גרסת הדפסה | החוברת

מתי מספר יכול להיכתב כשבר ומתי לא?

עולם המספרים מתרחב

עד עכשיו עבדנו בעיקר עם מספרים שלמים, שברים פשוטים ועשרוניים סופיים. עכשיו נראה שלעולם המספרים יש שתי קבוצות גדולות: מספרים רציונליים, שאפשר לכתוב כשבר של שלמים, ומספרים אי-רציונליים, שאי אפשר. ההבחנה הזאת תופיע בכל פעם שתופיעו עם שורש שאינו שלם, ובמיוחד עם $2$ שיופיע במודול הבא.

שבר: צורה כמו $\frac{p}{q}$ , כאשר $p$ ו- $q$ שלמים ו- $q \neq = 0$ . כל שבר הוא רציונלי.
עשרוני סופי: למשל $0.75$ , שאפשר לכתוב כ- $\frac{3}{4}$ . כל עשרוני סופי הוא רציונלי.
עשרוני מחזורי: למשל $0. 3$ , שחוזר באותה תבנית. הוא ארוך אינסופית, אבל עדיין רציונלי.
אי-רציונלי: מספר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי. דוגמה ראשית: שורשים של מספרים שלמים שאינם ריבועים מושלמים, כמו $10$ .

הגדרה מדויקת

השם "רציונלי" קשור ליחס. בלטינית ratio פירושו יחס. אם מספר ניתן לכתיבה כיחס בין שני שלמים, הוא רציונלי. אם אי אפשר לכתוב אותו כך, הוא אי-רציונלי. זוהי ההגדרה הראשית, וכל בדיקה תחזור בסוף לשאלה: האם אפשר להציג את המספר כשבר של שלמים?

מספר רציונלי

מספר רציונלי הוא מספר שאפשר לכתוב בצורה $\frac{p}{q}$ , כאשר $p$ ו- $q$ שלמים ו- $q \neq = 0$ .

q \neq = 0, \frac{p}{q}

שורש של ריבוע שלם, כמו $16 = 4$ , הוא רציונלי. שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם, כמו $10$ , הוא אי-רציונלי במסגרת הפרק. נראה למה במודול ההעשרה על $2$ .

דוגמה לעשרוני מחזורי כשבר

0. 3 = \frac{1}{3}

הגדרה טובה היא כלי עבודה. בכל פעם שמסווגים מספר שואלים שתי שאלות: האם אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים, והאם הייצוג העשרוני שלו מסתיים או חוזר במחזור קבוע. אם התשובה לאחת מהשאלות חיובית, המספר רציונלי. אחרת, הוא אי-רציונלי.

למה עשרוני מחזורי הוא רציונלי

הרבה תלמידים מתקשים בעובדה הזאת: עשרוני אינסופי שחוזר במחזור הוא בכל זאת מספר רציונלי, כי אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים. נראה איך, על דוגמה ספציפית.

המרת $0. 12$ לשבר

x = 0. 12

נסמן את העשרוני המחזורי באות כדי לעבוד איתו בצורה מסודרת.
$x = 0.121212 \dots$
המחזור הוא בן שתי ספרות, לכן נכפיל ב- $100$ כדי להזיז מחזור שלם שמאלה.
$100 x = 12.121212 \dots$
מחסרים את השורה המקורית. החלק המחזורי נעלם כי הוא זהה בשתי השורות.
$100 x - x = 12.121212 \dots - 0.121212 \dots$
מקבלים שבר של שני שלמים, ולכן המספר רציונלי.
$99 x = 12, x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$

תשובה:

0. 12 = \frac{4}{33}

המרת עשרוני סופי לשבר

המרה של עשרוני סופי לשבר פשוטה יותר. כל ספרה אחרי הנקודה מייצגת מקום במכנה: עשירית, מאית, אלפית. אחרי המרה אפשר תמיד לצמצם את השבר.

עשרוניים סופיים מוכרים כשברים

עשרוני	שבר ראשוני	שבר מצומצם
$0.5$	$\frac{5}{10}$	$\frac{1}{2}$
$0.25$	$\frac{25}{100}$	$\frac{1}{4}$
$0.75$	$\frac{75}{100}$	$\frac{3}{4}$
$0.125$	$\frac{125}{1000}$	$\frac{1}{8}$
$0.4$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{5}$
$0.04$	$\frac{4}{100}$	$\frac{1}{25}$
$0.625$	$\frac{625}{1000}$	$\frac{5}{8}$

כל עשרוני סופי הוא שבר עם מכנה שהוא חזקה של $10$ . אחרי צמצום מקבלים את השבר הפשוט.

מספרים מיוחדים: 0, מספרים שלמים שליליים

כדאי לוודא שהמסגרת לא מתבלבלת בכמה מקרים פשוטים.

0

הוא מספר רציונלי, כי

0 = \frac{0}{1}

. כל מספר שלם הוא רציונלי, כי אפשר לכתוב אותו כשבר עם מכנה

1

. כל מספר שלם שלילי גם הוא רציונלי, באותו אופן.

מקרים פשוטים שלא צריך להתבלבל בהם

$0$ רציונלי

$0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \dots$ . ניתן להציג כשבר של שלמים, ולכן רציונלי.

$- 7$ רציונלי

$- 7 = \frac{- 7}{1}$ . כל שלם, חיובי או שלילי, הוא רציונלי.

$\frac{2}{3}$ רציונלי

כבר מציג כשבר של שלמים. ייצוגו העשרוני: $0. 6$ , מחזורי, ולכן רציונלי.

$4$ רציונלי

$4 = 2 = \frac{2}{1}$ . הסימן לא קובע - הערך כן.

מתי שורש רציונלי ומתי לא

כלל אצבע פשוט: אם המספר שמתחת לשורש הוא ריבוע מושלם של מספר רציונלי, אז השורש רציונלי. אחרת, אי-רציונלי. זה כלל שמספיק לרוב המקרים בכיתה ח.

סיווג שורשים שלמים מ- $1$ ועד $20$

השורש	ערך	סיווג	נימוק קצר
$1$	$1$	רציונלי	שורש של ריבוע שלם
$2$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$3$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$4$	$2$	רציונלי	$2^{2} = 4$
$5$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$6$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$7$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$8$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם ( $= 22)$
$9$	$3$	רציונלי	$3^{2} = 9$
$10$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$16$	$4$	רציונלי	$4^{2} = 16$
$17$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$18$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$20$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם

רוב השורשים של מספרים שלמים אינם רציונליים. רק חמישה מתוכם בטווח מ- $1$ עד $25 - 1, 4, 9, 16, 25$ - הם רציונליים.

סוגי ייצוגים: סיכום

סיווג מספרים נעשה לפי הייצוג והנימוק. הטבלה הבאה אינה רשימת תשובות, אלא דרך לזהות את הסיבה לסיווג.

סיווג ייצוגים

ייצוג	סיווג	נימוק
$0.75 = \frac{3}{4}$	רציונלי	עשרוני סופי
$0. 6 = \frac{2}{3}$	רציונלי	עשרוני מחזורי
$16 = 4$	רציונלי	שורש של ריבוע שלם
$- 5 = \frac{- 5}{1}$	רציונלי	מספר שלם שלילי
$0 = \frac{0}{1}$	רציונלי	אפס הוא תמיד רציונלי
$10$	אי-רציונלי	שורש של מספר שאינו ריבוע שלם
$2$	אי-רציונלי	אינו שבר של שלמים

התשובה 'רציונלי' או 'אי-רציונלי' לבדה אינה תשובה מלאה. צריך גם נימוק קצר.

איך מזהים?

רציונלי

אפשר לכתוב כשבר של שלמים, או כעשרוני סופי או מחזורי, או כשורש של ריבוע שלם.

$0.75 = \frac{3}{4}$ , $0. 3 = \frac{1}{3}$ , $16 = 4$

אי-רציונלי

עשרוני אינסופי שאינו מחזורי, או שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם.

$2$ , $10$ , $17$

מפת החלטה לסיווג מספר

בדקו שבר

אם המספר כתוב או ניתן לכתיבה כ- $\frac{p}{q}$ עם $q \neq = 0$ , הוא רציונלי.
כל מספר שלם הוא $\frac{n}{1}$ , ולכן רציונלי.
כל שבר של שלמים, חיובי או שלילי, הוא רציונלי.

בדקו עשרוני

עשרוני סופי הוא רציונלי.
עשרוני אינסופי מחזורי הוא רציונלי.
עשרוני אינסופי שאינו מחזורי הוא אי-רציונלי.

בדקו שורש

שורש של ריבוע שלם הוא רציונלי.
שורש כמו $18$ שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי.
כלל אצבע: אם השורש לא יוצא שלם, הוא אי-רציונלי.

כתבו נימוק

התשובה כוללת תמיד את הסיווג ואת הסיבה.
למשל: "רציונלי כי הוא עשרוני מחזורי."
במבחן ניקוד נמדד גם לפי איכות הנימוק.

תמונה הממחישה את ההבדל בין עשרוני סופי מחזורי ואינו מחזורי — מספר רציונלי יכול להיות עשרוני סופי או מחזורי, ואילו עשרוני אינסופי שאינו מחזורי הוא אי-רציונלי.

טעויות נפוצות בסיווג

הטעות הכי שכיחה היא לחשוב שאינסוף ספרות אחרי הנקודה אומר מיד אי-רציונלי. המחזור משנה את התמונה. טעות שנייה נפוצה: לחשוב שכל מספר שיש בו סימן

הוא אי-רציונלי.

16

הוא רציונלי כי ערכו

4

אינסופי אינו תמיד אי-רציונלי

אינסופי מחזורי

$0.121212 \dots$ חוזר במחזור $12$ , ולכן רציונלי.

השוואה: $0. 12 = \frac{4}{33}$

אינסופי שאינו מחזורי

$1.414213 \dots$ אינו מציג מחזור קבוע, ולכן הוא דוגמה לאי-רציונלי.

זהו הקירוב של $2$ , ובאמת אי-רציונלי

המבחן הוא לא 'יש סוף' אלא 'יש מחזור'.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו מספר רציונלי?

מספר שאפשר לכתוב כשבר של שלמים $\frac{p}{q}$ עם $q \neq = 0$
כל מספר עם נקודה עשרונית
רק מספר חיובי
כל מספר עם סימן שורש

2.האם $0. 6$ רציונלי?

כן, מחזורי, ושווה $\frac{2}{3}$
לא, אינסופי
תלוי בקירוב
אי אפשר לדעת

3.איזה שורש רציונלי?

$81$
$82$
$83$
$84$

4.מה שגוי במשפט: כל עשרוני אינסופי הוא אי-רציונלי?

יש עשרוניים מחזוריים אינסופיים שהם רציונליים
אין עשרוניים אינסופיים
כל עשרוני הוא שלם
אין מספרים רציונליים

5.סווגו: $49, 50, 0. 2$

רציונלי, אי-רציונלי, רציונלי
כולם רציונליים
כולם אי-רציונליים
אי-רציונלי, רציונלי, אי-רציונלי

6.האם $- 7$ רציונלי?

כן, כי $- 7 = \frac{- 7}{1}$
לא, מספרים שליליים אינם רציונליים
תלוי
אי-רציונלי

7.המירו $0. 5$ לשבר.

$\frac{5}{9}$
$\frac{5}{10}$
$\frac{1}{2}$
אי אפשר

8.המירו $0.6$ לשבר מצומצם.

$\frac{3}{5}$
$\frac{6}{10}$
$\frac{6}{100}$
$0.6$

9.האם $0$ רציונלי?

כן, $0 = \frac{0}{1}$
לא, אינו שייך
אי-רציונלי
אינו מספר

10.האם $π = \frac{22}{7}$ ?

לא, זה רק קירוב; $π$ אי-רציונלי
כן, בדיוק
כן, ולכן רציונלי
תלוי במחשבון

11. $0.81$ - רציונלי?

כן, שווה ל- $0.9 = \frac{9}{10}$
לא, כי תחת השורש לא שלם
לא ניתן לחישוב
אי-רציונלי תמיד

12.כמה מתוך אלו אי-רציונליים? $4, 5, 9, 10$

שניים: $5$ ו- $10$
אחד
שלושה
כולם

13.המירו $0. 27$ לשבר מצומצם.

$\frac{3}{11}$
$\frac{27}{99}$
$\frac{27}{100}$
אי אפשר

14. $15$ - איפה הוא נמצא?

אי-רציונלי, בין $3$ ל- $4$
רציונלי, שלם
אי-רציונלי, בין $7$ ל- $8$
$15$

15.מה ההבדל בין $0. 142857$ לבין $π$ ?

הראשון מחזורי ולכן רציונלי, השני אינסופי לא מחזורי
אין הבדל
הראשון אי-רציונלי, השני רציונלי
שניהם שלמים

16.תלמיד אומר: "שבר תמיד אומר רציונלי". האם נכון?

כן, אם השבר הוא של שני שלמים
לא, שבר יכול להיות אי-רציונלי
תלוי במכנה
תלוי במונה

17.כתבו את המספר $- 2.5$ כשבר.

$- \frac{5}{2}$
$- \frac{25}{10}$ בלבד
$\frac{5}{2}$
אי-רציונלי