גרסת הדפסה | החוברת

ישר חותך, מקביל או מתלכד משנה את מספר הפתרונות

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

סיווג גרפי: נקשר בין מצב הישרים לבין מספר הפתרונות של המערכת.
סיווג אלגברי: נזהה מתי מתקבלת סתירה, זהות או ערך יחיד.
הסבר מילולי: ננסח למה המערכת קיבלה מספר פתרונות מסוים ולא רק נכתוב תשובה.

שלושה מצבים אפשריים

שני ישרים במישור יכולים להיחתך, להיות מקבילים שונים, או להיות אותו ישר. שלושת המצבים האלה מתורגמים לאלגברה: פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות.

מה האלגברה אומרת?

כאשר פותרים מערכת, לפעמים הנעלמים נעלמים לפני שמקבלים ערך.

0 = 0 או 0 = 5

הסיום האלגברי מספר לנו על המצב הגרפי של הישרים.

סימני סיווג

תוצאה אלגברית x = a 0 = 5 0 = 0 מספר פתרונות 10 \infty

ישר חותך, מקביל או מתלכד

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

מערכת ללא פתרון

{y = 2 x + 1 y = 2 x - 3

משווים בין שני הביטויים של $y$ .
$2 x + 1 = 2 x - 3$
מחסרים $2 x$ משני האגפים.
$1 = - 3$

תשובה:

אין פתרון

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

שיפועים שונים

הישרים נחתכים פעם אחת.
למערכת יש פתרון יחיד.

שיפוע שווה, חיתוך שונה

הישרים מקבילים שונים.
אין פתרון משותף.

אותה משוואה בתחפושת

הישרים מתלכדים.
יש אינסוף פתרונות.

וריאציות שכדאי לזהות

פתרון יחיד

$y = x + 1$ ו- $y = - 2 x + 7$ בעלי שיפועים שונים ולכן נחתכים פעם אחת.

אין פתרון

$y = 2 x + 1$ ו- $y = 2 x - 3$ בעלי אותו שיפוע ואיברים חופשיים שונים.

אינסוף פתרונות

$2 y = 4 x + 2$ היא אותה משוואה כמו $y = 2 x + 1$ .

אלגברה וגרף

סתירה כמו $0 = 5$ מתאימה לישרים מקבילים. זהות כמו $0 = 0$ מתאימה לישרים מתלכדים.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

למה שתי משוואות שונות במראה יכולות לתאר אותו ישר?

מזהים לפי שיפוע וחיתוך

כאשר שתי המשוואות כתובות בצורה

y = m x + b

, אפשר לסווג את מספר הפתרונות עוד לפני פתרון מלא. השיפוע מספר אם הישרים יכולים להיפגש, והאיבר החופשי מספר איפה כל ישר חותך את ציר

y

מיון מהיר לפי $m$ ו- $b$

השוואה m_{1} \neq = m_{2} m_{1} = m_{2}, b_{1} \neq = b_{2} m_{1} = m_{2}, b_{1} = b_{2} מצב גרפי נחתכים מקבילים שונים אותו ישר מספר פתרונות 10 \infty

שלושה סוגי קשרים על אותו גרף

תיקון בלבול בין אין פתרון לאינסוף

שני המקרים נראים דומים כי בשניהם הנעלמים יכולים להתבטל. ההבדל נמצא במשפט האחרון: אמת תמידית מתארת אותו ישר, וסתירה מתארת ישרים מקבילים שונים.

השורה האחרונה קובעת

סתירה

$0 = 7$ או $10 = 3$ .

אין זוג מספרים שיכול להפוך משפט שקר לאמת, לכן אין פתרון.

זהות

$0 = 0$ או אותה משוואה אחרי פישוט.

כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות, לכן יש אינסוף פתרונות.

אל תסתפקו במילים 'הנעלמים התבטלו'. שאלו מה נשאר אחרי שהם התבטלו.

קריטריון יחסי המקדמים

אם המערכת בצורה

a_{1} x + b_{1} y = c_{1}

ו-

a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

, אפשר לקבוע את מספר הפתרונות מתוך השוואת היחסים בין המקדמים, מבלי לפתור את המערכת בפועל. זוהי דרך מהירה לבחון אם שווה להשקיע בפתרון מלא.

יחסי מקדמים ומספר פתרונות

יחסים	מצב גרפי	מספר פתרונות
$\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$	ישרים נחתכים	פתרון יחיד
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	ישרים מקבילים	אין פתרון
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	ישרים מתלכדים	אינסוף פתרונות

הקריטריון תקף רק למשוואות בצורה הסטנדרטית $a x + b y = c$ .

מציאת ערך פרמטר שמשנה את מספר הפתרונות

במבחנים נפוצה השאלה: עבור איזה ערך של פרמטר

k

למערכת אין פתרון או יש אינסוף פתרונות? הקריטריון של יחסי המקדמים פותר אותה ישירות.

דוגמאות לכל המקרים

פתרון יחיד

$y = 2 x + 1$ ו- $y = - x + 4$ - שיפועים שונים, חיתוך $(1, 3)$ .

אין פתרון

$y = 2 x + 1$ ו- $y = 2 x - 3$ - מקבילים, אין נקודת חיתוך.

אינסוף פתרונות

$y = x + 5$ ו- $2 y = 2 x + 10$ - אותו ישר.

מקרה מיוחד

$x = 3$ ו- $y = 2$ - אנכי ואופקי, חיתוך ב- $(3, 2)$ .

במערכת בה אחת המשוואות היא $3 x + 6 y = 12$ ולמערכת אינסוף פתרונות, איזה כפל הופך אותה למשוואה השנייה? אם המערכת היא בלי פתרון, מה ההבדל היחיד?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מתי יש למערכת פתרון יחיד?

כאשר שני הישרים נחתכים בנקודה אחת
כאשר הישרים מקבילים שונים
כאשר המשוואות זהות
כאשר מתקבל $0 = 0$

2.מה פירוש התוצאה $0 = 5$ בפתרון מערכת?

אין פתרון
יש פתרון יחיד
יש אינסוף פתרונות
$x = 5$

3.מה פירוש התוצאה $0 = 0$ ?

אינסוף פתרונות
אין פתרון
פתרון יחיד
$x = 0$ בלבד

4.למערכת $y = 3 x + 2$ , $y = 3 x - 4$ יש:

אין פתרון
פתרון יחיד
אינסוף פתרונות
שני פתרונות

5.איזו מערכת מתארת אינסוף פתרונות?

$2 y = 4 x + 2$ ו- $y = 2 x + 1$
$y = x$ ו- $y = x + 1$
$y = x$ ו- $y = - x$
$y = 2 x$ ו- $y = 3 x$

6.מה כדאי לבדוק לפני שקובעים שאין פתרון?

שהמשוואות אינן בעצם אותה משוואה לאחר פישוט
שהמספרים גדולים מספיק
שיש שני נעלמים בלבד
שהגרף צבעוני

7.למערכת $y = - x + 6$ , $y = 2 x - 3$ יש פתרון:

$(3, 3)$
$(6, - 3)$
אין פתרון
אינסוף פתרונות

8.מה מספר הפתרונות של $3 y = 6 x + 12$ , $y = 2 x + 4$ ?

אינסוף פתרונות
אין פתרון
פתרון יחיד
שלושה פתרונות

9.מה מספר הפתרונות של $2 x - y = 5$ , $4 x - 2 y = 3$ ?

אין פתרון
אינסוף פתרונות
פתרון יחיד
$(5, 3)$

10.עבור איזה $a$ למערכת $y = 3 x + a$ , $y = 3 x - 2$ יש אינסוף פתרונות?

$a = - 2$
$a = 3$
$a = 2$
כל ערך של $a$

11.כמה פתרונות יש ל- $y = 2 x + 1$ , $y = - x + 4$ ?

פתרון יחיד
אין פתרון
אינסוף
שני פתרונות

12.אחרי אלימינציה התקבל $0 = 4$ . כמה פתרונות?

אין
אינסוף
יחיד
ארבעה

13.אחרי אלימינציה התקבל $0 = 0$ . כמה פתרונות?

אינסוף
אין
יחיד $0$
שגיאה

14.במערכת $y = k x + 1$ , $y = 2 x + 5$ , עבור איזה $k$ אין פתרון?

$k = 2$
$k = 5$
$k = 1$
$k \neq = 2$

15.במערכת $y = k x + 5$ , $y = 2 x + 5$ , עבור איזה $k$ אינסוף פתרונות?

$k = 2$
$k = 5$
כל $k$
$k \neq = 2$

16.המערכת $2 x + 3 y = 7$ , $4 x + 6 y = 14$ . מספר פתרונות?

אינסוף
אין
יחיד
שני

17.המערכת $2 x + 3 y = 7$ , $4 x + 6 y = 20$ . מספר פתרונות?

אין
אינסוף
יחיד
שלושה

18.תנו דוגמה למערכת ללא פתרון.

$y = x + 1$ , $y = x + 5$
$y = x + 1$ , $y = 2 x + 1$
$y = x$ , $2 y = 2 x$
$y = 3$ , $x = 3$

19.תנו דוגמה למערכת עם אינסוף פתרונות.

$y = 2 x$ , $2 y = 4 x$
$y = 2 x + 1$ , $y = 2 x + 5$
$y = x + 1$ , $y = 2 x + 1$
אין דוגמה

20.במערכת מקדמים $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ . מספר פתרונות?

אינסוף
אין
יחיד
תלוי בערכים

21.במערכת $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ . מספר פתרונות?

אין
אינסוף
יחיד
תלוי

22.במערכת בה השיפועים שונים, כמה פתרונות?

יחיד
אין
אינסוף
שני