כמה פתרונות יש למערכת

ישר חותך, מקביל או מתלכד משנה את מספר הפתרונות

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

סיווג גרפי

נקשר בין מצב הישרים לבין מספר הפתרונות של המערכת.

סיווג אלגברי

נזהה מתי מתקבלת סתירה, זהות או ערך יחיד.

הסבר מילולי

ננסח למה המערכת קיבלה מספר פתרונות מסוים ולא רק נכתוב תשובה.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ שלושה מצבים אפשריים

שני ישרים במישור יכולים להיחתך, להיות מקבילים שונים, או להיות אותו ישר. שלושת המצבים האלה מתורגמים לאלגברה: פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות.

$math/048-graphs$ מה האלגברה אומרת?

כאשר פותרים מערכת, לפעמים הנעלמים נעלמים לפני שמקבלים ערך.

אם מתקבלת אמת תמידית כמו $0 = 0$ , שתי המשוואות מתארות אותו תנאי. אם מתקבלת סתירה כמו $0 = 5$ , אין זוג שיכול לקיים את המערכת.

$0 = 0 או 0 = 5$

הסיום האלגברי מספר לנו על המצב הגרפי של הישרים.

סימני סיווג

תוצאה אלגברית x = a 0 = 5 0 = 0 מספר פתרונות 10 \infty

ישר חותך, מקביל או מתלכד

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

מערכת ללא פתרון

שלב 1 מתוך 2

{y = 2 x + 1 y = 2 x - 3

משווים בין שני הביטויים של $y$ .

2 x + 1 = 2 x - 3

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

שיפועים שונים

הישרים נחתכים פעם אחת.

למערכת יש פתרון יחיד.

שיפוע שווה, חיתוך שונה

הישרים מקבילים שונים.

אין פתרון משותף.

$math/046-parentheses$

אותה משוואה בתחפושת

הישרים מתלכדים.

יש אינסוף פתרונות.

וריאציות שכדאי לזהות

פתרון יחיד

$y = x + 1$ ו- $y = - 2 x + 7$ בעלי שיפועים שונים ולכן נחתכים פעם אחת.

אין פתרון

$y = 2 x + 1$ ו- $y = 2 x - 3$ בעלי אותו שיפוע ואיברים חופשיים שונים.

אינסוף פתרונות

$2 y = 4 x + 2$ היא אותה משוואה כמו $y = 2 x + 1$ .

אלגברה וגרף

סתירה כמו $0 = 5$ מתאימה לישרים מקבילים. זהות כמו $0 = 0$ מתאימה לישרים מתלכדים.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

לא עוצרים כשנעלמים נעלמים

אם הנעלמים מתבטלים, צריך לפרש את מה שנשאר. אמת תמידית אינה שגיאה, וסתירה אינה חישוב חסר.

קראו את השורה האחרונה.
אם היא אמת, יש אינסוף פתרונות.
אם היא שקר, אין פתרון.

שאלה לחשיבה

למה שתי משוואות שונות במראה יכולות לתאר אותו ישר?

אפשר להכפיל או לחלק משוואה שלמה במספר שאינו אפס ולקבל משוואה שקולה. לכן $2 y = 4 x + 2$ ו- $y = 2 x + 1$ נראות שונות, אבל כל נקודה שמקיימת אחת מקיימת גם את השנייה. זהו אותו תנאי בכתיבה אחרת.

$math/032-axis$ מזהים לפי שיפוע וחיתוך

כאשר שתי המשוואות כתובות בצורה $y = m x + b$ , אפשר לסווג את מספר הפתרונות עוד לפני פתרון מלא. השיפוע מספר אם הישרים יכולים להיפגש, והאיבר החופשי מספר איפה כל ישר חותך את ציר $y$ .

מיון מהיר לפי $m$ ו- $b$

השוואה m_{1} \neq = m_{2} m_{1} = m_{2}, b_{1} \neq = b_{2} m_{1} = m_{2}, b_{1} = b_{2} מצב גרפי נחתכים מקבילים שונים אותו ישר מספר פתרונות 10 \infty

שלושה סוגי קשרים על אותו גרף

תיקון בלבול בין אין פתרון לאינסוף

שני המקרים נראים דומים כי בשניהם הנעלמים יכולים להתבטל. ההבדל נמצא במשפט האחרון: אמת תמידית מתארת אותו ישר, וסתירה מתארת ישרים מקבילים שונים.

השורה האחרונה קובעת

סתירה

$0 = 7$ או $10 = 3$ .

דוגמה: אין זוג מספרים שיכול להפוך משפט שקר לאמת, לכן אין פתרון.

זהות

$0 = 0$ או אותה משוואה אחרי פישוט.

דוגמה: כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות, לכן יש אינסוף פתרונות.

אל תסתפקו במילים 'הנעלמים התבטלו'. שאלו מה נשאר אחרי שהם התבטלו.

קריטריון יחסי המקדמים

אם המערכת בצורה $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ ו- $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ , אפשר לקבוע את מספר הפתרונות מתוך השוואת היחסים בין המקדמים, מבלי לפתור את המערכת בפועל. זוהי דרך מהירה לבחון אם שווה להשקיע בפתרון מלא.

יחסי מקדמים ומספר פתרונות

יחסים	מצב גרפי	מספר פתרונות
$\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$	ישרים נחתכים	פתרון יחיד
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	ישרים מקבילים	אין פתרון
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	ישרים מתלכדים	אינסוף פתרונות

* הקריטריון תקף רק למשוואות בצורה הסטנדרטית $a x + b y = c$ .