גרסת הדפסה | החוברת

מחליפים נעלם בביטוי שווה לו ומגיעים למשוואה אחת

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מבודדים: נזהה משוואה שבה קל לבודד נעלם אחד בלי ליצור שברים מסובכים.
מציבים: נחליף את הנעלם בביטוי ששווה לו בתוך המשוואה השנייה.
חוזרים ובודקים: נמצא את הנעלם השני ונציב את שני הערכים בשתי המשוואות.

למה הצבה עובדת?

אם שתי צורות כתיבה שוות זו לזו, מותר להחליף אחת בשנייה. כאשר יודעים למשל ש-

y = 2 x + 1

, אפשר להציב את הביטוי

2 x + 1

בכל מקום שבו מופיע

y

. כך מערכת עם שני נעלמים הופכת למשוואה אחת.

תמונה הממחישה את שיטת ההצבה כרצף של בידוד, החלפה ובדיקה — בשיטת ההצבה מחליפים נעלם בביטוי שווה לו, ולכן מספר הנעלמים במשוואה קטן.

החלפה ששומרת על שוויון

הצבה אינה טריק. היא פעולה שמבוססת על כך ששני ביטויים שווים מייצגים אותו ערך.

y = 2 x + 1, x + y = 13

אחרי שמוצאים את $x$ , חייבים לחזור לאחת המשוואות כדי למצוא את $y$ .

תבנית הצבה

y = f (x), x + y = c, מציבים: x + f (x) = c

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

פותרים בהצבה

{y = 2 x + 1 x + y = 13

המשוואה הראשונה כבר מבודדת את $y$ .
$y = 2 x + 1$
מציבים את הביטוי במקום $y$ במשוואה השנייה.
$x + (2 x + 1) = 13$
מכנסים איברים ופותרים.
$3 x + 1 = 13 \Rightarrow x = 4$
חוזרים למשוואה המבודדת כדי למצוא את $y$ .
$y = 2 \cdot 4 + 1 = 9$

תשובה:

(4, 9)

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

בחרו משוואה נוחה

חפשו נעלם שמופיע עם מקדם $1$ או $- 1$ .
אם בידוד יוצר שברים ארוכים, ייתכן ששיטה אחרת נוחה יותר.

סגרו סוגריים

כאשר מציבים ביטוי, כותבים אותו בסוגריים.
כך שומרים על סימנים ועל כפל נכון.

חזרו לנעלם השני

אחרי שמצאתם ערך אחד, הציבו במשוואה הפשוטה ביותר.
בדקו את הזוג בשתי המשוואות.

הצבה עם סימן מינוס

הצבה נעשית זהה גם כאשר הביטוי כולל חיסור. ההבדל הוא שצריך להגן על הביטוי בסוגריים, במיוחד כאשר לפניו מופיע מינוס או מקדם.

הסוגריים שומרים שכל הביטוי מחליף את הנעלם

3 x - y = 7, y = 8 - 2 x, מציבים: 3 x - (8 - 2 x) = 7

וריאציות שכדאי לזהות

משוואה מבודדת

מערכת כמו $y = 5 - x$ , $2 x + y = 11$ מזמינה הצבה מידית.

בידוד קצר

אם $x - y = 4$ , אפשר לכתוב $x = y + 4$ או $y = x - 4$ . בוחרים לפי המשוואה השנייה.

בדיקת סוגריים

במשוואה $3 - (2 x + 1) = 8$ , הסוגריים מונעים טעות בסימן המינוס.

שברים

אם בידוד יוצר $y = \frac{13 - 2 x}{5}$ , לפעמים שיטת השוואת מקדמים קצרה יותר.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

טעות מול תיקון

הטעות

להציב ביטוי בלי סוגריים ואז לפתוח מינוס רק על האיבר הראשון.

$3 x - (8 - 2 x)$ הופך בטעות ל- $3 x - 8 - 2 x$ .

התיקון

כותבים את כל הביטוי בסוגריים ופותחים פעולה אחת בכל פעם.

$3 x - (8 - 2 x) = 3 x - 8 + 2 x$ , ולכן הסימן של $- 2 x$ מתחלף.

סוגריים אינם קישוט, הם שומרים על המשמעות של ההצבה.

מתי שיטת ההצבה פחות נוחה, גם אם היא תמיד אפשרית?

כשההצבה מובילה לזהות או לסתירה

לעיתים אחרי ההצבה הנעלמים נעלמים והמשוואה הופכת לזהות מספרית או לסתירה. אלה אינם כישלונות של השיטה, אלא תוצאה אמיתית של המערכת: מערכת התלכדות נותנת אינסוף פתרונות, ומערכת מקבילים נותנת חוסר פתרון.

פענוח התוצאה אחרי ההצבה

מה התקבל אחרי ההצבה	פירוש גיאומטרי	מספר פתרונות
$x = k$ (ערך אחד)	שני ישרים נחתכים בנקודה אחת	פתרון יחיד
$0 = 0$	שני הישרים זהים (מתלכדים)	אינסוף פתרונות
$0 = k$ עם $k \neq = 0$	שני הישרים מקבילים	אין פתרון

התוצאה לאחר ההצבה היא 'אבחון' של היחס בין הישרים, לא רק מספר.

הצבה בבעיה מילולית

במבחנים בעיות מילוליות לרוב מובילות למערכת בה אחד הנעלמים מבודד באופן טבעי מהשפה (למשל "גיל אבא הוא פי 3 מגיל בנו" נותן

A = 3 B

). שיטת ההצבה כאן כמעט אוטומטית.

במערכת בה לאחר ההצבה הנעלמים מתבטלים והמשוואה הופכת ל- $0 = 0$ , איך תסבירו זאת לחבר שמתעקש שאין פתרון?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו הרעיון המרכזי בשיטת ההצבה?

להחליף נעלם בביטוי ששווה לו
למחוק משוואה אחת
לצייר ישרים בלבד
להחליף את כיוון האי-שוויון

2.במערכת $y = 2 x + 1$ , $x + y = 13$ , מה מציבים במקום $y$ ?

$2 x + 1$
$13 - x$
$x + 1$
$2 y + 1$

3.אחרי ההצבה $x + (2 x + 1) = 13$ , מה ערך $x$ ?

$4$
$9$
$12$
$3$

4.למה חשוב לחזור ולמצוא את הנעלם השני?

כי פתרון מערכת הוא זוג ערכים
כי צריך תמיד לצייר גרף
כי אסור להשתמש במשוואה הראשונה
כי פתרון הוא תמיד מספר אחד

5.מהי טעות נפוצה בהצבת $3 x - 2$ ?

לשכוח סוגריים כאשר יש פעולה מחוץ לביטוי
לכתוב את שני הנעלמים
לבודד נעלם
לבדוק את הפתרון

6.מתי הצבה נוחה במיוחד?

כאשר אחד הנעלמים כבר מבודד
כאשר שני המקדמים גדולים מאוד
כאשר אין משוואות
כאשר יש רק אי-שוויון

7.במערכת $y = 4 - x$ , $2 x + y = 11$ , איזו משוואה מתקבלת אחרי הצבה?

$2 x + (4 - x) = 11$
$2 x + 4 + x = 11$
$y = 11 - 2 x$
$2 x + y = 4 - x$

8.מה פתרון המערכת $y = x + 5$ , $2 x + y = 17$ ?

$(4, 9)$
$(9, 4)$
$(4, 5)$
$(6, 11)$

9.למה בפתרון $y = 5 - 2 x$ , $3 y + x = 16$ כדאי לכתוב $3 (5 - 2 x) + x = 16$ ?

כדי שהמקדם 3 יכפול את כל הביטוי שמחליף את $y$
כי אסור להציב ביטוי עם חיסור
כדי למחוק את $x$
כי הפתרון חייב להיות שלילי

10.במערכת $y = x + 5$ , $2 x + y = 11$ , מהו הביטוי שמציבים?

$x + 5$
$11 - 2 x$
$x - 5$
$5 - x$

11.פתרו את המערכת $y = 2 x + 1$ , $x + y = 10$ .

$(3, 7)$
$(7, 3)$
$(2, 8)$
$(4, 9)$

12.במערכת $x = 2 y + 3$ , $3 x - y = 4$ , מה צריך לעשות ראשונה?

להציב $2 y + 3$ במקום $x$
לבודד $y$ מהמשוואה הראשונה
לחבר את שתי המשוואות
לכפול את הראשונה ב- $3$

13.פתרו $y = 8 - 2 x$ , $3 x - y = 7$ .

$(3, 2)$
$(2, 4)$
$(5, - 2)$
$(1, 6)$

14.אחרי הצבה במערכת התקבל $0 = 0$ . מה זה אומר?

אינסוף פתרונות (אותו ישר)
אין פתרון
פתרון יחיד $x = 0$
צריך לפתור שוב

15.אחרי הצבה במערכת התקבל $0 = 5$ . מה זה אומר?

אין פתרון (ישרים מקבילים)
פתרון $x = 5$
אינסוף פתרונות
שגיאה בהצבה

16.במערכת $y = 3 x$ , $2 x + y = 20$ , מהו $x$ ?

$4$
$5$
$10$
$3$

17.באיזה מקרה ההצבה תיצור שברים מורכבים?

כשהמקדם של הנעלם המבודד אינו $\pm 1$
כשיש מספרים שליליים
כשמספר הפתרונות אינסופי
כשהמשוואות זהות

18.פתרו $x + y = 15$ , $x - y = 3$ בשיטת הצבה.

$(9, 6)$
$(6, 9)$
$(7, 8)$
$(8, 7)$

19.במערכת המוצבת בה רואים מינוס לפני הביטוי המוצב, מה חשוב לעשות?

לכתוב את הביטוי בסוגריים
להחליף סימן לפניו
לדלג על המינוס
לכפול ב- $- 1$

20.מערכת ש- $y$ מבודד היא:

מערכת המתאימה במיוחד להצבה
מערכת בלי פתרון
מערכת עם אינסוף פתרונות
מערכת לא לינארית

21.אחרי שמוצאים $x$ בשיטת הצבה, מה הצעד הבא?

מציבים בחזרה למצוא את הנעלם השני
פותרים שוב את המערכת
בודקים את המספר הראשון בלבד
מסיימים את הפתרון

22.בכרטיסי הופעה: 200 כרטיסים, מבוגר 40₪, ילד 20₪, סך 6,400₪. כמה מבוגרים?

$120$
$80$
$160$
$40$