גרסת הדפסה | החוברת

מביאים מקדמים שווים ומבטלים נעלם אחד

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מזהים נעלם לביטול: נבחר נעלם שקל להביא למקדמים שווים או נגדיים.
מחברים או מחסרים: נחליט איזו פעולה מבטלת את הנעלם ולא רק איזו פעולה נראית קצרה.
משלימים פתרון: אחרי ביטול נעלם אחד, נמצא את השני ונבדוק את הזוג.

מה מבטלים, ולמה?

שיטת השוואת מקדמים מחפשת דרך לגרום לאחד הנעלמים להיעלם מחיבור או מחיסור של שתי המשוואות. אם המקדמים של

x

שווים, חיסור יכול לבטל את

x

. אם הם נגדיים, חיבור יכול לבטל אותו.

תמונה הממחישה ביטול נעלם בעזרת מקדמים שווים בשתי משוואות — כאשר מקדמים מתאימים שווים או נגדיים, אפשר לבטל נעלם ולקבל משוואה פשוטה יותר.

חיבור וחיסור של משוואות

אם שני אגפים שווים, מותר לחבר או לחסר משוואות שלמות, כל עוד עושים זאת לשני האגפים.

{x + 2 y = 14 x - y = 2

הבחירה בין חיבור לחיסור תלויה בסימנים של המקדמים.

ביטול מקדמים שווים

(x + 2 y) - (x - y) = 14 - 2

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

מבטלים את $x$

{x + 2 y = 14 x - y = 2

לשתי המשוואות יש אותו מקדם של $x$ .
$1 x ו- 1 x$
מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה.
$(x + 2 y) - (x - y) = 14 - 2$
פותרים את המשוואה שהתקבלה.
$3 y = 12 \Rightarrow y = 4$
מציבים באחת המשוואות כדי למצוא את $x$ .
$x - 4 = 2 \Rightarrow x = 6$

תשובה:

(6, 4)

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

סמנו מקדמים

הסתכלו על המקדמים של אותו נעלם בשתי המשוואות.
בחרו נעלם שקל להפוך למקדמים שווים או נגדיים.

בחרו פעולה

מקדמים נגדיים מתבטלים בחיבור.
מקדמים שווים מתבטלים בחיסור.

אל תשכחו לחזור

הביטול נותן רק נעלם אחד.
מציבים כדי להשלים את הזוג.

וריאציות שכדאי לזהות

מקדמים שווים

במערכת $2 x + y = 17$ , $2 x - 3 y = 5$ , חיסור מבטל את $2 x$ .

מקדמים נגדיים

במערכת $3 x + y = 8$ , $- 3 x + 2 y = 7$ , חיבור מבטל את $x$ .

צריך להכפיל

אם המקדמים $2$ ו- $5$ , אפשר להכפיל משוואות כדי להגיע למקדם משותף $10$ .

בדיקה

אחרי שמוצאים את הזוג, מציבים בשתי המשוואות כי טעות סימן אחת יכולה להיראות משכנעת עד הבדיקה.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

למה לפעמים כדאי להכפיל משוואה לפני שמחברים או מחסרים?

בדיקת פתרון והעברה

פתרון של מערכת הוא זוג סדור, ולכן בודקים אותו בשתי המשוואות. הבדיקה גם מחברת בין השיטה האלגברית לבין משמעות נקודת החיתוך של שני ישרים.

הפתרון כנקודת חיתוך

טעות מול תיקון

הטעות

מכפילים רק את האיבר שרוצים לבטל, למשל הופכים $2 x + 5 y = 31$ ל- $4 x + 5 y = 31$ .

זו כבר אינה אותה משוואה, ולכן הפתרון החדש עלול לא לקיים את המקור.

התיקון

כפל של משוואה הוא כפל של כל האיברים בשני האגפים.

$2 (2 x + 5 y = 31)$ נותן $4 x + 10 y = 62$ .

השאלה אינה רק מה מבטלים, אלא האם נשארנו עם מערכת שקולה.

החלטה מהירה: לחבר או לחסר?

אחרי שיוצרים מקדמים תואמים, יש שאלה אחת: האם הם זהים או הפוכים? התשובה קובעת אם נחבר את המשוואות או נחסר אותן. בלבול קל בשלב הזה הוא מקור נפוץ לטעויות סימן.

מתי לחבר ומתי לחסר

מקדמי הנעלם שאנחנו מבטלים	פעולה	התוצאה
$+ a$ ו- $- a$ (הפוכים)	חיבור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד
$+ a$ ו- $+ a$ (זהים)	חיסור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד
$- a$ ו- $- a$ (זהים)	חיסור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד

אם נחבר במקרה של מקדמים זהים, הם יוכפלו במקום להתבטל - וזה לא עוזר.

טעות סימן בחיסור

טעות

בחיסור, מתייחסים רק לאיבר הראשון של המשוואה השנייה.

$(2 x + 3 y = 11) - (5 x - 2 y = 4) = - 3 x + 3 y = 7$ , ולא $- 3 x + 5 y = 7$ .

תיקון

חיסור פועל על כל איבר של המשוואה השנייה.

$3 y - (- 2 y) = 3 y + 2 y = 5 y$ , אז התוצאה הנכונה היא $- 3 x + 5 y = 7$ .

בחיסור: שינוי סימן לכל איבר במשוואה השנייה, אז מחברים.

ביישום: בעיית תערובת

בעיות תערובת הן דוגמה אופיינית למערכת שמתאימה להשוואת מקדמים. שני נעלמים (כמויות) ושני תנאים (סך כמות, סך "חומר"). בעיה כזו תופיע במבחני בגרות וגם במבחני מיצ"ב.

מסלולים אופייניים בהשוואת מקדמים

מקדמים זהים

$3 x + y = 10$ , $3 x - y = 2$ : חיבור מבטל את $y$ , מקבלים $6 x = 12$ .

כפל יחיד

$x + 2 y = 7$ , $3 x - 4 y = 1$ : כופלים את הראשונה ב- $2$ , מקדמי $y$ הופכים, חיבור מבטל.

כפל כפול

$3 x + 5 y = 11$ , $4 x + 7 y = 15$ : כופלים את הראשונה ב- $4$ ואת השנייה ב- $3$ , מקדמי $x$ שווים, ולכן חיסור מבטל.

מקרים מיוחדים

אם אחרי הכפלים מקבלים $0 = 0$ , יש אינסוף פתרונות. אם מקבלים $0 = k \neq = 0$ , אין פתרון.

יש מערכת בה מקדמי $x$ הם $6$ ו- $9$ . במקום להשתמש במ.מ.מ $18$ , נכפול את הראשונה ב- $3$ ואת השנייה ב- $2$ . מה תקבלו? האם זה עדיין מבטל את $x$ ?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה המטרה בשיטת השוואת מקדמים?

לבטל אחד הנעלמים ולקבל משוואה בנעלם אחד
להפוך כל משוואה לגרף בלבד
למחוק את שני הנעלמים בלי לפתור
לשנות את פתרון המערכת

2.במערכת $x + 2 y = 14$ , $x - y = 2$ , איזו פעולה מבטלת את $x$ ?

חיסור המשוואות
חיבור המשוואות
כפל ב- $0$
החלפת $x$ ב- $y$

3.מה מקבלים מחיסור $(x + 2 y) - (x - y)$ ?

$3 y$
$y$
$2 x + y$
$x + 3 y$

4.מקדמים נגדיים מתבטלים בדרך כלל בעזרת:

חיבור משוואות
חיסור משוואות
מחיקת אגף ימין
הצבה בגרף בלבד

5.מה חשוב לעשות אם מכפילים משוואה לפני הביטול?

להכפיל את כל איברי המשוואה
להכפיל רק את הנעלם הנוח
להכפיל רק אגף אחד
לא לבדוק את הפתרון

6.מה הפתרון של $x + 2 y = 14$ , $x - y = 2$ ?

$(6, 4)$
$(4, 6)$
$(2, 12)$
אין פתרון

7.במערכת $3 x + 2 y = 18$ , $x - 2 y = 6$ , מה הפעולה הראשונה הנוחה?

לחבר את המשוואות כדי לבטל את $y$
לחסר כדי לקבל $4 y$
להכפיל רק את $x$ ב- $3$
לקבוע שאין פתרון

8.מה הפתרון של $3 x + 2 y = 18$ , $x - 2 y = 6$ ?

$(6, 0)$
$(0, 6)$
$(4, 3)$
אין פתרון כי $y = 0$

9.מה הטעות בביצוע $2 (2 x + 5 y = 31)$ כ- $4 x + 5 y = 62$ ?

לא הכפילו את $5 y$ ב- $2$
הכפילו את אגף ימין בטעות
אסור להכפיל משוואות
צריך לקבל $2 x + 10 y = 31$

10.במערכת $5 x + y = 17$ , $5 x - y = 3$ , מה מקבלים בחיבור?

$10 x = 20$
$10 x + 2 y = 20$
$0 = 14$
$x = 20$

11.במערכת $3 x + y = 10$ , $3 x - y = 2$ , איזו פעולה תבטל נעלם?

חיבור (המקדמים של $y$ הפוכים)
חיסור
כפל
שום פעולה

12.במערכת $3 x + 2 y = 12$ , $x + 2 y = 8$ , איזו פעולה תבטל נעלם?

חיסור (המקדמים של $y$ זהים)
חיבור
הצבה
כפל בחצי

13.פתרו $2 x + y = 10$ , $x - y = 2$ .

$(4, 2)$
$(2, 4)$
$(5, 0)$
$(3, 1)$

14.כדי לבטל את $x$ במערכת $2 x + 5 y = 8$ , $3 x - 4 y = 2$ , באיזה מספרים נכפול?

הראשונה ב- $3$ , השנייה ב- $2$
הראשונה ב- $2$ , השנייה ב- $3$
שתיהן ב- $5$
הראשונה ב- $- 3$

15.בחיסור משוואות, מה צריך להיזהר?

לשנות סימן לכל איבר במשוואה הנחסרת
לכפול בעוד מספר
רק לשמור על האיבר הראשון
להפוך לחיבור

16.פתרו $3 x + 2 y = 12$ , $5 x - 2 y = 4$ בחיבור.

$(2, 3)$
$(3, 2)$
$(2, - 3)$
$(1, 4)$

17.במערכת $5 x + y = 17$ , $5 x - y = 3$ , מה ערך $y$ ?

$7$
$10$
$- 7$
$3$

18.אחרי השוואת מקדמים התקבל $0 = 0$ . מה המסקנה?

אינסוף פתרונות
אין פתרון
פתרון יחיד
טעות בחישוב

19.פתרו $x + 2 y = 7$ , $3 x - 4 y = 1$ .

$(3, 2)$
$(2, 3)$
$(7, 0)$
$(1, 3)$

20.מערכת $2 x + 3 y = 6$ , $4 x + 6 y = 12$ . כמה פתרונות?

אינסוף (אותה משוואה)
פתרון יחיד
אין פתרון
שני פתרונות

21.מערכת $2 x + 3 y = 6$ , $4 x + 6 y = 15$ . כמה פתרונות?

אין (מקבילים)
אינסוף
פתרון יחיד
שני פתרונות

22.מתי השוואת מקדמים נוחה יותר מהצבה?

כשהמשוואות בצורה $a x + b y = c$ ובידוד יוצר שברים
תמיד
כשהמערכת אין פתרון
כשרוצים לשרטט