גרסת הדפסה | החוברת

שתי זוויות מספיקות כדי לשמור על הצורה

מה בונים במודול?

במשולשים קורה דבר מיוחד: אם מצאנו שני זוגות של זוויות מתאימות שוות, הזוג השלישי שווה אוטומטית כי סכום הזוויות בכל משולש הוא $18 0^{\circ}$ . לכן משפט ז.ז הוא כלי קצר וחזק לקביעת דמיון.

להשתמש במשפט ז.ז: נלמד מדוע שני זוגות זוויות מספיקים לדמיון משולשים.
לחשב זווית שלישית: נשתמש בסכום זוויות במשולש כדי להשלים מידע חסר.
לכתוב סדר נכון: נכתוב $△ A B C \sim △ D E F$ רק כאשר הסדר משקף התאמה.
לזהות נתון לא מספיק: נראה מדוע זווית אחת בלבד לא מספיקה לדמיון.

השאלה המרכזית

משפט ז.ז לא אומר שכל משולש עם זווית אחת שווה דומה למשולש אחר. הוא אומר ששני זוגות זוויות מתאימות שוות מספיקים. לאחר מכן אפשר להשתמש בדמיון כדי להסיק יחסי צלעות.

שני משולשים עם שני זוגות זוויות מתאימות שוות — שני זוגות זוויות מתאימות שוות גוררים גם את הזוג השלישי, ולכן המשולשים דומים.

משפט ז.ז

אם בשני משולשים יש שני זוגות של זוויות מתאימות שוות, אז המשולשים דומים.

△ A B C \sim △ D E F \Leftarrow ∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E

אחרי שמוכיחים דמיון לפי ז.ז, עוברים לצלעות מתאימות וליחסי דמיון.

משפט ז.ז

△ A B C \sim △ D E F \Leftarrow ∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E

התאמת זוויות במשולשים

שתי זוויות שוות בכל משולש מספיקות. הזווית השלישית תהיה

6 0^{\circ}

בשניהם.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

מזהים שני זוגות

חפשו שני זוגות זוויות שוות ומסומנות.
אפשר להשתמש בזוויות קודקודיות, מתחלפות או מתאימות אם יש נתון מתאים.

משלימים זווית

אם חסרה זווית, מחשבים $18 0^{\circ}$ פחות שתי הזוויות האחרות.
השלמה זו יכולה לחשוף זוג זוויות שווה נוסף.

כותבים לפי סדר

האות הראשונה במשולש הראשון מתאימה לאות הראשונה במשולש השני.
סדר נכון מונע יחס צלעות שגוי בהמשך.

דוגמה פתורה: השלמת זווית שלישית

△ A B C : 5 0^{\circ}, 7 0^{\circ} △ D E F : 5 0^{\circ}, 7 0^{\circ}

מחשבים את הזווית השלישית בכל משולש.
$18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$
יש שני זוגות זוויות שוות, ולכן לפי ז.ז המשולשים דומים.
$△ A B C \sim △ D E F$

תשובה:

△ A B C \sim △ D E F

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

זוויות קודקודיות

בשרטוט עם שני ישרים נחתכים, זוויות קודקודיות שוות יכולות לספק זוג זוויות אחד לדמיון.

ישרים מקבילים

אם יש ישרים מקבילים, זוויות מתחלפות או מתאימות יכולות להיות שוות וליצור הוכחת ז.ז.

נתון לא מספיק

זווית אחת שווה אינה מספיקה, כי אפשר לבנות אינסוף משולשים שונים עם אותה זווית אחת.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לחשוב שצריך לדעת צלעות לפני שמפעילים משפט ז.ז.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

מדוע במשולשים שתי זוויות מספיקות, אבל במצולעים לא תמיד מספיק רק שוויון זוויות?

תצורות קלאסיות של ז.ז

במבחנים, משפט ז.ז מופיע לרוב באחת מתצורות גיאומטריות מוכרות. לזהות את התצורה זה כמעט סיום הפתרון - אחר כך רק מסמנים את הזוויות השוות ומסיקים.

ארבע תצורות שכדאי להכיר

כל תצורה היא 'תבנית' שמופיעה שוב ושוב בבעיות. זיהוי מהיר חוסך זמן יקר.

שתי זוויות שוות \Rightarrow דמיון

תרגול בזיהוי התצורה הזו הופך את ההוכחה לאוטומטית.

תצורות אופייניות לזיהוי דמיון

תצורה	מאפיין מזהה	זוויות שוות	דוגמה
קו מקביל לצלע	$D E ∥ B C$ בתוך $△ A B C$	$∠ A D E = ∠ A B C$ (מתאימים)	$△ A D E \sim △ A B C$
שני ישרי-זווית עם זווית חדה משותפת	שתי זוויות ישרות + זווית משותפת	$9 0^{\circ}$ ועוד אחת	סולם וקיר; שמש ועצים
זוויות אנכיות + מתחלפות	$A B ∥ C D$ ושני המשולשים נוצרים בנקודת חיתוך $M$	אנכיות + מתחלפות	$△ A M B \sim △ D M C$
גובה ליתר	במשולש ישר-זווית, הגובה ליתר	כל משולש קטן עם זווית של המקור	שלושה משולשים דומים

דוגמה פתורה: קו מקביל יוצר דמיון

ב- △ A B C, D על A B, E על A C, D E ∥ B C

הזווית המשותפת ב- $A$ זהה בשני המשולשים.
$∠ D A E = ∠ B A C$
מ- $D E ∥ B C$ נובע ש- $∠ A D E = ∠ A B C$ (זוויות מתאימות).
$∠ A D E = ∠ A B C$
שתי זוויות שוות, ולכן לפי ז.ז המשולשים דומים.
$△ A D E \sim △ A B C$

תשובה:

△ A D E \sim △ A B C

תצורות נוספות בשטח

צל ועץ

כל הצללים בשעה נתונה נמשכים באותו זווית מהשמש. כל עמוד אנכי + צלו יוצר משולש ישר-זווית עם זווית שמש משותפת - כל המשולשים דומים.

עינית חוצה

אם נקודה $P$ נמצאת בתוך משולש ויש שני קווים העוברים בה לכיוון הצלעות, נוצרים משולשים שלעיתים קרובות דומים זה לזה לפי ז.ז.

מעגל וזוויות היקפיות

(העשרה לכיתה ט) זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר הן שוות. זה מקור פוטנציאלי לדמיון משולשים פנימיים במעגל.

טרפז ואלכסונים

באלכסוני טרפז, נקודת החיתוך מחלקת אותו לשני משולשים דומים זה לזה לפי ז.ז (זוויות אנכיות + מתחלפות מהבסיסים המקבילים).

האם משפט ז.ז משמעו ש'דמיון משולשים נקבע על ידי הזוויות בלבד'?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזה נתון מספיק לדמיון משולשים לפי ז.ז?

שני זוגות זוויות מתאימות שוות
זוג צלעות אחד שווה
זווית אחת שווה
היקפים שווים

2.במשולש זוויות $4 0^{\circ}$ ו- $8 0^{\circ}$ . מה הזווית השלישית?

$6 0^{\circ}$
$8 0^{\circ}$
$10 0^{\circ}$
$14 0^{\circ}$

3.אם $∠ A = ∠ D$ ו- $∠ B = ∠ E$ , איזו כתיבה מתאימה?

$△ A B C \sim △ D E F$
$△ A B C \sim △ D F E$
$△ B A C \sim △ D E F$
אין דמיון

4.מדוע הזווית השלישית שווה כאשר שתי הזוויות הראשונות שוות?

כי סכום הזוויות בכל משולש הוא $18 0^{\circ}$
כי כל המשולשים חופפים
כי כל זווית שווה ל- $6 0^{\circ}$
כי הצלעות שוות

5.מה לא מספיק להוכחת דמיון משולשים?

זוג זוויות אחד שווה
שני זוגות זוויות מתאימות שוות
שלוש זוויות מתאימות שוות
ז.ז

6.אחרי שמוכיחים דמיון לפי ז.ז, מה אפשר להסיק?

צלעות מתאימות נמצאות ביחס קבוע
כל הצלעות שוות
השטחים שווים תמיד
המשולשים באותו מקום

7.אם $∠ A = ∠ F$ ו- $∠ B = ∠ E$ , מי מתאים ל- $C$ ?

8.איזו טעות נפוצה במשפט ז.ז?

לכתוב סדר אותיות שאינו מתאים לזוויות
לחשב סכום זוויות
להשתמש בשתי זוויות
לבדוק התאמה

9.שני משולשים עם זוויות $3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ . מה נכון?

הם דומים
הם בהכרח חופפים
אין קשר
השטחים שווים

10.מה תפקיד משפט ז.ז בפרק דמיון?

לקבוע דמיון משולשים בלי למדוד את כל הצלעות
לחשב שטח ריבוע
להוכיח שכל מלבן דומה לכל מלבן
להחליף פרופורציות

11.נתון $∠ A = 5 2^{\circ}$ , $∠ B = 6 3^{\circ}$ . מה $∠ C$ ?

$6 5^{\circ}$
$7 5^{\circ}$
$11 5^{\circ}$
$5 2^{\circ}$

12.מה נכון לגבי ז.ז וחפיפה?

ז.ז מוכיח דמיון, לא חפיפה
ז.ז מוכיח תמיד חפיפה
ז.ז אינו קשור לדמיון
ז.ז דורש שלוש צלעות

13.משולש זוויות $4 0^{\circ}, 8 0^{\circ}$ . משולש שני זוויות $6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}$ . דומים?

כן, ז.ז (זווית שלישית בכל אחד היא $6 0^{\circ}, 4 0^{\circ}$ בהתאמה)
לא
צריך לדעת צלעות
תלוי במיקום

14.שני משולשים ישרי-זווית עם זווית חדה משותפת. דומים?

כן, ז.ז ( $9 0^{\circ}$ + הזווית החדה)
לא
רק אם הצלעות שוות
צריך גם צלע משותפת

15.ב- $△ A B C$ , $D$ על $A B$ , $E$ על $A C$ , $D E ∥ B C$ . אז:

$△ A D E \sim △ A B C$
$△ A D E ≅ △ A B C$
אין דמיון
$△ D B C \sim △ A B C$

16.כמה זוגות זוויות צריך כדי להוכיח דמיון משולשים?

שניים
שלושה
אחד
תלוי במשולש

17.שני משולשים שווי-צלעות. דומים?

כן תמיד, כל הזוויות $6 0^{\circ}$
רק אם בעלי אותו צלע
לא
תלוי במיקום

18.במשולש שווה-שוקיים זווית הראש $4 0^{\circ}$ . כל המשולשים שווי-שוקיים בזווית ראש $4 0^{\circ}$ :

דומים זה לזה
חופפים
לא דומים
תלוי בבסיס

19.האם משפט ז.ז עובד במצולעים בעלי 4 צלעות?

לא, רק במשולשים
כן, תמיד
רק במלבנים
רק אם נצמדים

20.בתצורת אלכסונים מצטלבים בטרפז ( $A B ∥ C D$ ), נוצרים שני משולשים. הם:

דומים לפי ז.ז (זוויות אנכיות + מתחלפות)
תמיד חופפים
לא דומים
תלוי באלכסון

21.במשולש ישר-זווית, הגובה ליתר. כמה משולשים נוצרים?

שלושה (כולל המקור), כולם דומים זה לזה
שניים
ארבעה
אחד

22.במשולש זוויות $50, 60, 70$ . במשולש שני זווית אחת $50$ . די לדמיון?

לא, צריך עוד זווית שווה
כן, ז.ז
כן אם הזווית בקודקוד
תלוי בצלעות