גרסת הדפסה | החוברת

אותה צורה, לא בהכרח אותו גודל

מה בונים במודול?

דמיון הוא שפה מדויקת להגדלה ולהקטנה של צורות. במודול הזה נחליף את המשפט הכללי "זה נראה דומה" בבדיקה מתמטית: התאמת קודקודים, שוויון זוויות ויחס קבוע בין צלעות מתאימות.

להגדיר דמיון: ננסח תנאי מלא לדמיון: זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות מתאים קבוע.
לחשב יחס דמיון: נחשב $k$ מתוך זוג צלעות מתאים ונבדוק אם אותו יחס חוזר.
להבדיל מחפיפה: נראה שחפיפה היא דמיון מיוחד שבו $k = 1$ .
לזהות טעות נפוצה: נלמד מדוע ציור שנראה דומה אינו הוכחה.

השאלה המרכזית

כשצורה אחת היא הגדלה או הקטנה של אחרת, כל מרחק בצורת המקור מוכפל באותו מספר חיובי. המספר הזה הוא יחס הדמיון. הזוויות אינן מוכפלות, הן נשארות שוות, ולכן הצורה נשמרת.

הגדלה של משולש השומרת על זוויות ועל יחס צלעות קבוע — הצורה גדלה, אבל הזוויות המתאימות נשארות שוות וכל הצלעות מוכפלות באותו יחס.

הגדרה מלאה של דמיון

שתי צורות הן דומות אם אפשר להתאים ביניהן קודקודים כך שהזוויות המתאימות שוות והיחסים בין הצלעות המתאימות שווים.

k = \frac{אורך בצורה השנייה}{אורך בצורה הראשונה}

הכיוון חשוב: יחס מהקטן לגדול יכול להיות $3$ , ואילו היחס מהגדול לקטן יהיה $\frac{1}{3}$ .

יחס דמיון

k = \frac{אורך בצורה השנייה}{אורך בצורה הראשונה}

אותו משולש ביחס $2$

האורכים

3, 4, 5

הפכו ל-

6, 8, 10

. כל יחס הוא

2

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

מסמנים התאמה

כותבים איזה קודקוד מתאים לאיזה קודקוד.
התאמה שגויה תיצור יחסים שגויים גם אם החישוב נכון.

בודקים זוויות

בדמיון הזוויות המתאימות שוות.
במשולשים מספיקים שני זוגות זוויות, במצולעים בדרך כלל לא.

בודקים יחס

כל זוג צלעות מתאימות צריך לתת אותו יחס.
בודקים את כל הזוגות הזמינים ולא מסתפקים בזוג אחד.

דוגמה פתורה: האם היחס קבוע?

צלעות: 3, 4, 5 מול 6, 8, 10

משווים צלעות מתאימות באותו כיוון.
$\frac{6}{3} = 2, \frac{8}{4} = 2, \frac{10}{5} = 2$
כל היחסים שווים, לכן יש יחס דמיון קבוע.
$k = 2$

תשובה:

הצורות דומות ביחס k = 2

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

הגדלה

אורך $7$ שהפך ל- $21$ נותן $k = 3$ . זה אומר שכל האורכים האחרים צריכים לגדול פי $3$ .

הקטנה

אורך $12$ שהפך ל- $4$ נותן $k = \frac{1}{3}$ . זוויות הצורה לא קטנות בשליש, הן נשארות שוות.

לא מספיק

אם רק זוג צלעות אחד נותן יחס $2$ , עדיין לא הוכחנו דמיון. צריך התאמה מלאה או משפט מתאים.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לבדוק רק את $\frac{8}{4}$ ולהתעלם משאר הצלעות.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

האם שתי צורות דומות ביחס $1$ הן בהכרח חופפות?

העמקה: דוגמאות נגד שמלמדות אותנו את הגבולות

כדי באמת להבין מתי דמיון מתקיים, חשוב לראות מתי הוא לא מתקיים. דוגמאות הנגד הבאות מסגירות טעויות אינטואיטיביות שתלמידים נוטים לעשות. כל דוגמה ממקדת אותנו בתנאי אחד שחייב להתקיים.

ארבע דוגמאות נגד מרכזיות

מלבן מול ריבוע

מלבן $4 \times 6$ ומלבן $4 \times 9$ חולקים צלע. הזוויות שוות (כולן ישרות), אבל היחס בין צלעות מתאימות שונה: $\frac{4}{4} = 1$ מול $\frac{9}{6} = 1.5$ . אז לא דומים.

מעוין מול ריבוע

ריבוע בצלע $5$ ומעוין שצלעו $5$ עם זווית $6 0^{\circ}$ . כל הצלעות פרופורציוניות (היחס הוא $1$ ), אבל הזוויות שונות: $9 0^{\circ}$ מול $6 0^{\circ}$ . לא דומים.

סדר מתאים שגוי

צלעות $3, 4, 5$ מול $10, 8, 6$ ביחסים $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ . דווקא כן דומים, אבל רק אחרי שמתקנים את סדר ההתאמה. בלעדיה היחס נראה לא קבוע.

כיוון יחס שונה

אם בודקים יחס מהקטן לגדול ( $k = 2$ ) ובמקביל מהגדול לקטן ( $k = \frac{1}{2}$ ), שני הכיוונים תקפים, אבל חייבים להיצמד לכיוון אחד בכל המשוואות באותה שאלה.

דוגמה פתורה: דמיון בין מלבנים

מלבן ראשון: 4 \times 6 מלבן שני: 6 \times 9

מתאימים: הצלע הקצרה לקצרה, הארוכה לארוכה.
$\frac{6}{4} = 1.5, \frac{9}{6} = 1.5$
כל הזוויות במלבן הן $9 0^{\circ}$ , לכן הזוויות המתאימות שוות.
$∠ A = ∠ A^{'} = 9 0^{\circ}, \dots$
מסיקים שהמלבנים דומים ביחס $k = 1.5$ .
$מלבן 1 \sim מלבן 2, k = 1.5$

תשובה:

k = 1.5

התאמה דרך הגדלה גיאומטרית

פעולת הגדלה גיאומטרית מנקודה (הומותטיה) היא דרך פיזית להבין דמיון. בוחרים נקודה ייחוס

O

ויחס

k

. כל נקודה

A

בצורה המקור עוברת לנקודה חדשה

A^{'}

כך שהמרחק

O A^{'}

שווה ל-

k \cdot O A

, באותו כיוון.

ההומותטיה כמנוע של דמיון

כשאנחנו מבצעים הגדלה אחידה מנקודה, מקבלים אוטומטית צורה דומה למקור.

O A^{'} = k \cdot O A בכל כיוון מ- O

אם $k > 1$ מקבלים הגדלה, אם $0 < k < 1$ מקבלים הקטנה, ואם $k = 1$ מקבלים את אותה צורה.

סולם ערכי $k$ ומשמעותם

ערך $k$	פעולה גיאומטרית	אורך חדש	דוגמה
$k = 1$	חפיפה	זהה למקור	צילום של צורה ללא שינוי גודל
$k = 2$	הגדלה פי $2$	כל אורך מוכפל	הדפסה של תמונה בגודל כפול
$k = 3$	הגדלה פי $3$	כל אורך מוכפל ב- $3$	פוסטר משולש על הקיר
$k = \frac{1}{2}$	הקטנה פי $2$	כל אורך נחלק	מיניאטורה ביחס $1 : 2$
$k = \frac{1}{3}$	הקטנה פי $3$	כל אורך הופך לשליש	תמונה ממוזערת לאלבום

תלמידה טוענת: 'מצאתי שני משולשים שיש להם שלוש צלעות פרופורציוניות, אבל הם לא דומים'. האם זה ייתכן?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה חייב להיות נכון בצורות דומות?

זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות מתאימות קבוע
כל הצלעות שוות
השטחים שווים
המיקום בדף זהה

2.צלע באורך $5$ מתאימה לצלע באורך $20$ . מה יחס הדמיון מהראשונה לשנייה?

$4$
$\frac{1}{4}$
$15$
$25$

3.איזו טענה על זוויות בצורות דומות נכונה?

זוויות מתאימות נשארות שוות
זוויות מוכפלות ביחס הדמיון
זוויות מוכפלות בריבוע היחס
אין קשר בין הזוויות

4.מהו היחס ההפוך ל- $k = 5$ ?

$\frac{1}{5}$
$5$
$25$
$4$

5.מדוע זוג צלעות אחד לא מספיק להוכחת דמיון מצולעים?

כי צריך יחס קבוע בכל הצלעות המתאימות
כי צלעות אינן קשורות לדמיון
כי בדמיון בודקים רק שטח
כי צריך שהציור יהיה יפה

6.אם $k = 1$ , מה נכון?

הדמיון הוא גם חפיפה
הצורה גדלה פי $2$
הזוויות מתאפסות
אין דמיון

7.צלעות $2, 3, 4$ מול $6, 9, 12$ . מה היחס?

$3$
$2$
$\frac{1}{3}$
אין יחס קבוע

8.צלעות $4, 5, 6$ מול $8, 10, 13$ . האם היחס קבוע?

לא, כי היחס השלישי שונה
כן, כי שני היחסים הראשונים שווים
כן, כי 13 גדול מ-6
אי אפשר לבדוק צלעות

9.איזו כתיבה מתארת יחס דמיון?

$k = \frac{אורך בתמונה}{אורך במקור}$
$k = זווית גדולה - זווית קטנה$
$k = P + A$
$k = 18 0^{\circ}$

10.תלמיד כתב 'דומות כי הן נראות דומות'. מה חסר?

בדיקת התאמה, זוויות ויחסי צלעות
ציור בצבע
חישוב היקף בלבד
שם ארוך יותר לצורה

11.אם צורה הוקטנה ביחס $\frac{2}{5}$ , מה קרה לכל צלע?

כל צלע בתמונה היא $\frac{2}{5}$ מהמקור
כל צלע גדלה פי $\frac{5}{2}$
כל זווית הוקטנה
השטח נשאר בהכרח

12.מהו השלב הראשון בבדיקת דמיון?

לקבוע התאמת קודקודים
להכפיל שטחים
לחשב ממוצע צלעות
למחוק את הזוויות

13.צלעות $3, 4, 5$ מול צלעות $9, 12, 15$ . מהו $k$ מהראשונה לשנייה?

$3$
$\frac{1}{3}$
$5$
$9$

14.תנו דוגמה לשני מצולעים שצלעותיהם פרופורציוניות אך אינם דומים.

ריבוע ומעוין באותן צלעות
שני ריבועים
שני משולשים שווי-צלעות
שני משושים משוכללים

15.אם הצורה הקטנה הוגדלה ביחס $k = 4$ , פי כמה גדל כל אורך?

פי $4$
פי $16$
פי $2$
פי $\frac{1}{4}$

16.שני מלבנים: $5 \times 10$ ו- $10 \times 15$ . דומים?

לא, יחסים שונים
כן, ביחס $2$
כן, ביחס $3$
כן, אם נסובב אחד

17.צלע ראשונה $9$ ס"מ. הצלע המתאימה בצורה הדומה $3$ ס"מ. מהו $k$ מצורה ראשונה לשנייה?

$\frac{1}{3}$
$3$
$6$
$9$

18.כל שני משולשים שווי-צלעות הם:

תמיד דומים
תמיד חופפים
אף פעם לא דומים
דומים רק אם בעלי אותו צלע

19.אם בצורה אחת צלע $10$ , ובצורה דומה הצלע המתאימה $25$ , מהו $k^{2}$ ?

$\frac{25}{4}$
$\frac{5}{2}$
$\frac{4}{25}$
$25$

20.במצולעים בעלי 4+ צלעות, איזה שילוב מספיק לדמיון?

זוויות שוות וצלעות פרופורציוניות יחד
רק זוויות שוות
רק צלעות פרופורציוניות
רק שטח שווה

21.אורך $12$ בתמונה הוקטן. במציאות הוא $48$ . מהו יחס הקנ"מ?

$1 : 4$
$4 : 1$
$1 : 3$
$12 : 48$

22.תלמיד מצא $k = 2$ מצלע אחת ו- $k = 3$ מצלע אחרת. מסקנה?

אין דמיון - יחס לא קבוע
יש דמיון, ממוצע $2.5$
צריך לשמור את היחס הגבוה
אין מספיק נתונים