שיטת ההצבה

מחליפים נעלם בביטוי שווה לו ומגיעים למשוואה אחת

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מבודדים

נזהה משוואה שבה קל לבודד נעלם אחד בלי ליצור שברים מסובכים.

מציבים

נחליף את הנעלם בביטוי ששווה לו בתוך המשוואה השנייה.

חוזרים ובודקים

נמצא את הנעלם השני ונציב את שני הערכים בשתי המשוואות.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ למה הצבה עובדת?

אם שתי צורות כתיבה שוות זו לזו, מותר להחליף אחת בשנייה. כאשר יודעים למשל ש- $y = 2 x + 1$ , אפשר להציב את הביטוי $2 x + 1$ בכל מקום שבו מופיע $y$ . כך מערכת עם שני נעלמים הופכת למשוואה אחת.

תמונה הממחישה את שיטת ההצבה כרצף של בידוד, החלפה ובדיקה — בשיטת ההצבה מחליפים נעלם בביטוי שווה לו, ולכן מספר הנעלמים במשוואה קטן.

החלפה ששומרת על שוויון

הצבה אינה טריק. היא פעולה שמבוססת על כך ששני ביטויים שווים מייצגים אותו ערך.

כאשר מחליפים $y$ בביטוי $2 x + 1$ , המשוואה החדשה מתארת את אותם פתרונות של המערכת, אבל עם נעלם אחד בלבד.

$y = 2 x + 1, x + y = 13$

אחרי שמוצאים את $x$ , חייבים לחזור לאחת המשוואות כדי למצוא את $y$ .

תבנית הצבה

y = f (x), x + y = c, מציבים: x + f (x) = c

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

פותרים בהצבה

שלב 1 מתוך 4

{y = 2 x + 1 x + y = 13

המשוואה הראשונה כבר מבודדת את $y$ .

y = 2 x + 1

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/010-algebra$

בחרו משוואה נוחה

חפשו נעלם שמופיע עם מקדם $1$ או $- 1$ .

אם בידוד יוצר שברים ארוכים, ייתכן ששיטה אחרת נוחה יותר.

$math/046-parentheses$

סגרו סוגריים

כאשר מציבים ביטוי, כותבים אותו בסוגריים.

כך שומרים על סימנים ועל כפל נכון.

חזרו לנעלם השני

אחרי שמצאתם ערך אחד, הציבו במשוואה הפשוטה ביותר.

בדקו את הזוג בשתי המשוואות.

הצבה עם סימן מינוס

הצבה נעשית זהה גם כאשר הביטוי כולל חיסור. ההבדל הוא שצריך להגן על הביטוי בסוגריים, במיוחד כאשר לפניו מופיע מינוס או מקדם.

הסוגריים שומרים שכל הביטוי מחליף את הנעלם

3 x - y = 7, y = 8 - 2 x, מציבים: 3 x - (8 - 2 x) = 7

וריאציות שכדאי לזהות

משוואה מבודדת

מערכת כמו $y = 5 - x$ , $2 x + y = 11$ מזמינה הצבה מידית.

בידוד קצר

אם $x - y = 4$ , אפשר לכתוב $x = y + 4$ או $y = x - 4$ . בוחרים לפי המשוואה השנייה.

בדיקת סוגריים

במשוואה $3 - (2 x + 1) = 8$ , הסוגריים מונעים טעות בסימן המינוס.

שברים

אם בידוד יוצר $y = \frac{13 - 2 x}{5}$ , לפעמים שיטת השוואת מקדמים קצרה יותר.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

טעות מול תיקון

הטעות

להציב ביטוי בלי סוגריים ואז לפתוח מינוס רק על האיבר הראשון.

דוגמה: $3 x - (8 - 2 x)$ הופך בטעות ל- $3 x - 8 - 2 x$ .

התיקון

כותבים את כל הביטוי בסוגריים ופותחים פעולה אחת בכל פעם.

דוגמה: $3 x - (8 - 2 x) = 3 x - 8 + 2 x$ , ולכן הסימן של $- 2 x$ מתחלף.

סוגריים אינם קישוט, הם שומרים על המשמעות של ההצבה.

סוגריים אינם קישוט

כאשר הביטוי המוצב כולל חיבור או חיסור, הסוגריים שומרים על הפעולה שמחוץ לביטוי. בלעדיהם קל להפוך סימנים או לכפול רק איבר אחד.

כתבו את הביטוי המוצב בתוך סוגריים.
פתחו סוגריים לאט, במיוחד ליד מינוס.
בדקו בסוף על ידי הצבה בשתי המשוואות.

שאלה לחשיבה

מתי שיטת ההצבה פחות נוחה, גם אם היא תמיד אפשרית?

כאשר אף נעלם אינו מבודד בקלות, או כאשר הבידוד יוצר שברים מורכבים, שיטת ההצבה עלולה להאריך את הפתרון ולהגדיל סיכוי לטעות חישוב. במקרים כאלה כדאי לבדוק אם השוואת מקדמים נותנת ביטול מהיר יותר של אחד הנעלמים.

כשההצבה מובילה לזהות או לסתירה

לעיתים אחרי ההצבה הנעלמים נעלמים והמשוואה הופכת לזהות מספרית או לסתירה. אלה אינם כישלונות של השיטה, אלא תוצאה אמיתית של המערכת: מערכת התלכדות נותנת אינסוף פתרונות, ומערכת מקבילים נותנת חוסר פתרון.

פענוח התוצאה אחרי ההצבה

מה התקבל אחרי ההצבה	פירוש גיאומטרי	מספר פתרונות
$x = k$ (ערך אחד)	שני ישרים נחתכים בנקודה אחת	פתרון יחיד
$0 = 0$	שני הישרים זהים (מתלכדים)	אינסוף פתרונות
$0 = k$ עם $k \neq = 0$	שני הישרים מקבילים	אין פתרון

* התוצאה לאחר ההצבה היא 'אבחון' של היחס בין הישרים, לא רק מספר.

הצבה בבעיה מילולית

במבחנים בעיות מילוליות לרוב מובילות למערכת בה אחד הנעלמים מבודד באופן טבעי מהשפה (למשל "גיל אבא הוא פי 3 מגיל בנו" נותן $A = 3 B$ ). שיטת ההצבה כאן כמעט אוטומטית.

שאלה לחשיבה

במערכת בה לאחר ההצבה הנעלמים מתבטלים והמשוואה הופכת ל- $0 = 0$ , איך תסבירו זאת לחבר שמתעקש שאין פתרון?

המסקנה $0 = 0$ אינה סתירה, אלא זהות מספרית שתמיד מתקיימת. היא אומרת שכל זוג שמקיים את המשוואה הראשונה מקיים אוטומטית את המשוואה השנייה, ולכן יש אינסוף פתרונות, כולם נמצאים על אותו ישר. אם נצייר את שתי המשוואות נראה שהן הופכות לאותו קו ישר במישור.

ההבנה הזו מכינה למודול הבא על מספר פתרונות במערכת.

תמצית שיטת ההצבה

בחרו משוואה שבה הבידוד יוצר ביטוי קצר. הציבו את הביטוי בסוגריים. פתרו משוואה בנעלם אחד. חזרו לבידוד למצוא את הנעלם השני. בדקו תמיד בשתי המשוואות המקוריות.

שיטת ההצבה היא מקרה פרטי של רעיון 'החלפה' שמופיע גם באלגברה לינארית, בתכנון מסלולים ובאלגוריתמי מחשב. בחישוב מתקדם משתמשים בשיטה מנהלית בשם 'חיסול גאוס' שמכלילה את ההצבה למערכות בעשרות נעלמים. גם שם הרעיון זהה: לצמצם את מספר הנעלמים בכל צעד.

שאלה 1 מתוך 22

פתרו את המערכת $y = 2 x + 1$ , $x + y = 10$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שיטת ההצבה כבר מוכן.

פתחו תרגול

שיטת ההצבה

מה בונים במודול?

למה הצבה עובדת?

החלפה ששומרת על שוויון

דוגמה פתורה

פותרים בהצבה

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

בחרו משוואה נוחה

סגרו סוגריים

חזרו לנעלם השני

הצבה עם סימן מינוס

וריאציות שכדאי לזהות

משוואה מבודדת

בידוד קצר

בדיקת סוגריים

שברים

טעות נפוצה

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

סוגריים אינם קישוט

שאלה לחשיבה

כשההצבה מובילה לזהות או לסתירה

פענוח התוצאה אחרי ההצבה

הצבה בבעיה מילולית

שאלה לחשיבה

תמצית שיטת ההצבה

לאן זה ממשיך?

פתרו את המערכת y=2x+1, x+y=10.