מהו דמיון

אותה צורה, לא בהכרח אותו גודל

מה בונים במודול?

דמיון הוא שפה מדויקת להגדלה ולהקטנה של צורות. במודול הזה נחליף את המשפט הכללי "זה נראה דומה" בבדיקה מתמטית: התאמת קודקודים, שוויון זוויות ויחס קבוע בין צלעות מתאימות.

להגדיר דמיון

ננסח תנאי מלא לדמיון: זוויות מתאימות שוות ויחס צלעות מתאים קבוע.

לחשב יחס דמיון

נחשב

k

מתוך זוג צלעות מתאים ונבדוק אם אותו יחס חוזר.

להבדיל מחפיפה

נראה שחפיפה היא דמיון מיוחד שבו

k = 1

לזהות טעות נפוצה

נלמד מדוע ציור שנראה דומה אינו הוכחה.

השאלה המרכזית

כשצורה אחת היא הגדלה או הקטנה של אחרת, כל מרחק בצורת המקור מוכפל באותו מספר חיובי. המספר הזה הוא יחס הדמיון. הזוויות אינן מוכפלות, הן נשארות שוות, ולכן הצורה נשמרת.

הגדלה של משולש השומרת על זוויות ועל יחס צלעות קבוע — הצורה גדלה, אבל הזוויות המתאימות נשארות שוות וכל הצלעות מוכפלות באותו יחס.

טוען סימולציה...

הגדרה מלאה של דמיון

שתי צורות הן דומות אם אפשר להתאים ביניהן קודקודים כך שהזוויות המתאימות שוות והיחסים בין הצלעות המתאימות שווים.

היחס הקבוע נקרא יחס דמיון. אם יחס הדמיון מהצורה הראשונה לשנייה הוא $k = 3$ , כל צלע בצורה השנייה גדולה פי $3$ מהצלע המתאימה בצורה הראשונה.

$k = \frac{אורך בצורה השנייה}{אורך בצורה הראשונה}$

הכיוון חשוב: יחס מהקטן לגדול יכול להיות $3$ , ואילו היחס מהגדול לקטן יהיה $\frac{1}{3}$ .

יחס דמיון

k = \frac{אורך בצורה השנייה}{אורך בצורה הראשונה}

אותו משולש ביחס $2$

האורכים $3, 4, 5$ הפכו ל- $6, 8, 10$ . כל יחס הוא $2$ .

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

מסמנים התאמה

כותבים איזה קודקוד מתאים לאיזה קודקוד.

התאמה שגויה תיצור יחסים שגויים גם אם החישוב נכון.

$math/029-angle$

בודקים זוויות

בדמיון הזוויות המתאימות שוות.

במשולשים מספיקים שני זוגות זוויות, במצולעים בדרך כלל לא.

בודקים יחס

כל זוג צלעות מתאימות צריך לתת אותו יחס.

בודקים את כל הזוגות הזמינים ולא מסתפקים בזוג אחד.

דוגמה פתורה: האם היחס קבוע?

שלב 1 מתוך 2

צלעות: 3, 4, 5 מול 6, 8, 10

מה בודקים בכל זוג צלעות?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

הגדלה

אורך $7$ שהפך ל- $21$ נותן $k = 3$ . זה אומר שכל האורכים האחרים צריכים לגדול פי $3$ .

הקטנה

אורך $12$ שהפך ל- $4$ נותן $k = \frac{1}{3}$ . זוויות הצורה לא קטנות בשליש, הן נשארות שוות.

לא מספיק

אם רק זוג צלעות אחד נותן יחס $2$ , עדיין לא הוכחנו דמיון. צריך התאמה מלאה או משפט מתאים.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לבדוק רק את $\frac{8}{4}$ ולהתעלם משאר הצלעות.

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

שלוש שאלות לפני שמכריזים דמיון

הכרזה על דמיון היא מסקנה, לא התרשמות. אם אחת מהשאלות הבאות לא ברורה, צריך להמשיך לבדוק.

מהי ההתאמה בין הקודקודים?
אילו זוויות מתאימות שוות?
האם כל יחסי הצלעות המתאימות שווים באותו כיוון?

שאלה לחשיבה

האם שתי צורות דומות ביחס $1$ הן בהכרח חופפות?

כן, אם ההתאמה מלאה. יחס $1$ אומר שכל צלע שומרת על אותו אורך, והזוויות המתאימות שוות, לכן הצורות שוות בגודל ובצורה.

במחשב, פעולת הגדלה אחידה נקראת שינוי קנה מידה. היא דומה מאוד לדמיון: מכפילים כל מרחק מאותה נקודת ייחוס באותו מספר, והצורה נשמרת.

העמקה: דוגמאות נגד שמלמדות אותנו את הגבולות

כדי באמת להבין מתי דמיון מתקיים, חשוב לראות מתי הוא לא מתקיים. דוגמאות הנגד הבאות מסגירות טעויות אינטואיטיביות שתלמידים נוטים לעשות. כל דוגמה ממקדת אותנו בתנאי אחד שחייב להתקיים.

ארבע דוגמאות נגד מרכזיות

מלבן מול ריבוע

מלבן $4 \times 6$ ומלבן $4 \times 9$ חולקים צלע. הזוויות שוות (כולן ישרות), אבל היחס בין צלעות מתאימות שונה: $\frac{4}{4} = 1$ מול $\frac{9}{6} = 1.5$ . אז לא דומים.

מעוין מול ריבוע

ריבוע בצלע $5$ ומעוין שצלעו $5$ עם זווית $6 0^{\circ}$ . כל הצלעות פרופורציוניות (היחס הוא $1$ ), אבל הזוויות שונות: $9 0^{\circ}$ מול $6 0^{\circ}$ . לא דומים.

סדר מתאים שגוי

צלעות $3, 4, 5$ מול $10, 8, 6$ ביחסים $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ . דווקא כן דומים, אבל רק אחרי שמתקנים את סדר ההתאמה. בלעדיה היחס נראה לא קבוע.

כיוון יחס שונה

אם בודקים יחס מהקטן לגדול ( $k = 2$ ) ובמקביל מהגדול לקטן ( $k = \frac{1}{2}$ ), שני הכיוונים תקפים, אבל חייבים להיצמד לכיוון אחד בכל המשוואות באותה שאלה.

דוגמה פתורה: דמיון בין מלבנים

שלב 1 מתוך 3

מלבן ראשון: 4 \times 6 מלבן שני: 6 \times 9

מהו יחס הצלעות?

$math/014-geometry$ התאמה דרך הגדלה גיאומטרית

פעולת הגדלה גיאומטרית מנקודה (הומותטיה) היא דרך פיזית להבין דמיון. בוחרים נקודה ייחוס $O$ ויחס $k$ . כל נקודה $A$ בצורה המקור עוברת לנקודה חדשה $A^{'}$ כך שהמרחק $O A^{'}$ שווה ל- $k \cdot O A$ , באותו כיוון.

ההומותטיה כמנוע של דמיון

כשאנחנו מבצעים הגדלה אחידה מנקודה, מקבלים אוטומטית צורה דומה למקור.

התכונה החשובה: כל קווים מקבילים נשארים מקבילים, כל הזוויות נשמרות, וכל יחס בין שני אורכים נשמר. המספר $k$ בהומותטיה הוא בדיוק יחס הדמיון.

$O A^{'} = k \cdot O A בכל כיוון מ- O$

אם $k > 1$ מקבלים הגדלה, אם $0 < k < 1$ מקבלים הקטנה, ואם $k = 1$ מקבלים את אותה צורה.

סולם ערכי {m}k{/m} ומשמעותם

ערך $k$	פעולה גיאומטרית	אורך חדש	דוגמה
$k = 1$	חפיפה	זהה למקור	צילום של צורה ללא שינוי גודל
$k = 2$	הגדלה פי $2$	כל אורך מוכפל	הדפסה של תמונה בגודל כפול
$k = 3$	הגדלה פי $3$	כל אורך מוכפל ב- $3$	פוסטר משולש על הקיר
$k = \frac{1}{2}$	הקטנה פי $2$	כל אורך נחלק	מיניאטורה ביחס $1 : 2$
$k = \frac{1}{3}$	הקטנה פי $3$	כל אורך הופך לשליש	תמונה ממוזערת לאלבום

סיכום העיקרון

הגדרת הדמיון דורשת שני תנאים שמתקיימים בו זמנית: זוויות מתאימות שוות וגם יחס צלעות מתאימות קבוע. במשולשים תנאי אחד גורר את האחר. במצולעים בעלי יותר משלושה קודקודים שני התנאים בלתי תלויים, ולכן חובה לבדוק את שניהם.

שאלה לחשיבה

תלמידה טוענת: 'מצאתי שני משולשים שיש להם שלוש צלעות פרופורציוניות, אבל הם לא דומים'. האם זה ייתכן?

לא. במשולשים, אם שלוש זוגות צלעות מתאימות פרופורציוניות, אז אוטומטית גם הזוויות המתאימות שוות, ולכן המשולשים דומים (משפט צ.צ.צ לדמיון - יילמד בכיתה ט בצורה פורמלית). אבל במצולעים בעלי 4+ צלעות זה כן ייתכן.

אסטרטגיית בדיקת דמיון בארבעה שלבים

כל פעם שאתם נדרשים לקבוע אם שתי צורות דומות, עברו על ארבעת השלבים האלה לפי הסדר:

שלב 1: ציירו או רשמו את ההתאמה בין הקודקודים. בלעדיה אי אפשר לקבוע אילו צלעות מתאימות.
שלב 2: בדקו זוויות מתאימות. אם יש זווית שלא שווה למתאימה לה, סיימתם - לא דומות.
שלב 3: חשבו יחס מצלע אחת. זה יחס הדמיון המועמד $k$ .
שלב 4: בדקו שאותו $k$ מתקבל מ-כל הצלעות המתאימות. אם כן, דומות. אם לא, לא דומות.

דמיון מופיע בכל מקום: בעלי חיים מאותו מין בגדלים שונים, ענפי עץ שמתפצלים בצורות דומות, פתיתי שלג, פרקטלים מתמטיים. מדענים גילו שיחס הזהב

φ \approx 1.618

מופיע בצדפים, בקונכיות ובציורי רנסאנס. דמיון הוא לא רק עיקרון מתמטי, הוא חלק מהשפה החזותית של היקום.

שאלה 1 מתוך 22

צלעות $2, 3, 4$ מול $6, 9, 12$ . מה היחס?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מהו דמיון כבר מוכן.

פתחו תרגול

מהו דמיון

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

הגדרה מלאה של דמיון

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

מסמנים התאמה

בודקים זוויות

בודקים יחס

דוגמה פתורה: האם היחס קבוע?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

שלוש נקודות עוגן

הגדלה

הקטנה

לא מספיק

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

שלוש שאלות לפני שמכריזים דמיון

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

העמקה: דוגמאות נגד שמלמדות אותנו את הגבולות

ארבע דוגמאות נגד מרכזיות

מלבן מול ריבוע

מעוין מול ריבוע

סדר מתאים שגוי

כיוון יחס שונה

דוגמה פתורה: דמיון בין מלבנים

$math/014-geometry$ התאמה דרך הגדלה גיאומטרית

ההומותטיה כמנוע של דמיון

סולם ערכי {m}k{/m} ומשמעותם

סיכום העיקרון

שאלה לחשיבה

אסטרטגיית בדיקת דמיון בארבעה שלבים

דמיון בטבע ובאמנות

צלעות $2, 3, 4$ מול $6, 9, 12$ . מה היחס?