דמיון משולשים לפי זוויות
שתי זוויות מספיקות כדי לשמור על הצורה
מה בונים במודול?
השאלה המרכזית
משפט ז.ז לא אומר שכל משולש עם זווית אחת שווה דומה למשולש אחר. הוא אומר ששני זוגות זוויות מתאימות שוות מספיקים. לאחר מכן אפשר להשתמש בדמיון כדי להסיק יחסי צלעות.
משפט ז.ז
אם בשני משולשים יש שני זוגות של זוויות מתאימות שוות, אז המשולשים דומים.
הסיבה היא שסכום הזוויות בכל משולש הוא . אם שתי זוויות כבר שוות לזוויות המתאימות, גם הזווית השלישית מוכרחה להיות שווה.
אחרי שמוכיחים דמיון לפי ז.ז, עוברים לצלעות מתאימות וליחסי דמיון.
משפט ז.ז
התאמת זוויות במשולשים
שתי זוויות שוות בכל משולש מספיקות. הזווית השלישית תהיה בשניהם.
איך בודקים בפועל
כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.
שיטת עבודה
מזהים שני זוגות
חפשו שני זוגות זוויות שוות ומסומנות.
אפשר להשתמש בזוויות קודקודיות, מתחלפות או מתאימות אם יש נתון מתאים.
משלימים זווית
אם חסרה זווית, מחשבים פחות שתי הזוויות האחרות.
השלמה זו יכולה לחשוף זוג זוויות שווה נוסף.
כותבים לפי סדר
האות הראשונה במשולש הראשון מתאימה לאות הראשונה במשולש השני.
סדר נכון מונע יחס צלעות שגוי בהמשך.
דוגמה פתורה: השלמת זווית שלישית
שלב 1 מתוך 2מהי הזווית השלישית?
דוגמאות שמחזקות את הכלל
לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.
שלוש נקודות עוגן
זוויות קודקודיות
בשרטוט עם שני ישרים נחתכים, זוויות קודקודיות שוות יכולות לספק זוג זוויות אחד לדמיון.
ישרים מקבילים
אם יש ישרים מקבילים, זוויות מתחלפות או מתאימות יכולות להיות שוות וליצור הוכחת ז.ז.
נתון לא מספיק
זווית אחת שווה אינה מספיקה, כי אפשר לבנות אינסוף משולשים שונים עם אותה זווית אחת.
טעויות נפוצות
טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.
טעות מול תיקון
הטעות
לחשוב שצריך לדעת צלעות לפני שמפעילים משפט ז.ז.
דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.
התיקון
חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.
דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים . אם מדובר באורך, בודקים .
בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.
אל תדלגו על הסדר
משפט ז.ז מוכיח דמיון, אבל סדר האותיות קובע אילו צלעות מתאימות. טעות בסדר תהפוך חישוב צלעות בהמשך לטעות.
- כתבו זוגות זוויות שוות.
- השלימו את הזוג השלישי אם צריך.
- כתבו את המשולשים לפי אותה התאמה.
שאלה לחשיבה
מדוע במשולשים שתי זוויות מספיקות, אבל במצולעים לא תמיד מספיק רק שוויון זוויות?
במשולש, הזווית השלישית נקבעת על ידי השתיים הראשונות. במצולע עם ארבע צלעות או יותר, גם אם הזוויות שוות, אורכי הצלעות יכולים להשתנות ביחסים שונים.
תצורות קלאסיות של ז.ז
במבחנים, משפט ז.ז מופיע לרוב באחת מתצורות גיאומטריות מוכרות. לזהות את התצורה זה כמעט סיום הפתרון - אחר כך רק מסמנים את הזוויות השוות ומסיקים.
ארבע תצורות שכדאי להכיר
כל תצורה היא 'תבנית' שמופיעה שוב ושוב בבעיות. זיהוי מהיר חוסך זמן יקר.
1. משולש בתוך משולש - קו מקביל לצלע יוצר משולש דומה למקור. 2. משולשים ישרי-זווית עם זווית חדה משותפת - שני משולשים ישרי-זווית בעלי אותה זווית חדה דומים. 3. משולשים שיוצרים זוויות אנכיות - שני קווים מצטלבים יוצרים שני משולשים עם זווית קודקוד שווה (אנכית) ואם בהוספה זווית מתחלפת או מתאימה - דומים. 4. גובה ליתר - במשולש ישר-זווית, הגובה ליתר יוצר שלושה משולשים דומים זה לזה ולמקור.
תרגול בזיהוי התצורה הזו הופך את ההוכחה לאוטומטית.
תצורות אופייניות לזיהוי דמיון
| תצורה | מאפיין מזהה | זוויות שוות | דוגמה |
|---|---|---|---|
| קו מקביל לצלע | בתוך | (מתאימים) | |
| שני ישרי-זווית עם זווית חדה משותפת | שתי זוויות ישרות + זווית משותפת | ועוד אחת | סולם וקיר; שמש ועצים |
| זוויות אנכיות + מתחלפות | ושני המשולשים נוצרים בנקודת חיתוך | אנכיות + מתחלפות | |
| גובה ליתר | במשולש ישר-זווית, הגובה ליתר | כל משולש קטן עם זווית של המקור | שלושה משולשים דומים |
דוגמה פתורה: קו מקביל יוצר דמיון
שלב 1 מתוך 3הזווית המשותפת ב- זהה בשני המשולשים.
תצורות נוספות בשטח
צל ועץ
כל הצללים בשעה נתונה נמשכים באותו זווית מהשמש. כל עמוד אנכי + צלו יוצר משולש ישר-זווית עם זווית שמש משותפת - כל המשולשים דומים.
עינית חוצה
אם נקודה נמצאת בתוך משולש ויש שני קווים העוברים בה לכיוון הצלעות, נוצרים משולשים שלעיתים קרובות דומים זה לזה לפי ז.ז.
מעגל וזוויות היקפיות
(העשרה לכיתה ט) זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר הן שוות. זה מקור פוטנציאלי לדמיון משולשים פנימיים במעגל.
טרפז ואלכסונים
באלכסוני טרפז, נקודת החיתוך מחלקת אותו לשני משולשים דומים זה לזה לפי ז.ז (זוויות אנכיות + מתחלפות מהבסיסים המקבילים).
המשפט הזה ייחודי למשולשים
שאלה לחשיבה
האם משפט ז.ז משמעו ש'דמיון משולשים נקבע על ידי הזוויות בלבד'?
כן בדיוק. זה הרעיון הגדול: צורה של משולש מוגדרת לחלוטין על ידי הזוויות שלו (פלוס סקלת גודל). שינוי גודל לא משנה זוויות, וזוויות שוות מבטיחות שאותה צורה. לכן ז.ז הוא מספיק לדמיון משולשים.
טכניקת זיהוי תצורה
כשרואים בעיה גיאומטרית, לפני חישוב, שאלו:
- האם יש זוויות שוות בנתונים? (זוויות מתחלפות, מתאימות, אנכיות, ראשוניות)
- האם יש קו מקביל לצלע משולש? (תצורה 1)
- האם יש שני משולשים ישרי-זווית עם זווית חדה משותפת? (תצורה 2)
- האם יש קוטעים מצטלבים בין מקבילים? (תצורה 3)
- אם כן, ז.ז יעבוד.
