גרסת הדפסה | החוברת

האות V מגלה איפה נמצא המרכז ומהו הערך הנמוך ביותר

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

צורת הגרף: נזהה את צורת ה-V של $y = ∣ x ∣$ ונבין למה היא סימטרית.
קודקוד: נמצא את נקודת הקודקוד של גרף מוזז כמו $y = ∣ x - 2∣ + 1$ .
קריאת פתרונות: נראה איך חיתוך עם ישר אופקי נותן פתרונות למשוואת ערך מוחלט.

למה הגרף נראה כמו V?

הפונקציה

y = ∣ x ∣

מחזירה את המרחק של

x

מאפס. משני הצדדים של אפס המרחק גדל באותו קצב, ולכן מתקבלת צורה סימטרית. כאשר מחליפים ל-

∣ x - 2∣ + 1

, הקודקוד זז לנקודה

(2, 1)

תמונה הממחישה גרף ערך מוחלט בצורת V עם קודקוד וסימטריה — גרף ערך מוחלט מציג מרחק מהמרכז: משני הצדדים של הקודקוד הערך גדל באותו קצב.

הקודקוד הוא נקודת המרחק הקטן ביותר

בגרף $y = ∣ x - a ∣ + b$ , הביטוי בתוך הערך המוחלט מתאפס כאשר $x = a$ .

y = ∣ x - a ∣ + b

המספר בתוך הערך המוחלט מזיז ימינה או שמאלה, והמספר שמחוץ לו מזיז למעלה או למטה.

קודקוד גרף ערך מוחלט

y = ∣ x - a ∣ + b קודקוד: (a, b)

הגרף $y = ∣ x - 2∣ + 1$

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

קוראים קודקוד וחיתוך

y = ∣ x - 2∣ + 1

מזהים את המרכז בתוך הערך המוחלט.
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
המספר שמחוץ לערך המוחלט מעלה את הגרף.
$y_{m i n} = 1$
לכן הקודקוד הוא נקודת המינימום.
$(2, 1)$

תשובה:

(2, 1)

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

מצאו איפוס

פתרו את הביטוי שבתוך הערך המוחלט שווה לאפס.
זהו שיעור $x$ של הקודקוד.

קראו הזזה אנכית

המספר מחוץ לערך המוחלט הוא שיעור $y$ של הקודקוד.
אם הוא שלילי, הקודקוד מתחת לציר $x$ .

בדקו סימטריה

נקודות במרחק שווה מהמרכז מקבלות אותו ערך.
זה עוזר לשרטט מהר ולבדוק טעויות.

וריאציות שכדאי לזהות

$y = ∣ x ∣$

קודקוד $(0, 0)$ . זהו גרף הבסיס.

$y = ∣ x - 4∣$

קודקוד $(4, 0)$ . הגרף זז ימינה ארבע יחידות.

$y = ∣ x ∣ + 3$

קודקוד $(0, 3)$ . הגרף זז למעלה שלוש יחידות.

$y = ∣ x + 2∣ - 1$

קודקוד $(- 2, - 1)$ . כאן יש הזזה שמאלה ולמטה.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

חיתוך עם ישר אופקי

גרף ערך מוחלט עוזר לראות מתי למשוואה יש שתי תשובות, תשובה אחת או אין תשובה. ישר אופקי בגובה מסוים חותך את ה-V בנקודות שבהן הפונקציה מקבלת את אותו ערך.

חיתוך $y = ∣ x - 2∣ + 1$ עם $y = 4$

מתקנים קריאת גרף

הטעות

לקרוא את $∣ x + 3∣$ כאילו הקודקוד זז ימינה.

החשיבה הנכונה

משווים את הביטוי הפנימי לאפס: $x + 3 = 0$ , ולכן הקודקוד ב- $x = - 3$ .

בדיקת סבירות

מציבים את שיעור $x$ של הקודקוד. הערך המוחלט צריך להתאפס שם.

אם הקודקוד לא מאפס את הביטוי הפנימי, כנראה שההזזה האופקית נקראה הפוך.

איך הגרף עוזר לפתור משוואה כמו $∣ x - 2∣ + 1 = 4$ ?

השפעת הפרמטרים על הגרף

פונקציית ערך מוחלט כללית בצורה

y = k ∣ x - a ∣ + b

כוללת שלושה פרמטרים:

a

מזיז את הקודקוד אופקית,

b

מזיז אותו אנכית, ו-

k

משנה את התלילות (ועם סימן שלילי גם הופך). הבנת ההשפעות בנפרד עוזרת לזהות גרפים במהירות.

פירוש הפרמטרים

פרמטר	השפעה על הגרף	דוגמה
$a$ ב- $∣ x - a ∣$	הזזה אופקית של הקודקוד	$∣ x - 3∣$ : קודקוד ב- $(3, 0)$
$b$ ב- $+ b$	הזזה אנכית של הקודקוד	$∣ x ∣ + 2$ : קודקוד ב- $(0, 2)$
$k$ מקדם חיובי	תלילות (גדולה $\Rightarrow$ צרה יותר)	$3∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 3$
$k$ מקדם שלילי	היפוך כיוון V (פתיחה כלפי מטה)	$- ∣ x ∣$ : V הפוך

כל פרמטר עצמאי ויכול להופיע גם ביחד עם האחרים.

כיוון הפתיחה: V הפוך

כשמקדם

k

שלילי, הענפים פונים כלפי מטה (V הפוך). הקודקוד הוא נקודת המקסימום (לא מינימום). זה שינוי מהותי בצורה הגרפית.

סוגים של גרפי ערך מוחלט

בסיסי

$y = ∣ x ∣$ : V עם קודקוד ב- $(0, 0)$ , שיפועים $\pm 1$ .

הזזה אופקית

$y = ∣ x - 3∣$ : קודקוד ב- $(3, 0)$ .

הזזה אנכית

$y = ∣ x ∣ + 2$ : קודקוד ב- $(0, 2)$ .

צרה

$y = 3∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 3$ .

רחבה

$y = \frac{1}{2} ∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 0.5$ .

הפוך

$y = - ∣ x ∣ + 4$ : V הפוך עם מקסימום ב- $(0, 4)$ .

במה גרף של $y = ∣ x ∣$ שונה מגרף של $y = x^{2}$ ?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה צורת הגרף של $y = ∣ x ∣$ ?

צורת V
קו ישר עולה בלבד
מעגל
פרבולה חלקה

2.מה קודקוד הגרף $y = ∣ x - 2∣ + 1$ ?

$(2, 1)$
$(- 2, 1)$
$(1, 2)$
$(2, 0)$

3.מה המרכז של $∣ x + 5∣$ ?

$- 5$
$5$
$0$
$1$

4.מה הערך הנמוך ביותר של $y = ∣ x - 2∣ + 1$ ?

$1$
$2$
$0$
$- 1$

5.מה נכון לגבי נקודות במרחק שווה מהקודקוד אופקית?

יש להן אותו ערך $y$
הן תמיד על ציר $y$
אחת מהן תמיד שלילית
אין קשר ביניהן

6.איך מוצאים את שיעור $x$ של הקודקוד?

משווים את הביטוי בתוך הערך המוחלט לאפס
לוקחים את המספר מחוץ לערך המוחלט
תמיד $0$
מחפשים את השיפוע

7.מה הפתרונות של $∣ x - 2∣ + 1 = 4$ ?

$x = 5$ או $x = - 1$
$x = 3$ או $x = 1$
$x = 4$ בלבד
אין פתרון

8.מה קודקוד הגרף $y = ∣ x - 5∣ - 4$ ?

$(5, - 4)$
$(- 5, - 4)$
$(5, 4)$
$(- 4, 5)$

9.איזו נקודה נמצאת על הגרף $y = ∣ x - 1∣ + 2$ ?

$(4, 5)$
$(4, 3)$
$(0, 0)$
$(- 1, 2)$

10.מהו הקודקוד של $y = ∣ x ∣$ ?

$(0, 0)$
$(0, 1)$
$(1, 0)$
$(- 1, 0)$

11.מהו הקודקוד של $y = ∣ x - 4∣$ ?

$(4, 0)$
$(- 4, 0)$
$(0, 4)$
$(0, - 4)$

12.מהו הקודקוד של $y = ∣ x ∣ + 3$ ?

$(0, 3)$
$(3, 0)$
$(0, - 3)$
$(- 3, 0)$

13.מהו הקודקוד של $y = ∣ x + 2∣ - 1$ ?

$(- 2, - 1)$
$(2, - 1)$
$(- 2, 1)$
$(2, 1)$

14.מהי תצורת $y = ∣ x ∣$ ?

V עם קודקוד באפס
פרבולה
ישר
מעגל

15.מהם השיפועים של $y = ∣ x ∣$ ?

$+ 1$ וימין, $- 1$ משמאל
$\pm 2$
$1$ ו- $0$
$\pm \frac{1}{2}$

16.מהם השיפועים של $y = 2∣ x ∣$ ?

$\pm 2$
$\pm 1$
$\pm \frac{1}{2}$
$\pm 4$

17. $y = - ∣ x ∣$ , איך נפתחים הענפים?

כלפי מטה
כלפי מעלה
כלפי ימין
כלפי שמאל

18.איזו פונקציה יש לה קודקוד $(3, - 2)$ ?

$y = ∣ x - 3∣ - 2$
$y = ∣ x + 3∣ - 2$
$y = ∣ x - 3∣ + 2$
$y = ∣ x + 3∣ + 2$

19.במה גרף ערך מוחלט שונה מפרבולה?

V הוא לינארי בכל ענף, פרבולה חלקה
V הוא חלק
פרבולה היא ישרה
שניהם זהים

20.מהי סימטריה של $y = ∣ x ∣$ ?

סביב ציר $y$
סביב ציר $x$
סביב הראשית
אין

21.מהו תחום הפונקציה $y = ∣ x ∣$ ?

כל המספרים
רק חיוביים
רק שליליים
$\geq 0$

22.מהי תמונה של $y = ∣ x ∣$ ?

$y \geq 0$
כל המספרים
$y \leq 0$
$y = 0$