מספר רציונלי ואי-רציונלי

מתי מספר יכול להיכתב כשבר ומתי לא?

טוען סימולציה...

$math/025-numbers$ עולם המספרים מתרחב

עד עכשיו עבדנו בעיקר עם מספרים שלמים, שברים פשוטים ועשרוניים סופיים. עכשיו נראה שלעולם המספרים יש שתי קבוצות גדולות: מספרים רציונליים, שאפשר לכתוב כשבר של שלמים, ומספרים אי-רציונליים, שאי אפשר. ההבחנה הזאת תופיע בכל פעם שתופיעו עם שורש שאינו שלם, ובמיוחד עם

2

שיופיע במודול הבא.

שבר

צורה כמו

\frac{p}{q}

, כאשר

p

ו-

q

שלמים ו-

q \neq = 0

. כל שבר הוא רציונלי.

עשרוני סופי

למשל

0.75

, שאפשר לכתוב כ-

\frac{3}{4}

. כל עשרוני סופי הוא רציונלי.

עשרוני מחזורי

למשל

0. \overline{3}

, שחוזר באותה תבנית. הוא ארוך אינסופית, אבל עדיין רציונלי.

אי-רציונלי

מספר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי. דוגמה ראשית: שורשים של מספרים שלמים שאינם ריבועים מושלמים, כמו

10

$math/020-math book$ הגדרה מדויקת

השם "רציונלי" קשור ליחס. בלטינית ratio פירושו יחס. אם מספר ניתן לכתיבה כיחס בין שני שלמים, הוא רציונלי. אם אי אפשר לכתוב אותו כך, הוא אי-רציונלי. זוהי ההגדרה הראשית, וכל בדיקה תחזור בסוף לשאלה: האם אפשר להציג את המספר כשבר של שלמים?

מספר רציונלי

מספר רציונלי הוא מספר שאפשר לכתוב בצורה $\frac{p}{q}$ , כאשר $p$ ו- $q$ שלמים ו- $q \neq = 0$ .

הייצוג העשרוני של מספר רציונלי מסתיים או חוזר במחזור קבוע. לכן עשרוני אינסופי אינו מספיק כדי לקבוע שהמספר אי-רציונלי - צריך לבדוק אם יש מחזור. הסיבה היא שכל חילוק של שני שלמים מסתיים בעשרוני סופי או נכנס לתבנית חוזרת אחרי כמה ספרות.

$q \neq = 0, \frac{p}{q}$

שורש של ריבוע שלם, כמו $16 = 4$ , הוא רציונלי. שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם, כמו $10$ , הוא אי-רציונלי במסגרת הפרק. נראה למה במודול ההעשרה על $2$ .

דוגמה לעשרוני מחזורי כשבר

0. \overline{3} = \frac{1}{3}

הגדרה טובה היא כלי עבודה. בכל פעם שמסווגים מספר שואלים שתי שאלות: האם אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים, והאם הייצוג העשרוני שלו מסתיים או חוזר במחזור קבוע. אם התשובה לאחת מהשאלות חיובית, המספר רציונלי. אחרת, הוא אי-רציונלי.

למה עשרוני מחזורי הוא רציונלי

הרבה תלמידים מתקשים בעובדה הזאת: עשרוני אינסופי שחוזר במחזור הוא בכל זאת מספר רציונלי, כי אפשר לכתוב אותו כשבר של שלמים. נראה איך, על דוגמה ספציפית.

המרת $0. \overline{12}$ לשבר

שלב 1 מתוך 4

x = 0. \overline{12}

נסמן את העשרוני המחזורי באות כדי לעבוד איתו בצורה מסודרת.

x = 0.121212 \dots

מחזור באורך אחר

אם המחזור הוא ספרה אחת, מכפילים ב- $10$ . למשל $0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

אם המחזור הוא שלוש ספרות, מכפילים ב- $1000$ . למשל $0. \overline{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ .

הכלל: באורך מחזור $k$ , מכפילים ב- $1 0^{k}$ , ואז מחסרים את המספר המקורי. ההפרש תמיד נותן שבר של שלמים.

$math/046-parentheses$ המרת עשרוני סופי לשבר

המרה של עשרוני סופי לשבר פשוטה יותר. כל ספרה אחרי הנקודה מייצגת מקום במכנה: עשירית, מאית, אלפית. אחרי המרה אפשר תמיד לצמצם את השבר.

עשרוניים סופיים מוכרים כשברים

עשרוני	שבר ראשוני	שבר מצומצם
$0.5$	$\frac{5}{10}$	$\frac{1}{2}$
$0.25$	$\frac{25}{100}$	$\frac{1}{4}$
$0.75$	$\frac{75}{100}$	$\frac{3}{4}$
$0.125$	$\frac{125}{1000}$	$\frac{1}{8}$
$0.4$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{5}$
$0.04$	$\frac{4}{100}$	$\frac{1}{25}$
$0.625$	$\frac{625}{1000}$	$\frac{5}{8}$

* כל עשרוני סופי הוא שבר עם מכנה שהוא חזקה של $10$ . אחרי צמצום מקבלים את השבר הפשוט.

מספרים מיוחדים: 0, מספרים שלמים שליליים

כדאי לוודא שהמסגרת לא מתבלבלת בכמה מקרים פשוטים. $0$ הוא מספר רציונלי, כי $0 = \frac{0}{1}$ . כל מספר שלם הוא רציונלי, כי אפשר לכתוב אותו כשבר עם מכנה $1$ . כל מספר שלם שלילי גם הוא רציונלי, באותו אופן.

מקרים פשוטים שלא צריך להתבלבל בהם

$0$ רציונלי

$0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \dots$ . ניתן להציג כשבר של שלמים, ולכן רציונלי.

$- 7$ רציונלי

$- 7 = \frac{- 7}{1}$ . כל שלם, חיובי או שלילי, הוא רציונלי.

$\frac{2}{3}$ רציונלי

כבר מציג כשבר של שלמים. ייצוגו העשרוני: $0. \overline{6}$ , מחזורי, ולכן רציונלי.

$4$ רציונלי

$4 = 2 = \frac{2}{1}$ . הסימן לא קובע - הערך כן.

$math/008-square root$ מתי שורש רציונלי ומתי לא

כלל אצבע פשוט: אם המספר שמתחת לשורש הוא ריבוע מושלם של מספר רציונלי, אז השורש רציונלי. אחרת, אי-רציונלי. זה כלל שמספיק לרוב המקרים בכיתה ח.

סיווג שורשים שלמים מ-{m}\sqrt{1}{/m} ועד {m}\sqrt{20}{/m}

השורש	ערך	סיווג	נימוק קצר
$1$	$1$	רציונלי	שורש של ריבוע שלם
$2$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$3$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$4$	$2$	רציונלי	$2^{2} = 4$
$5$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$6$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$7$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$8$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם ( $= 22)$
$9$	$3$	רציונלי	$3^{2} = 9$
$10$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$16$	$4$	רציונלי	$4^{2} = 16$
$17$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$18$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם
$20$	אינסופי לא מחזורי	אי-רציונלי	אינו ריבוע שלם

* רוב השורשים של מספרים שלמים אינם רציונליים. רק חמישה מתוכם בטווח מ- $1$ עד $25 - 1, 4, 9, 16, 25$ - הם רציונליים.

ושורשים של עשרוניים?

לפעמים שורש של מספר עשרוני מתברר כעשרוני סופי או כשבר. למשל $0.25 = 0.5 = \frac{1}{2}$ , ו- $2.25 = 1.5 = \frac{3}{2}$ . שני אלה רציונליים, כי הערך עצמו הוא שבר של שלמים.

לעומת זאת, $0.2$ הוא אי-רציונלי כי $0.2 = \frac{1}{5}$ ו- $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ , ו- $5$ אי-רציונלי. בכיתה ח לא יבקשו מכם שורשים של עשרוניים מסובכים, אבל כדאי להכיר שיש מקרים מיוחדים.

$math/049-venn diagram$ סוגי ייצוגים: סיכום

סיווג מספרים נעשה לפי הייצוג והנימוק. הטבלה הבאה אינה רשימת תשובות, אלא דרך לזהות את הסיבה לסיווג.

סיווג ייצוגים

ייצוג	סיווג	נימוק
$0.75 = \frac{3}{4}$	רציונלי	עשרוני סופי
$0. \overline{6} = \frac{2}{3}$	רציונלי	עשרוני מחזורי
$16 = 4$	רציונלי	שורש של ריבוע שלם
$- 5 = \frac{- 5}{1}$	רציונלי	מספר שלם שלילי
$0 = \frac{0}{1}$	רציונלי	אפס הוא תמיד רציונלי
$10$	אי-רציונלי	שורש של מספר שאינו ריבוע שלם
$2$	אי-רציונלי	אינו שבר של שלמים

* התשובה 'רציונלי' או 'אי-רציונלי' לבדה אינה תשובה מלאה. צריך גם נימוק קצר.

איך מזהים?

$math/030-equation$ רציונלי

אפשר לכתוב כשבר של שלמים, או כעשרוני סופי או מחזורי, או כשורש של ריבוע שלם.

דוגמה: $0.75 = \frac{3}{4}$ , $0. \overline{3} = \frac{1}{3}$ , $16 = 4$

$math/037-infinity$ אי-רציונלי

עשרוני אינסופי שאינו מחזורי, או שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם.

דוגמה: $2$ , $10$ , $17$

מפת החלטה לסיווג מספר

$math/046-parentheses$

בדקו שבר

אם המספר כתוב או ניתן לכתיבה כ- $\frac{p}{q}$ עם $q \neq = 0$ , הוא רציונלי.

כל מספר שלם הוא $\frac{n}{1}$ , ולכן רציונלי.

כל שבר של שלמים, חיובי או שלילי, הוא רציונלי.

$math/025-numbers$

בדקו עשרוני

עשרוני סופי הוא רציונלי.

עשרוני אינסופי מחזורי הוא רציונלי.

עשרוני אינסופי שאינו מחזורי הוא אי-רציונלי.

$math/008-square root$

בדקו שורש

שורש של ריבוע שלם הוא רציונלי.

שורש כמו $18$ שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי.

כלל אצבע: אם השורש לא יוצא שלם, הוא אי-רציונלי.

כתבו נימוק

התשובה כוללת תמיד את הסיווג ואת הסיבה.

למשל: "רציונלי כי הוא עשרוני מחזורי."

במבחן ניקוד נמדד גם לפי איכות הנימוק.

תמונה הממחישה את ההבדל בין עשרוני סופי מחזורי ואינו מחזורי — מספר רציונלי יכול להיות עשרוני סופי או מחזורי, ואילו עשרוני אינסופי שאינו מחזורי הוא אי-רציונלי.

טעויות נפוצות בסיווג

הטעות הכי שכיחה היא לחשוב שאינסוף ספרות אחרי הנקודה אומר מיד אי-רציונלי. המחזור משנה את התמונה. טעות שנייה נפוצה: לחשוב שכל מספר שיש בו סימן הוא אי-רציונלי. $16$ הוא רציונלי כי ערכו $4$ .

$math/037-infinity$ אינסופי אינו תמיד אי-רציונלי

אינסופי מחזורי

$0.121212 \dots$ חוזר במחזור $12$ , ולכן רציונלי.

דוגמה: השוואה: $0. \overline{12} = \frac{4}{33}$

אינסופי שאינו מחזורי

$1.414213 \dots$ אינו מציג מחזור קבוע, ולכן הוא דוגמה לאי-רציונלי.

דוגמה: זהו הקירוב של $2$ , ובאמת אי-רציונלי

המבחן הוא לא 'יש סוף' אלא 'יש מחזור'.

שאלה 1 מתוך 17

המירו $0.6$ לשבר מצומצם.

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מספר רציונלי ואי-רציונלי כבר מוכן.

פתחו תרגול

מספר רציונלי ואי-רציונלי

עולם המספרים מתרחב

הגדרה מדויקת

מספר רציונלי

למה עשרוני מחזורי הוא רציונלי

המרת 0.12 לשבר

מחזור באורך אחר

המרת עשרוני סופי לשבר

עשרוניים סופיים מוכרים כשברים

מספרים מיוחדים: 0, מספרים שלמים שליליים

מקרים פשוטים שלא צריך להתבלבל בהם

0 רציונלי

−7 רציונלי

32​ רציונלי

4​ רציונלי

מתי שורש רציונלי ומתי לא