון היטב: לכל מלבן יש ארבע זוויות ישרות, אבל היחס בין אורך לרוחב יכול להשתנות.

שני מלבנים עם זוויות שוות אך יחסי צלעות שונים — שני מלבנים יכולים להיות שווי זוויות, ועדיין לא להיות דומים כי יחס הצלעות שונה.

טוען סימולציה...

$math/014-geometry$ שני תנאים לדמיון מצולעים

מצולעים דומים אם הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות נמצאות ביחס קבוע.

במשולשים יש משפט מיוחד שמקצר את הבדיקה. במרובעים ובמצולעים אחרים, שוויון זוויות בלבד לא מבטיח שהצורה נשמרה.

$\frac{צלע מתאימה 1}{צלע מקורית 1} = \frac{צלע מתאימה 2}{צלע מקורית 2} = \dots = k$

כל הריבועים דומים כי כל הזוויות ישרות וכל יחס צלעות מתאים שווה. לא כל המלבנים דומים.

יחס צלעות במצולעים

\frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c} = \frac{d ^{'}}{d} = k

ריבועים מול מלבנים

כל שני ריבועים

כל הזוויות ישרות וכל הצלעות בתוך כל ריבוע שוות.

דוגמה: ריבוע צלע $4$ וריבוע צלע $10$ דומים ביחס $\frac{10}{4}$ .

לא כל שני מלבנים

הזוויות שוות, אבל היחס אורך:רוחב יכול להיות שונה.

דוגמה: מלבן $2 \times 4$ ומלבן $3 \times 4$ אינם דומים.

במצולעים, זוויות שוות הן רק חצי מהבדיקה.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

$math/029-angle$

בדיקת זוויות

ודאו שהזוויות המתאימות שוות.

במרובעים רבים זה קל כי כל הזוויות ישרות.

בדיקת צלעות

חשבו יחס לכל זוג צלעות מתאימות.

יחס אחד שונה מספיק כדי לשלול דמיון.

דוגמה נגד

כאשר טענה אומרת 'כל', מספיק מקרה נגד אחד.

מלבנים הם מקור מצוין לדוגמאות נגד.

דוגמה פתורה: שני מלבנים

שלב 1 מתוך 2

2 \times 4 מול 3 \times 6

האם תנאי הזוויות מתקיים?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

$math/004-square$ שלוש נקודות עוגן

ריבועים

כל שני ריבועים דומים כי יחס כל צלעותיהם הוא אותו יחס.

מלבנים

מלבנים $2 \times 5$ ו- $4 \times 10$ דומים, אבל $2 \times 5$ ו- $4 \times 8$ אינם דומים.

מחומשים

גם אם כל הזוויות מתאימות שוות, עדיין צריך לבדוק את יחסי חמש הצלעות.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

להסתפק בכך ששניהם מלבנים בלי לבדוק צלעות.

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

במצולעים אין קיצור דרך כמו ז.ז

במרובע או מחומש, אל תעצרו אחרי הזוויות. בדקו גם צלעות מתאימות.

בדקו זוויות מתאימות.
חשבו יחסי צלעות מתאימות.
חפשו יחס אחד קבוע בכל הצלעות.

שאלה לחשיבה

איך ייתכן ששני מלבנים עם אותן זוויות אינם דומים?

כי דמיון שומר גם על היחס בין הצלעות. מלבן צר וארוך ומלבן כמעט ריבועי יכולים להיות שווי זוויות, אבל הצורה שלהם אינה אותה צורה בהגדלה אחידה.

מסכי טלפון, טאבלט ומחשב מתוארים לעיתים לפי יחס ממדים. שני מסכים עם אותו יחס ממדים הם דומים מבחינת המסגרת, גם אם הגודל הפיזי שלהם שונה.

$math/044-geometry$ מצולעים משוכללים: דמיון אוטומטי

מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. דוגמאות: משולש שווה-צלעות, ריבוע, מחומש משוכלל, משושה משוכלל. תכונה חשובה: כל שני מצולעים משוכללים בעלי אותו מספר צלעות הם דומים.

למה כל שני מצולעים משוכללים מאותו סוג דומים

המבנה של מצולע משוכלל קובע באופן יחיד את הצורה שלו, ולכן רק הגודל יכול להשתנות.

במצולע משוכלל בעל $n$ צלעות, כל זווית פנימית שווה ל- $\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$ , ערך הקבוע שתלוי רק ב- $n$ . אם שני מצולעים בעלי $n$ צלעות הם משוכללים, הזוויות שלהם זהות. הצלעות בכל אחד שוות, ולכן יחס הצלעות בין השניים הוא קבוע (אורך צלע אחד חלקי אורך צלע השני).

$∠ = \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$

תוצאה: כל שני משולשים שווי-צלעות דומים. כל שני ריבועים דומים. כל שני מחומשים משוכללים דומים. וכן הלאה.

זוויות במצולעים משוכללים

מצולע	מספר צלעות $n$	זווית פנימית	כל שניים דומים?
משולש שווה-צלעות	$3$	$6 0^{\circ}$	כן
ריבוע	$4$	$9 0^{\circ}$	כן
מחומש משוכלל	$5$	$10 8^{\circ}$	כן
משושה משוכלל	$6$	$12 0^{\circ}$	כן
משובע משוכלל	$7$	$\approx 128.5 7^{\circ}$	כן
מתומן משוכלל	$8$	$13 5^{\circ}$	כן

דוגמה פתורה: שני משושים משוכללים

שלב 1 מתוך 3

משושה משוכלל א: צלע 4 משושה משוכלל ב: צלע 10

במשושה משוכלל כל זווית פנימית היא $12 0^{\circ}$ .

∠ = \frac{( 6 - 2 ) \cdot 180}{6} = 12 0^{\circ}

ארבעה זוגות מצולעים: דומים או לא?

שני ריבועים

תמיד דומים. הזוויות $9 0^{\circ}$ זהות, וכל הצלעות שוות בתוך כל ריבוע.

דוגמה: ריבוע בצלע $3$ ובצלע $5$ דומים ביחס $\frac{5}{3}$ .

שני מלבנים

לא תמיד דומים. צריך לבדוק יחס אורך/רוחב.

דוגמה: $4 \times 6$ ו- $6 \times 9$ דומים. $4 \times 6$ ו- $5 \times 7$ לא.

שני מעוינים

לא תמיד דומים. הזוויות יכולות להיות שונות.

דוגמה: מעוין $6 0^{\circ}$ ומעוין $8 0^{\circ}$ אינם דומים.

שני מצולעים משוכללים

אם הם בעלי אותו מספר צלעות, תמיד דומים.

דוגמה: כל שני מחומשים משוכללים דומים, גם אם בגדלים שונים.

כלל אצבע למצולעים

ככל שמספר הצלעות במצולע גדול יותר, יש יותר זוגות צלעות וזוגות זוויות לבדיקה. תמיד עובדים במסודר: מתחילים ממיון לפי סוג מצולע, ממשיכים בזוויות, ומסיימים בצלעות. אסור לדלג על שלב.

שאלה לחשיבה

האם ייתכן שני מצולעים בעלי שטח שווה אך אינם דומים?

בהחלט. ריבוע בצלע $4$ ומלבן $2 \times 8$ שניהם בעלי שטח $16$ , אבל הם לא דומים. שטח שווה הוא לא תנאי לדמיון. דמיון נקבע על ידי שני התנאים: זוויות וצלעות פרופורציוניות.

סיכום הבדיקה במצולעים

במצולעים בעלי 4+ צלעות, חייבים לבדוק את כל המרכיבים האלה:

1. זוויות מתאימות שוות (כל זוג זוויות).
2. יחס צלעות מתאימות קבוע (כל זוג צלעות).
3. סדר ההתאמה תואם (קודקוד 1 בא' לקודקוד 1 בב', וכו').
4. שני התנאים בו זמנית - לא או-או.

פרקטל הוא צורה מתמטית שכוללת את עצמה בקנה מידה קטן יותר. למשל, משולש סרפינסקי בנוי מהמשולש המקורי שבתוכו יש שלושה משולשים דומים לו, ובכל אחד מהם שלושה משולשים נוספים, וכן הלאה. דמיון הוא ההגדרה המתמטית של 'דמיון עצמי' - תכונה מרתקת המופיעה בצמחים, בענפי עצים, ואפילו בקווי החוף של ארצות.

שאלה 1 מתוך 22

מצולע א: $4, 4, 4, 4, 4$ , כל הזוויות $10 8^{\circ}$ . מצולע ב: $6, 6, 6, 6, 6$ , זוויות שונות. דומים?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של דמיון מצולעים כבר מוכן.

פתחו תרגול

דמיון מצולעים

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

שני תנאים לדמיון מצולעים

ריבועים מול מלבנים

כל שני ריבועים

לא כל שני מלבנים

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

בדיקת זוויות

בדיקת צלעות

דוגמה נגד

דוגמה פתורה: שני מלבנים

דוגמאות שמחזקות את הכלל

שלוש נקודות עוגן

ריבועים

מלבנים

מחומשים

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

במצולעים אין קיצור דרך כמו ז.ז

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

מצולעים משוכללים: דמיון אוטומטי

למה כל שני מצולעים משוכללים מאותו סוג דומים

זוויות במצולעים משוכללים

דוגמה פתורה: שני משושים משוכללים

ארבעה זוגות מצולעים: דומים או לא?

שני ריבועים

שני מלבנים

שני מעוינים

שני מצולעים משוכללים

כלל אצבע למצולעים

שאלה לחשיבה

סיכום הבדיקה במצולעים

פרקטלים: דמיון עצמי

מצולע א: 4,4,4,4,4, כל הזוויות 108∘. מצולע ב: 6,6,6,6,6, זוויות שונות. דומים?