מהו הקודקוד הוא נקודת המרחק הקטן ביותר?

בגרף y=|x-a|+b, הביטוי בתוך הערך המוחלט מתאפס כאשר x=a. שם מתקבל הערך הקטן ביותר של הגרף, שהוא b. לכן הקודקוד הוא (a,b). המספר בתוך הערך המוחלט מזיז ימינה או שמאלה, והמספר שמחוץ לו מזיז למעלה או למטה.

גרף ערך מוחלט

האות V מגלה איפה נמצא המרכז ומהו הערך הנמוך ביותר

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

צורת הגרף

נזהה את צורת ה-V של

y = ∣ x ∣

ונבין למה היא סימטרית.

קודקוד

נמצא את נקודת הקודקוד של גרף מוזז כמו

y = ∣ x - 2∣ + 1

קריאת פתרונות

נראה איך חיתוך עם ישר אופקי נותן פתרונות למשוואת ערך מוחלט.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ למה הגרף נראה כמו V?

הפונקציה $y = ∣ x ∣$ מחזירה את המרחק של $x$ מאפס. משני הצדדים של אפס המרחק גדל באותו קצב, ולכן מתקבלת צורה סימטרית. כאשר מחליפים ל- $∣ x - 2∣ + 1$ , הקודקוד זז לנקודה $(2, 1)$ .

תמונה הממחישה גרף ערך מוחלט בצורת V עם קודקוד וסימטריה — גרף ערך מוחלט מציג מרחק מהמרכז: משני הצדדים של הקודקוד הערך גדל באותו קצב.

$math/048-graphs$ הקודקוד הוא נקודת המרחק הקטן ביותר

בגרף $y = ∣ x - a ∣ + b$ , הביטוי בתוך הערך המוחלט מתאפס כאשר $x = a$ .

שם מתקבל הערך הקטן ביותר של הגרף, שהוא $b$ . לכן הקודקוד הוא $(a, b)$ .

$y = ∣ x - a ∣ + b$

המספר בתוך הערך המוחלט מזיז ימינה או שמאלה, והמספר שמחוץ לו מזיז למעלה או למטה.

קודקוד גרף ערך מוחלט

y = ∣ x - a ∣ + b קודקוד: (a, b)

הגרף $y = ∣ x - 2∣ + 1$

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

קוראים קודקוד וחיתוך

שלב 1 מתוך 3

y = ∣ x - 2∣ + 1

מזהים את המרכז בתוך הערך המוחלט.

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/010-algebra$

מצאו איפוס

פתרו את הביטוי שבתוך הערך המוחלט שווה לאפס.

זהו שיעור $x$ של הקודקוד.

קראו הזזה אנכית

המספר מחוץ לערך המוחלט הוא שיעור $y$ של הקודקוד.

אם הוא שלילי, הקודקוד מתחת לציר $x$ .

בדקו סימטריה

נקודות במרחק שווה מהמרכז מקבלות אותו ערך.

זה עוזר לשרטט מהר ולבדוק טעויות.

$math/046-parentheses$ וריאציות שכדאי לזהות

$y = ∣ x ∣$

קודקוד $(0, 0)$ . זהו גרף הבסיס.

$y = ∣ x - 4∣$

קודקוד $(4, 0)$ . הגרף זז ימינה ארבע יחידות.

$y = ∣ x ∣ + 3$

קודקוד $(0, 3)$ . הגרף זז למעלה שלוש יחידות.

$y = ∣ x + 2∣ - 1$

קודקוד $(- 2, - 1)$ . כאן יש הזזה שמאלה ולמטה.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

הסימן הפנימי מתנהג הפוך

בביטוי $∣ x - a ∣$ הקודקוד נמצא ב- $x = a$ . לכן $∣ x + 3∣$ שקול ל- $∣ x - (- 3) ∣$ , והמרכז הוא $- 3$ .

השוו את הביטוי הפנימי לאפס.
פתרו את המשוואה הקצרה.
אל תקבעו הזזה לפי תחושת סימן בלבד.

חיתוך עם ישר אופקי

גרף ערך מוחלט עוזר לראות מתי למשוואה יש שתי תשובות, תשובה אחת או אין תשובה. ישר אופקי בגובה מסוים חותך את ה-V בנקודות שבהן הפונקציה מקבלת את אותו ערך.

חיתוך $y = ∣ x - 2∣ + 1$ עם $y = 4$

מתקנים קריאת גרף

הטעות

לקרוא את $∣ x + 3∣$ כאילו הקודקוד זז ימינה.

החשיבה הנכונה

משווים את הביטוי הפנימי לאפס: $x + 3 = 0$ , ולכן הקודקוד ב- $x = - 3$ .

בדיקת סבירות

מציבים את שיעור $x$ של הקודקוד. הערך המוחלט צריך להתאפס שם.

אם הקודקוד לא מאפס את הביטוי הפנימי, כנראה שההזזה האופקית נקראה הפוך.

שאלה לחשיבה

איך הגרף עוזר לפתור משוואה כמו $∣ x - 2∣ + 1 = 4$ ?

המשוואה שואלת איפה גרף הערך המוחלט מגיע לגובה $4$ . אם מציירים ישר אופקי בגובה הזה, הוא חותך את ה-V בשתי נקודות סימטריות סביב הקודקוד. כך רואים שיש שני פתרונות, ואז אפשר לחשב אותם במדויק.

$math/032-axis$ השפעת הפרמטרים על הגרף

פונקציית ערך מוחלט כללית בצורה $y = k ∣ x - a ∣ + b$ כוללת שלושה פרמטרים: $a$ מזיז את הקודקוד אופקית, $b$ מזיז אותו אנכית, ו- $k$ משנה את התלילות (ועם סימן שלילי גם הופך). הבנת ההשפעות בנפרד עוזרת לזהות גרפים במהירות.

פירוש הפרמטרים

פרמטר	השפעה על הגרף	דוגמה
$a$ ב- $∣ x - a ∣$	הזזה אופקית של הקודקוד	$∣ x - 3∣$ : קודקוד ב- $(3, 0)$
$b$ ב- $+ b$	הזזה אנכית של הקודקוד	$∣ x ∣ + 2$ : קודקוד ב- $(0, 2)$
$k$ מקדם חיובי	תלילות (גדולה $\Rightarrow$ צרה יותר)	$3∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 3$
$k$ מקדם שלילי	היפוך כיוון V (פתיחה כלפי מטה)	$- ∣ x ∣$ : V הפוך

* כל פרמטר עצמאי ויכול להופיע גם ביחד עם האחרים.

כיוון הפתיחה: V הפוך

כשמקדם $k$ שלילי, הענפים פונים כלפי מטה (V הפוך). הקודקוד הוא נקודת המקסימום (לא מינימום). זה שינוי מהותי בצורה הגרפית.

סוגים של גרפי ערך מוחלט

בסיסי

$y = ∣ x ∣$ : V עם קודקוד ב- $(0, 0)$ , שיפועים $\pm 1$ .

הזזה אופקית

$y = ∣ x - 3∣$ : קודקוד ב- $(3, 0)$ .

הזזה אנכית

$y = ∣ x ∣ + 2$ : קודקוד ב- $(0, 2)$ .

צרה

$y = 3∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 3$ .

רחבה

$y = \frac{1}{2} ∣ x ∣$ : שיפועים $\pm 0.5$ .

הפוך

$y = - ∣ x ∣ + 4$ : V הפוך עם מקסימום ב- $(0, 4)$ .

אסטרטגיית קריאת גרף ערך מוחלט

כדי לזהות גרף, חפשו ראשית את הקודקוד (נקודת השבר), אחר כך את כיוון הפתיחה, ולבסוף את התלילות (השיפוע).

מצאו את הקודקוד $(a, b)$ .
בדקו אם הענפים פונים מעלה (V) או מטה (V הפוך).
מדדו את השיפוע של ענף אחד - זה $∣ k ∣$ .
בנו: $y = k ∣ x - a ∣ + b$ , כש- $k > 0$ אם V רגיל, $k < 0$ אם V הפוך.

שאלה לחשיבה

במה גרף של $y = ∣ x ∣$ שונה מגרף של $y = x^{2}$ ?

שניהם סימטריים סביב ציר ה- $y$ , ושניהם בעלי מינימום ב- $(0, 0)$ . אבל $y = ∣ x ∣$ הוא בעל ענפים ישרים בשיפועים $\pm 1$ , יוצרים פינה חדה ב- $(0, 0)$ (זה לא 'חלק'). $y = x^{2}$ הוא פרבולה - עקומה חלקה בכל נקודה. ההבדל המתמטי: ערך מוחלט הוא לינארי בכל ענף, בעוד שפרבולה גידולה ב- $x^{2}$ שגדל מהר יותר. ב- $x = 2$ : $∣ x ∣ = 2$ אבל $x^{2} = 4$ ; ב- $x = 10$ : $∣ x ∣ = 10$ אבל $x^{2} = 100$ . כך שלמרות הדמיון הצורני, הפונקציות מאוד שונות.

סיכום: שלושה פרמטרים

a

= הזזה אופקית,

b

= הזזה אנכית,

k

= תלילות וכיוון. ב-

y = k ∣ x - a ∣ + b

, הקודקוד הוא

(a, b)

, השיפועים

\pm k

, וכיוון הפתיחה תלוי בסימן

k

פונקציית ערך מוחלט מופיעה במציאות בכל פעם שיש 'מרחק' או 'סטייה'. בפיזיקה: עוצמת אות רדאר תלויה במרחק, גם אם המקור משמאל וגם אם מימין. בכלכלה: רווח של חברה הוא

∣הכנסה - הוצאה∣

, בלי משמעות לסימן. בסטטיסטיקה: 'סטייה ממוצעת אבסולוטית' מודדת כמה הנתונים מתפזרים סביב הממוצע. כל אלה משתמשים בערך מוחלט, ולכן גרף ה-V מצליח לתפוס מציאויות רבות.

שאלה 1 מתוך 22

מהם השיפועים של $y = 2∣ x ∣$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של גרף ערך מוחלט כבר מוכן.

פתחו תרגול

גרף ערך מוחלט

מה בונים במודול?

למה הגרף נראה כמו V?

הקודקוד הוא נקודת המרחק הקטן ביותר

דוגמה פתורה

קוראים קודקוד וחיתוך

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

מצאו איפוס

קראו הזזה אנכית

בדקו סימטריה

וריאציות שכדאי לזהות

y=∣x∣

y=∣x−4∣

y=∣x∣+3

y=∣x+2∣−1

טעות נפוצה

הסימן הפנימי מתנהג הפוך

חיתוך עם ישר אופקי

מתקנים קריאת גרף

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שאלה לחשיבה

השפעת הפרמטרים על הגרף

פירוש הפרמטרים

כיוון הפתיחה: V הפוך

סוגים של גרפי ערך מוחלט

בסיסי

הזזה אופקית

הזזה אנכית

צרה

רחבה

הפוך

אסטרטגיית קריאת גרף ערך מוחלט

שאלה לחשיבה

סיכום: שלושה פרמטרים

פונקציות חתומות בעולם הטבע

מהם השיפועים של y=2∣x∣?