שיטת השוואת מקדמים

מביאים מקדמים שווים ומבטלים נעלם אחד

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מזהים נעלם לביטול

נבחר נעלם שקל להביא למקדמים שווים או נגדיים.

מחברים או מחסרים

נחליט איזו פעולה מבטלת את הנעלם ולא רק איזו פעולה נראית קצרה.

משלימים פתרון

אחרי ביטול נעלם אחד, נמצא את השני ונבדוק את הזוג.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ מה מבטלים, ולמה?

שיטת השוואת מקדמים מחפשת דרך לגרום לאחד הנעלמים להיעלם מחיבור או מחיסור של שתי המשוואות. אם המקדמים של $x$ שווים, חיסור יכול לבטל את $x$ . אם הם נגדיים, חיבור יכול לבטל אותו.

תמונה הממחישה ביטול נעלם בעזרת מקדמים שווים בשתי משוואות — כאשר מקדמים מתאימים שווים או נגדיים, אפשר לבטל נעלם ולקבל משוואה פשוטה יותר.

חיבור וחיסור של משוואות

אם שני אגפים שווים, מותר לחבר או לחסר משוואות שלמות, כל עוד עושים זאת לשני האגפים.

המטרה אינה לחבר לשם חיבור, אלא ליצור מצב שבו אחד הנעלמים מתבטל ונשארת משוואה בנעלם אחד.

${x + 2 y = 14 x - y = 2$

הבחירה בין חיבור לחיסור תלויה בסימנים של המקדמים.

ביטול מקדמים שווים

(x + 2 y) - (x - y) = 14 - 2

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

מבטלים את $x$

שלב 1 מתוך 4

{x + 2 y = 14 x - y = 2

לשתי המשוואות יש אותו מקדם של $x$ .

1 x ו- 1 x

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/010-algebra$

סמנו מקדמים

הסתכלו על המקדמים של אותו נעלם בשתי המשוואות.

בחרו נעלם שקל להפוך למקדמים שווים או נגדיים.

בחרו פעולה

מקדמים נגדיים מתבטלים בחיבור.

מקדמים שווים מתבטלים בחיסור.

אל תשכחו לחזור

הביטול נותן רק נעלם אחד.

מציבים כדי להשלים את הזוג.

$math/046-parentheses$ וריאציות שכדאי לזהות

מקדמים שווים

במערכת $2 x + y = 17$ , $2 x - 3 y = 5$ , חיסור מבטל את $2 x$ .

מקדמים נגדיים

במערכת $3 x + y = 8$ , $- 3 x + 2 y = 7$ , חיבור מבטל את $x$ .

צריך להכפיל

אם המקדמים $2$ ו- $5$ , אפשר להכפיל משוואות כדי להגיע למקדם משותף $10$ .

בדיקה

אחרי שמוצאים את הזוג, מציבים בשתי המשוואות כי טעות סימן אחת יכולה להיראות משכנעת עד הבדיקה.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

הפעולה היא על משוואה שלמה

אסור לחסר רק את הנעלם שרוצים לבטל. מחברים או מחסרים את כל אגף שמאל ואת כל אגף ימין.

כתבו את שתי המשוואות אחת מתחת לשנייה.
סמנו את הנעלם שאמור להתבטל.
בצעו חיבור או חיסור לכל האיברים.

שאלה לחשיבה

למה לפעמים כדאי להכפיל משוואה לפני שמחברים או מחסרים?

אם המקדמים אינם שווים או נגדיים, חיבור וחיסור לא יבטלו נעלם. הכפלת משוואה שלמה במספר מתאים יוצרת מקדמים שאפשר לבטל. חשוב להכפיל את כל המשוואה, כדי לשמור על פתרונות שקולים למערכת המקורית.

בדיקת פתרון והעברה

פתרון של מערכת הוא זוג סדור, ולכן בודקים אותו בשתי המשוואות. הבדיקה גם מחברת בין השיטה האלגברית לבין משמעות נקודת החיתוך של שני ישרים.

הפתרון כנקודת חיתוך

טעות מול תיקון

הטעות

מכפילים רק את האיבר שרוצים לבטל, למשל הופכים $2 x + 5 y = 31$ ל- $4 x + 5 y = 31$ .

דוגמה: זו כבר אינה אותה משוואה, ולכן הפתרון החדש עלול לא לקיים את המקור.

התיקון

כפל של משוואה הוא כפל של כל האיברים בשני האגפים.

דוגמה: $2 (2 x + 5 y = 31)$ נותן $4 x + 10 y = 62$ .

השאלה אינה רק מה מבטלים, אלא האם נשארנו עם מערכת שקולה.

החלטה מהירה: לחבר או לחסר?

אחרי שיוצרים מקדמים תואמים, יש שאלה אחת: האם הם זהים או הפוכים? התשובה קובעת אם נחבר את המשוואות או נחסר אותן. בלבול קל בשלב הזה הוא מקור נפוץ לטעויות סימן.

מתי לחבר ומתי לחסר

מקדמי הנעלם שאנחנו מבטלים	פעולה	התוצאה
$+ a$ ו- $- a$ (הפוכים)	חיבור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד
$+ a$ ו- $+ a$ (זהים)	חיסור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד
$- a$ ו- $- a$ (זהים)	חיסור	המקדם נעלם, נשאר נעלם אחד

* אם נחבר במקרה של מקדמים זהים, הם יוכפלו במקום להתבטל - וזה לא עוזר.

טעות סימן בחיסור

טעות

בחיסור, מתייחסים רק לאיבר הראשון של המשוואה השנייה.

דוגמה: $(2 x + 3 y = 11) - (5 x - 2 y = 4) = - 3 x + 3 y = 7$ , ולא $- 3 x + 5 y = 7$ .

תיקון

חיסור פועל על כל איבר של המשוואה השנייה.

דוגמה: $3 y - (- 2 y) = 3 y + 2 y = 5 y$ , אז התוצאה הנכונה היא $- 3 x + 5 y = 7$ .

בחיסור: שינוי סימן לכל איבר במשוואה השנייה, אז מחברים.

ביישום: בעיית תערובת

בעיות תערובת הן דוגמה אופיינית למערכת שמתאימה להשוואת מקדמים. שני נעלמים (כמויות) ושני תנאים (סך כמות, סך "חומר"). בעיה כזו תופיע במבחני בגרות וגם במבחני מיצ"ב.

מסלולים אופייניים בהשוואת מקדמים

מקדמים זהים

$3 x + y = 10$ , $3 x - y = 2$ : חיבור מבטל את $y$ , מקבלים $6 x = 12$ .

כפל יחיד

$x + 2 y = 7$ , $3 x - 4 y = 1$ : כופלים את הראשונה ב- $2$ , מקדמי $y$ הופכים, חיבור מבטל.

כפל כפול

$3 x + 5 y = 11$ , $4 x + 7 y = 15$ : כופלים את הראשונה ב- $4$ ואת השנייה ב- $3$ , מקדמי $x$ שווים, ולכן חיסור מבטל.

מקרים מיוחדים

אם אחרי הכפלים מקבלים $0 = 0$ , יש אינסוף פתרונות. אם מקבלים $0 = k \neq = 0$ , אין פתרון.

שאלה לחשיבה

יש מערכת בה מקדמי $x$ הם $6$ ו- $9$ . במקום להשתמש במ.מ.מ $18$ , נכפול את הראשונה ב- $3$ ואת השנייה ב- $2$ . מה תקבלו? האם זה עדיין מבטל את $x$ ?

אחרי הכפלים, המקדמים יהיו $18$ ו- $18$ , ולכן חיסור יבטל את $x$ . כלומר אפשר לבחור כל מספרים שייצרו מקדמים שווים או הפוכים, לא רק את המ.מ.מ הקטן ביותר. בחירה במספרים גדולים יותר רק מסבכת את החישוב, ולכן בדרך כלל בוחרים במ.מ.מ.

$math/032-axis$ מתי לבחור השוואת מקדמים

השוואת מקדמים מתאימה במיוחד כאשר שתי המשוואות בצורה $a x + b y = c$ , כשמקדמים גדולים מ- $1$ , ובידוד היה יוצר שברים. כשנעלם מבודד או כמעט מבודד, ההצבה לרוב קצרה יותר.

זהו את הנעלם שכדאי לבטל: זה עם המקדמים שמתאימים בקלות.
מצאו את המ.מ.מ של המקדמים.
כפלו כל משוואה בנפרד.
בדקו אם המקדמים זהים (חיסור) או הפוכים (חיבור).
בצעו את הפעולה ופתרו לנעלם הנותר.
הציבו במשוואה מקורית כדי למצוא את השני.

שיטת השוואת מקדמים היא הבסיס של אלגוריתם 'חיסול גאוס', שמשמש למערכות בעשרות אלפי משוואות בכמעט כל תחום הנדסי, ממיכון ועד תורת היחסות. אותו רעיון - 'מבטלים נעלם בכל צעד' - שמופיע אצלכם עכשיו במערכת קטנה, מנהל מערכות פיזיקליות ענקיות בעולם המעשי.

שאלה 1 מתוך 22

מערכת $2 x + 3 y = 6$ , $4 x + 6 y = 12$ . כמה פתרונות?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שיטת השוואת מקדמים כבר מוכן.

פתחו תרגול

שיטת השוואת מקדמים

מה בונים במודול?

מה מבטלים, ולמה?

חיבור וחיסור של משוואות

דוגמה פתורה

מבטלים את x

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

סמנו מקדמים

בחרו פעולה

אל תשכחו לחזור

וריאציות שכדאי לזהות

מקדמים שווים

מקדמים נגדיים

צריך להכפיל

בדיקה

טעות נפוצה

הפעולה היא על משוואה שלמה

שאלה לחשיבה

בדיקת פתרון והעברה

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

החלטה מהירה: לחבר או לחסר?

מתי לחבר ומתי לחסר

טעות סימן בחיסור

טעות

תיקון

ביישום: בעיית תערובת

מסלולים אופייניים בהשוואת מקדמים

מקדמים זהים

כפל יחיד

כפל כפול

מקרים מיוחדים

שאלה לחשיבה

מתי לבחור השוואת מקדמים

השוואת מקדמים והאלגברה הליניארית

מערכת 2x+3y=6, 4x+6y=12. כמה פתרונות?